三個著名定理的等價證明

數學傳播 40 卷 4 期, pp. 89-92

三個著名定理的等價證明

趙國瑞

在幾何學發展的歷史長河中, 人們先後發現許多經久不衰的平面幾何定理, 其中托勒密定 理、 斯德瓦特定理和西姆松定理尤為著名。

托勒密定理: 圓內接四邊形兩組對邊乘積之和等於兩對角線乘積。

如圖 1, 四邊形 ABCD 是 ⊙O 的圓內接四邊形, 則 AB · CD + BC · AD = AC · BD。

圖 1 簡證: 作 ∠ACB = ∠DCE。

易證 △ACB ∼ △DCE, △ACD ∼ △BCE。

∴ AB

DE = AC

CD, AC

BC = AD BE. 即 AB · CD = AC · DE, BC · AD = AC · BE。

∴ AB · CD+ BC · AD = AC(DE + BE) = AC · BD。

說明: (1) 對於任意凸四邊形 ABCD, 必有 AB · CD + BC · AD ≥ AC · BD, 當且僅當四 邊形 ABCD 是圓內接四邊形時等號成立。

(2) 托勒密定理有逆定理: 如果一個四邊形兩組對邊乘積之和等於兩對角線乘積, 那麼這 個四邊形內接於圓。

斯德瓦特定理: 如圖 2, 點 P 為 △ABC 的 BC 邊上異於 B、C 點的任意一點, 連結 AP , 則 AB²· P C + AC²· BP = AP²· BC+ BP · P C · BC。

圖 2 簡證: 設 ∠AP B = θ, 則 ∠AP C = 180^◦− θ。

由餘弦定理, 得

AB² = AP²+ BP²−2AP · BP · cos θ, AC² = AP²+ P C²+ 2AP · P C · cos θ。

∴ AB²·P C+AC²·BP= AP²(P C+BP )+BP ·P C(BP +CP ) = AP²·BC+BP ·P C·BC。

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說明: 證明斯德瓦特定理亦可過點 A 作 BC 邊上的高, 利用畢氏定理進行證明。

西姆松定理: 三角形外接圓上任意一點向三邊 (或其延長線) 所作垂線的垂足共線。

如圖3, 點 P 為 △ABC 的外接圓上任意一點, 過點 P 分別作 P D⊥AB 於 D, P E⊥AC 於 E, P F ⊥BC 於 F , 則點 D、 E、 F 共線。

圖 3 簡證: 連結 BP 、 CP 。

由 P D⊥AB, P F ⊥BC, 知點 B、 D、 F 、 P 四點共圓,

∴ ∠BF D= ∠BP D。

由 P E⊥AC, P F ⊥BC, 知點 E、 C、 F 、 P 四點共圓,

∴ ∠CF E = ∠CP E。

而 ∠DBP = ∠P CE, ∴ ∠BP D = ∠CP E。

∴ ∠BF D= ∠CF E。

∴ ∠DF C+ ∠CF E = ∠DF C + ∠BF D = 180^◦, 即點 D、 E、 F 共線。

說明: 西姆松定理亦有逆定理: 從一點向三角形三邊 (或其延長線) 所作垂線的垂足如果共線, 那麼該點在三角形的外接圓上。

對於上面三個定理, 無論是從定理內容, 還是從定理的證明過程來看, 似乎沒有什麼聯繫。

筆者通過深入研究發現, 三個定理其實是等價的。 即托勒密定理 ⇔ 斯德瓦特定理 ⇔ 西姆松定 理。 下面來證明這三個定理的等價性。

圖 4

一、 托勒密定理 ⇔ 斯德瓦特定理

(a) 托勒密定理 ⇒ 斯德瓦特定理

已知: 如圖 4, 點 P 為 △ABC 的 BC 邊上異於 B、C 點的任意一點, 連結 AP , 則 AB²· P C+ AC²· BP = AP²· BC+ BP · P C · BC。

證明: 作 △ABC 的外接圓, 延長 AP 交外接圓於點 D。

連結 BD、CD。

由托勒密定理, 得

AB · CD+ AC · BD = AD · BC. (1) 由相交弦定理, 得

BP · P C = AP · P D. ∴P D = BP · P C

AP . (2)

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易證 △AP C ∼ △BP D, △AP B ∼ △CP D。

∴ AC

BD = AP

BP, AB

CD = AP P C.

∴ BD = AC · BP

AP , (3)

CD = AB · P C

AP . (4)

將 (2)、(3)、(4) 代入 (1), 得 AB · AB · P C

AP + AC · AC · BP AP =

AP +BP · P C AP



· BC.

整理, 得 AB²· P C+ AC²· BP = AP²· BC+ BP · P C · BC。

(b) 斯德瓦特定理 ⇒ 托勒密定理

將托勒密定理 ⇒ 斯德瓦特定理的證明過程一步步逆向推理, 即可由斯德瓦特定理 ⇒ 托 勒密定理。

由 (a)、 (b) 可知, 托勒密定理 ⇔ 斯德瓦特定理。

圖 5

二、 西姆松定理 ⇔ 托勒密定理

(a) 西姆松定理 ⇒ 托勒密定理

如圖 5, 四邊形 ABCD 是 ⊙O 的內接四邊形, 則 AB · CD+ BC · AD = AC · BD。

證明: 過點 D 分別作 DE⊥AB 於 E, DF ⊥AC 於 F , DH⊥BC 於 H。 連結 EF 、F H、EH。 由西姆松定理,

得

EF + F H = EH. (5)

由 DE⊥AB, DF ⊥AC, 知點 A、E、F 、D 四點共圓, 且 AD 是該圓的直徑。

在 △AEF 中, 由正弦定理, 得 EF

sin A = AD, ∴ EF = AD · sin A。

在 △ABC 中, 由正弦定理, 得 BC

sin A = 2R (R為 ⊙O 的半徑), ∴ sin A = BC 2R。

∴ EF =AD · BC

2R . (6)

同理 F H = AB · CD

2R , (7)

EH=AC · BD

2R , (8)

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將 (6)、(7)、(8) 代入 (5), 得 AD · BC

2R +AB · CD

2R = AC · BD 2R 。 整理, 得 AB · CD + BC · AD = AC · BD。

(b) 托勒密定理 ⇒ 西姆松定理

將西姆松定理 ⇒ 托勒密定理的證明過程一步步逆向推理, 即可由托勒密定理 ⇒ 西姆松定理。

由 (a)、(b) 可知, 托勒密定理 ⇔ 斯德瓦特定理。

既然托勒密定理 ⇔ 斯德瓦特定理, 西姆松定理 ⇔ 托勒密定理, 因此必有斯德瓦特定理

⇔ 西姆松定理, 從而托勒密定理 ⇔ 斯德瓦特定理 ⇔ 西姆松定理。

以上三個著名的定理雖然是不同國家的數學家在不同年代發現的, 但其等價說明這三個定 理只是表達形式不同而已, 其本質是一樣的。 研究定理是否等價, 有利於揭示定理的本質, 以便 我們更好地把握定理本身。

—本文作者任教湖北省襄陽市襄州區黃集鎮初級中學—