運用微微對偶不等式證明一類 齊次輪換對稱不等式
徐彥輝
1. 引言
筆者最近發現五個形似不等式, 即:
命題 1: 設 a, b, c ∈ R+, 求證: a + b + c ≤ a4+ b4 + c4 abc .
命題 2([1]): 設 a, b, c ∈ R+, 求證: a+ b + c abc ≤ 1
a2 + 1 b2 + 1
c2.
命題 3([2]): 設 a, b, c ∈ R+, 求證: 1 a +1
b +1
c ≤ a8+ b8+ c8 a3b3c3 .
命題 4: 設 a, b, c ∈ R+, 求證: a10+ b10+ c10 ≤ a12 bc +b12
ca +c12 ab.
命題 5: 設 a, b, c ∈ R+, 求證: a2+ b2+ c2 ≤ a5 + b5+ c5 abc .
其中, 命題 1 可由 a3
bc + b + c ≥ 3a, b3
ac+ a + c ≥ 3b, c3
ab+ a + b ≥ 3c, 三式相加即證 得, 文 [1] 給出了命題 2 的一種證法, 文 [2] 給出了命題 3 一種巧妙而不簡單的證法。 筆者由 這五個不等式的相似性, 總覺得可以找到一種統一的方法證明這五個不等式。 最後, 筆者終於找 到了運用微微對偶不等式可以統一證明這五個形似不等式, 並且還可以對這五個不等式進行推 廣。 為此, 先給出微微對偶不等式。
2. 微微對偶不等式
定理 : 設 A =
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1am2· · ·amn
, A′ =
a′11 a′12 · · · a′1n a′21 a′22 · · · a′2n ... ... ... ... a′m1a′m2· · ·a′mn
, 其中, 0 ≤ ai1 ≤ ai2 ≤
· · · ≤ ain, a′i1, a′i2, . . ., a′in 是 ai1, ai2, . . ., ain 的一個排列 (即 A′ 的第 i 行是 A 的 第 i 行的一個重排列), i = 1, 2, . . . , m, S(A) = Pn
j=1
m
Q
i=1
aij
, S(A′) =
n
P
j=1
m
Q
i=1
a′ij , 則 S(A′) ≤ S(A)。
這個定理即為微微對偶不等式. 為了敘述方便起見, 稱 A 為同序陣 (A 的各行元素不一 定完全相同, 但各行元素的大小順序必須相同), A′ 為 A 的亂序陣 (即要求 A′ 每一行中的元 素分別是 A 中對應行元素的一個重排), 則有 A′ 的列積和 ≤ A 的列積和。 當行數 m = 2 時, 微微對偶不等式即為排序不等式。 可見, 微微對偶不等式是排序不等式的推廣。 為了證明微 微對偶不等式, 先證明一個排序原理 (不等式)。
排序原理: (a) 表非負數 a1, a2, . . . , an, (b) 表非負數 b1, b2, . . . , bn, (a) 與 (b) 一對一相乘 後相加, 同序數最大, 倒序數最小。
證明: 先假定只對換 i, j 兩個位置上的數, 其餘位置上的數不變。 即若 ai < aj, bi < bj, 則 aibi+ ajbj−(aibj+ ajbi) = (ai−aj)(bj−bj) > 0。 可見, 在 i 和 j 兩個位置上, 將同序改 為倒序時, 和值將減小。 再運用逐步調整法即可得證排序不等式。
微微對偶不等式的證明 [3] : 考慮兩項 a1i1a2i2· · ·amim 與 a1j1a2j2· · ·amjm, 不妨設 a1i1 ≤ a1j1, a2i2 ≤a2j2, . . ., akik ≤akjk, ak+1ik+1 ≥ak+1jk+1, . . ., amim ≥amjm, 則 a1i1a2i2· · · akik ≤ a1j1a2j2· · ·akjk, ak+1ik+1· · ·am,im ≥ ak+1jk+1· · ·amim, 由排序原理有 a1i1a2i2· · · akikak+1jk+1· · ·am,jm+a1j1a2j2· · ·akjkak+1ik+1· · ·am,im ≥a1i1a2i2· · ·am,im+a1j1a2j2· · · am,jm, 即在此兩項中把倒序改為同序後和不減少。 經有限次改變後必可使 n 項中任兩項均無倒 序, 此和變為 a11a21· · ·am1+a12a22· · ·am2+· · ·+a1na2n· · ·amn。 因若不然, 則必還有兩項 有倒序在, 又每次改變和不減少, 所以, a11a21· · ·am1+ a12a22· · ·am2+ · · · + a1na2n· · ·amn 為最大, 即證畢。
微微對偶不等式是許多重要不等式的來源, 微微對偶不等式在追溯老不等式、 製造新不等 式、 處理高難競賽題方面都具有特殊的效力, 微微對偶不等式的經典是積和 S 與和積 T 的矩 陣形式, 精華是把一些不等式的證明歸結為巧妙地構造一個矩陣, 恰當地排出一個矩陣. [4] 微
微對偶不等式尤其在處理齊次輪換對稱不等式時, 更是有著特殊的效力。 為此, 筆者先舉一個運 用微微對偶不等式證明齊次輪換對稱不等式的簡單例子, 以說明筆者想到運用微微對偶不等式 統一證明這五個形似不等式的來由。
例1 : 設 a, b, c ∈ R+, 求證: a3+ b3 + c3 ≤a2b+ b2c+ c2a.
