數學傳播 31卷4期, pp. 57-59
證明不等同理解
張海潮
任何一個數學命題的成立都需要證明; 證明的意義在於提供有關命題成立的論述, 因此至 少要做到以嚴謹的推理確認從已知到結論的邏輯脈絡。 但是不可否認: 使命題成立的嚴謹推理 並不代表對命題內容的完整分析。 一個最好的例子就是 《幾何原本》 第 6 卷的命題 2[註1], 該命 題談的是相似三角形基本定理, 內容如下(《原本》144頁):
如果一條直線平行於三角形的一邊, 則它截三角形的兩邊成比例線段; 又, 如果三角形的 兩邊被截成比例線段, 則截點的連線平行於三角形的另一邊。
《原本》 對此命題的證明相當巧妙, 它使用了面積關係: 亦即對等高或同高的兩個三角形而 言, 其面積之比就是底邊之比 (見 《原本》143頁命題1)。 以下我們先略述 《原本》 有關此命題正 敘述的證明, 至於逆敘述的部分, 證明方法與正敘述相同。 讀者可參考 《原本》145頁。
如圖一, 在三角形 ABC 中, 線段 DE 平行於 BC, 連 BE、 DC 兩條輔助線
圖一
由於 DE 平行於 BC, 所以 △DEB 和 △DEC 等面積; 易見 △ADE 和 △DEB 的 面積比等於 △ADE 和 △ DEC 的面積比, 又因為前一個面積比等於 AD 和 DB 的長度比, 而後一個面積比等於 AE 和 EC 的長度比, 因此 DE 截 △ABC的兩邊成比例線段, 命題得 證。
不難看出, 《原本》 對此命題的證明並不直接, 因為它把邊長的比例問題提升到面積的比例 問題。 以通俗的話來說, 就是把一維的問題擺在二維的框架之中, 因而證明看起來如刀切豆腐,
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鋒利無比。 問題是, 我們真的從這個證明理解了 AD : DB 等於 AE : EC 嗎? 不妨回到這個 問題最基本的狀態—— AD = DB 或者是 D 是AB 中點的情形, 此時命題是這麼說的 (圖 二):
過 △ABC 一邊 AB 的中點 D 作一條平行於底邊 BC 的直線, 則此直線必定通過 AC 的中點。
常見的證明是過 E 作 AB 的平行線, 然後利用 ASA 定理證明 △ADE 和 △EF C 全 等, 因而得到 AE = EC (圖二)。
圖二
上面這個證明不必將問題轉化成面積, 可以很清楚的看到為什麼 AD : DB 等於 AE : EC。 事實上, 這樣的證明方法稍加整修就可以推廣到下面這個命題 (圖三):
如果 AD : DB = n : m 其中 n, m 為正整數, 並且 DE 平行 BC, 則 AE : EC = n: m [註2]
圖三
換句話說, 當 AD 和 DB 之比是有理數時, 本命題可以用相當直接的方式證明, 但是當 AD和 DB 的比值是一個無理數的時候, 圖二或圖三的直接證明便無法進行, 必須採用別的方 法; 面積方法此時展現了它的優越性[註3]。
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為什麼面積方法可以解決比值是無理數的情形? 要回答這個問題, 至少要先回到面積的定 義。 在平面幾何中, 單位正方形的面積可以說是面積定義的基礎[註4]。 因此之故, 任何一個邊長 為有理數的正方形, 面積都可以合理的定成是邊長的平方。 問題同樣發生在邊長是無理數的情 形: 當正方形的邊長是無理數的時候, 面積當然還是邊長的平方。 只不過, 這樣的結果必須透過 極限。 一旦透過極限論證, 正方形的面積是邊長的平方、 長方形的面積是長寬之積都能成立; 甚 至包括平行四邊形的面積是底高之積等等。 可以這麼說, 表面上 《原本》 第6 卷的命題 2 使用了 面積證明, 骨子裡可是使用了無理數與有理數的極限關係; 如果早就有極限的語言, 相似三角形 基本定理根本可以直接證明, 完全不必訴求面積證法。
如果把 《原本》 的證明比做魔術, 面積就是魔術師的帽子, 極限則是從帽子中掏出的鴿子。
在鴿子出現之前, 表演不會結束, 觀眾千萬要睜大眼睛, 拭目以待[註5]。
附註
註 1: 本文所引出自於台北九章出版社出版的 《歐幾里得幾何原本》 一書 (簡稱 《原本》)。
註 2: 證明的方法是從 AB 的每一個整數分點作 BC 的平行線, 這些平行線加上 DE 一共有 n+ m − 1 條, 它們依序交到 AC , 並且將 AC n + m 等分。
註 3: 當 AD : DB 是無理數時, 筆者並不清楚是否有比利用面積證明更精簡的方法。
註 4: 單位正方形是指邊長為 1 的正方形。
註 5: 相似三角形基本定理是三角學的基礎, 從而發展出正、 餘弦定理, 構築坐標幾何。
—本文作者為台大數學系退休教授—
