三維有限元素法於柔性路面之破壞分析研究

三維有限元素法於柔性路面之破壞分析研究

劉明樓

義守大學土木與生態工程學系

呂雨蓉

桃園縣政府工務局

摘 要

由於國內路面之交通量及車輛荷重有明顯增加的趨勢，而現有柔性路面厚 度設計方法如美國AASHTO及AI等都未明確的由力學觀點探討不同型輪重對 路面績效的影響。國內有些研究者以多層線性彈性理論或二維軸向對稱有限元 素法用於路面之結構分析，但並未能考慮材料之非線性及不同型輪重因素。本 研究採用能合理模擬瀝青混凝土之非線性模式與三維有限元素法結合，並探討 一軸兩輪荷重之鋪面結構反應並與二維數值解作比較。接著將結構分析結果與 破壞模式結合預測鋪面在車輛反覆荷重所造成之車轍與疲勞龜裂，其結果亦與 觀測值作比較。最後則將所得之鋪面績效代入AASHTO之現在路面服務指標方 程式，並比較二維及三維績效分析所得鋪面績效PSI之差異。

關鍵詞：車轍、疲勞龜裂、現有服務指標。

THE FLEXIBLE PAVEMENT DISTRESS ANALYSIS BY THE 3-D FINITE ELEMENT METHOD

Ming-Lou Liu

Department of Civil and Ecological Engineering, I-Shou University,

Kaohsiung, Taiwan 840, R.O.C.

Yeu-Rong Leu Bureau of Public Works, Taoyuan County Government, Taoyuan, Taiwan 330, R.O.C.

Key Words: rutting, fatigue cracking, present serviceability index.

ABSTRACT

Even though the traffic flow of heavy vehicles has increased in Taiwan, the current flexible pavement design methods such as AASHTO and AI methods do not consider the effect of different vehicles, wheels on pave- ment performance from the mechanics point of view. Some researchers in Taiwan have started to investigate the structural response of pavement by using the multi-layer linear elastic theory, and the axisymmetric nonlinear

技術學刊 第二十卷 第三期 民國九十四年

269

Journal of Technology, Vol. 20, No. 3, pp. 269-278 (2005)

finite element method. However, these approaches cannot consider the nonlinear behavior of material or the type of loading. In this study, a nonlinear model, which can represent the behavior of asphalt concrete, is incorporated with the 3-dimentional finite element method to investigate the structural response of pavement and the results are compared with the results from 2-dimentional finite element analysis. The stresses from the structural analysis are combined with the pavement distress models to pre- dict the rutting and fatigue cracking of pavement, and compared with the measured distress. Finally, the distress from the 2-D and 3-D finite element methods are incorporated into the Present Serviceability Index equation to compute the PSI by the number of vehicle exposures.

一、前 言

目前國內大部份之道路是屬於柔性路面，而柔性路 面之破壞又以車轍和疲勞龜裂對路面影響最為嚴重。若鋪 面工程師能合理的預測路面之破壞，則對於路面厚度之設 計、路面維修和鋪面配合設計將有非常大之助益。目前柔 性路面之車轍和疲勞龜裂預測須先進行結構分析以獲得 路面結構在受力後所產生之應力與應變，再將此結果進行 破壞分析，故結構分析結果之合理性將影響破壞分析之成 果。目前對於柔性路面之結構分析可歸納為兩種方法，其 為多層彈性法(multilayered elastic method)[1]和有限元素 法(finite element method)[2-6]。然而由過去鋪面材料試驗 已證明路面材料在受力後其應力與應變為非線性[7]，故 前面所提之兩種方法又以有限元素法最適合模擬材料之 非線性行為。在非線性有限元素之發展較為鋪面工程師所 熟悉的有 Kenlayer、ILLI-pave 及 Mich-pave 等程式，上 述有限 元素程式常被研 究者作為鋪 面非線性分析之工 具，但這些軟體皆屬二維軸向對稱非線性有限元素程式，

且所採用之非線性回彈模式亦類似，而所用之回彈模式未 必能合理的模擬鋪面材料在不同應力路徑下之行為，故本 研究將提出較複雜且能合理預測鋪面材料在不同應力路 徑下行為之模式，並將此模式與三維有限元素程式結合作 為鋪面分析之用。