證明 : 這是一個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不等式。 由對稱性, 不妨設 a ≥ b ≥ c > 0, 則 a2 ≥ b2 ≥ c2 > 0, 則由微微對偶不等式可構造矩陣
"
a2 b2 c2 a b c
#
≥
"
a2 b2 c2 b c a
#
. 即證畢。
可見, 若要證的不等式是齊次輪換對稱不等式, 就可考慮運用微微對偶不等式。 在運用微微 對偶不等式時, 先不妨假定變元之間一個大小順序關係, 然後構造一個矩陣。 正如葉軍 (1992) 還指出: 運用微微對偶不等式的關鍵是巧妙地設計一個矩陣, 再恰當變換構造一個新矩陣。 值 得注意的是, 這種設計與變換, 常常與所證不等式本身的特點有關, 只要深入領會, 就能得其要 領。[5]
3. 運用微微對偶不等式統一證明五個形似不等式及其推廣
命題 1 的證明 : 即只要證 a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) = a2bc+ b2ca+ c2ab, 這是一 個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不等式。 由對稱性, 不妨設 a ≥ b ≥ c > 0, 則
a2 ≥ b2 ≥ c2 > 0, 則由微微對偶不等式可構造矩陣,
a2 b2 c2 a b c a b c
≥
a2 b2 c2 b c a c a b
, 即證畢。
命題2 的證明 : 即只要證 a+ b + c
abc ≤ a2b2+ b2c2 + c2a2
a2b2c2 , 即只要證 a2b2+ b2c2+ c2a2 ≥ abc(a + b + c) = a2bc+ b2ca+ c2ab, 這是一個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不 等式。 由對稱性, 不妨設 a ≥ b ≥ c > 0, 則 ab ≥ ac ≥ bc > 0, 則由微微對偶不等式可構造 矩陣
"
ab bc ca ab bc ca
#
≥
"
ab bc ca ca ab bc
#
, 即證畢。
命題3 的證明 : 即只要證 a8+ b8+ c8 ≥a2b2c2(ab + bc + ca) = a3b3c2+ b3c3a2+ c3a3b2, 這是一個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不等式。
由對稱性可設 a ≥ b ≥ c > 0, 則 a3 ≥b3 ≥c3 >0, a2 ≥b2 ≥c2 >0, 則由微微對偶
不等式可構造矩陣
a3 b3 c3 a3 b3 c3 a2 b2 c2
≥
a3 b3 c3 b3 c3 a3 c2 a2 b2
, 即證畢。
命題 4 的證明 : 即只要證 a13+ b13+ c13
abc ≥a10+ b10+ c10, 即只要證 a13+ b13+ c13≥ abc(a10+ b10+ c10) = a11bc+ b11ca+ c11ab, 這是一個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微 微對偶不等式。
由對稱性, 不妨設 a ≥ b ≥ c > 0, 則 a11≥b11≥c11>0, 則由微微對偶不等式可構造
矩陣
a11 b11 c11 a b c a b c
≥
a11 b11 c11 b c a c a b
, 即證畢。
命題 5 的證明 : 即只要證 a5+ b5+ c5 ≥abc(a2 + b2+ c2) = a3bc+ b3ca+ c3ab, 這是一 個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不等式。
由對稱性, 不妨設 a ≥ b ≥ c > 0, 則 a3 ≥b3 ≥c3 >0, 則由微微對偶不等式可構造矩
陣
a3 b3 c3 a b c a b c
≥
a3 b3 c3 b c a c a b
, 即證畢。
在此, 不難得出這五個形似不等式的幾個推廣命題。 即:
推廣 1 : 設 ai ∈R+, i = 1, 2, . . . , n, 求證:
n
P
i=1
ai ≤
n
P
i=1
an+1i
n
Q
i=1
ai .
推廣 2 : 設 ai ∈R+, i = 1, 2, . . . , n, p, q ∈ R+, 求證: Pn
i=1
aqi ≤
n
P
i=1
a3p+qi
n
Q
i=1
api .
推廣 3 : 設 ai ∈R+, i = 1, 2, . . . , n, 求證:
n
P
i=1
1 an−1i ≥
n
P
i=1
Q
j6=i
1 aj.
推廣 4 : 設 ai ∈R+, i = 1, 2, . . . , n, m ≥ 1, 求證:
n
P
i=1
anm−1i
n
P
i=1
ami
≥
n
P
i=1
1 ai.
同理, 可運用微微對偶不等式證以上幾個推廣命題, 請讀者自證, 此處從略。
4. 運用微微對偶不等式證明其他的齊次輪換對稱不等式
其實, 葉軍先生 (1989) 就舉了八個不等式證明的例子來說明微微對偶不等式的運用。[6]
張運籌 (2014) 在 《微微對偶不等式及其應用》 這本書中用全新方法處理了 30 個簡單不等式、
25 個高難競賽題、 40 個書刊征解題、 16 個著名不等式, 並製造了 10 個新不等式, 處理了 4 個高考不等式, 推廣了 4 個著名不等式, 留下了 25 個練習題。[4] 為了突出強調微微對偶不等 式在證明齊次輪換對稱不等式中的作用與效力, 筆者還想就此運用微微對偶不等式來證明其他 幾個與前面五個形似不等式相似的齊次輪換對稱不等式。
例 2 : 設 a, b, c ∈ R+, 求證: a + b + c ≤ bc a +ca
b +ab c . 證明 : 即只要證 a2b2+ b2c2+ c2a2
abc ≥a+ b + c, 即只要證
a2b2+ b2c2+ c2a2 ≥abc(a + b + c) = a2bc+ b2ca+ c2ab, 以下證明同命題 2。
例3(第31屆 IMO 預選試題) : 已知 x ≥ y ≥ z > 0, 求證: x2y z +y2z
x +z2x
y ≥x2+y2+z2.
證明 : 即只要證 x3y2+ y3z2+ z3x2
xyz ≥ x2 + y2 + z2, 即只要證 x3y2 + y3z2 + z3x2 ≥ x3yz+ y3xz+ z3xy, 這是一個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不等式。
由 x ≥ y ≥ z > 0, 則 xy ≥ xz ≥ yz > 0, 則由微微對偶不等式可構造矩陣
xy xz yz xy xz yz x z y
≥
xy xz yz xz yz xy x z y
, 即證畢。
例 4 : 設 a, b, c ∈ R+, 求證: a + b + c ≤ a3b+ b3c+ c3a abc .
證明 : 即只要證 a3b+ b3c+ c3a ≥ abc(a + b + c) = a2bc+ b2ca+ c2ab, 這是一個齊次輪 換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不等式。
由對稱性, 設 a ≥ b ≥ c > 0, 則 a2 ≥b2 ≥c2 >0, ab > ac ≥ bc > 0, 則由微微對偶 不等式可構造矩陣
"
a2 b2 c2 ab bc ca
#
≥
"
a2 b2 c2 bc ca ab
#
, 即證畢。
例 5 : 已知 x, y, z ∈ R+, 求證: x2 y2 + y2
z2 + z2 x2 ≥ x
y +y z + z
x.
證明: 即只要證 x4z2 + y4x2+ z4y2
x2y2z2 ≥ x2z+ y2x+ z2y
xyz , 即只要證 x4z2+ y4x2+ z4y2 ≥ xyz(x2z+ y2x+ z2y) = x3z2y+ y3x2z+ z3y2x, 這是一個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運 用微微對偶不等式。
由對稱性, 可設 x ≥ y ≥ z > 0, 則 xy ≥ xz ≥ yz > 0, 則由微微對偶不等式可構造矩
陣
xy xz yz xy xz yz y2 x2 z2
≥
xz yz xy xy xz yz y2 x2 z2
, 即證畢。
例 6 : 設 x1, x2, . . . , xn ∈ R+, 且 x1x2· · ·xn = 1, 證明: xn−11 + xn−12 + · · · + xn−1n ≥ 1
x1 + 1
x2 + · · · + 1 xn.
證明 : 由已知條件即只要證 xn−11 + xn−12 + · · · + xn−1n ≥x2x3· · ·xn+ x1x3· · ·xn+ · · · + x1x2· · ·xn−1, 這是一個齊次輪換對稱不等式, 可考慮運用微微對偶不等式。
由對稱性, 不妨設 x1 ≥x2 ≥ · · · ≥xn >0, 則由微微對偶不等式可構造矩陣
x1 x2 · · · xn x1 x2 · · · xn x1 x2 · · · xn
≥
x2 x3 · · · x1 x3 x4 · · · x2 xn x1 · · · xn−1
, 即證畢。
(致謝: 感謝審稿人對本文所提出的寶貴的修改意見!)
參考文獻
1. [德]亞瑟 · 恩格爾著, 舒五昌, 馮志剛譯。 解決問題的策略 [M]。 上海: 上海教育出版社, 244, 2005。
2. 蘇勇, 熊斌編著。 不等式的解題方法與技巧( 第二版)[M]。 上海: 華東師範大學出版社, 135-136, 2012。
3. 葉宗泗。 排序原理的推廣及其應用[J]。 數學通報, 2, 31, 1981。
4. 張運籌編著。 微微對偶不等式及其應用(第2版)[M]。 合肥: 中國科學技術大學出版社, 再版前言, 內 容簡介, 2014。
5. 葉軍。 用微微對偶不等式推廣四個著名不等式[J]。 數學的實踐與認識, 1, 80, 1992。
6. 葉軍。《微微對偶不等式》 設計八例[J]。 數學通報, 6, 27-30, 1989。
—本文作者任教浙江溫州大學數信學院—