依據動態地磅之調查資料顯示重車(大於 35 噸)之比率 已增加至10-15 % [8,9]，且大部份之重車屬於 S112 型(四 輪半聯結車)，且所產生之胎壓也較大(130-140psi)，對路面 破壞之影響也較劇烈。因此分析重車對路面破壞之影響有 其實際上之需要，尤其是探討不同輪荷重車輛對路面所造 成應力與破壞之差異以作為設計參考。目前台灣地區於柔 性路面厚度設計法[1,10-12]所採用之設計荷重只將各種軸 重轉換成等效單軸荷重(equivalent single axle load)而未針 對超載對路面之影響作進一步分析。雖然稍後AI 設計法中 有將超載之胎壓用校正因子修正等效單軸荷重，但因其結

構及破壞分析所用之材料組成律(constitutive model)及破壞 模式較為簡單又引用不少經驗公式，且亦無法探討不同型 荷重對路面破壞之影響，故使用更合理的模式與方法分析 不同型荷重車輛對路面績效之影響是鋪面工程師及研究者 探討的焦點。

路面績效分析是計算路面在開放通車後，其受車輛反 覆荷重下所造成之車轍與疲勞龜裂。路面績效分析主要由 結構分析與破壞分析兩部份組成，結構分析是計算路面受 車輛荷重下所產生之應力與應變，而破壞分析則是將結構 分析所得結果與鋪面之車轍與疲勞龜裂模式結合以計算路 面在車輛反覆荷重下所造成之破壞。本研究首先提出能合 理模擬鋪面材料之非線性模式，並將其與所發展之三維有 限元素法結合探討一軸兩輪荷重之鋪面結構分析，且與解 析解及二維非線性有限元素之結果作比較。接著將有限元 素程式與破壞模式結合用於預測美國SHRP 計畫某試驗道 路之車轍與疲勞龜裂並與觀測值作比較，最後將AASHTO 所發展之路面現有服務指標方程式與路面績效結合計算路 面現有服務指標與車輛荷重次數之關係。

本研究將採用能模擬鋪面材料行為之非線性模式與 三維有限元素法結合發展鋪面績效分析程式，主要原因為 目前之鋪面非線性分析之回彈模式未必能合理的預測鋪面 材料在不同應力路徑下之應力與應變關係，而本研究所使 用之鋪面回彈模式可合理預測鋪面在不同應力路徑下之反 應，故是較能代表鋪面材料應力反應之模式。此外，使用 三維有限元素法分析方法之原因為鋪面在二輪荷重下之分 析若用Kenlayer 或 Mich-pave 則需使用重疊法，但在非線 性分析不可使用重疊法，故使用三維有限元素分析有其必 要性。

二、三維非線性有限元素程式發展與分析

1. 非線性回彈模式與驗證

近年來回彈模數之觀念已普遍被應用於模擬路面材料受 力之力學行為，而回彈模數之定義為在三軸試驗時其軸差

劉明樓、呂雨蓉：三維有限元素法於柔性路面之破壞分析研究

271

表一 瀝青混凝土之非線性模式參數

溫度

參數 4 (L)℃ 20 (M)℃ 40 (H)℃

k

1 253 3920 1101

k

2 0.38 0.09 0.43

k

₃ 0 0 0

k

4 0 -0.001 0

k

₅ -0.83 -1.17 -1.66

圖 1 瀝青混凝土在單軸拘束壓縮試驗下兩種溫度之

模式預測值與觀測值之比較 (20℃-M，40℃-H)

應力與彈性應變之比。已有許多學者提出不同回彈模數之 公式，其中又以 Uzan[7]提出鋪面材料之回彈模數最一般 化，可由下式表示之：

3

2( )

) )(

( ₁ ^{1 k}

a k oct a

a

P P

P I k

E τ

=

(1)

式(1)中k1

、 k

2 和k3 是材料參數，Pa 是參考壓力，I1 是第一 應力不變式，

τ

oct 是 octahedral shear stress，而柏松比ν可 由熱力學第一定律與式(1)推導而得[13]，其結果可表示如 下：

)]

2 (

) 2 1

( [ ) 2 3 ( 2 )

(

3 2 3 3

3 3 3 2 2 3 2

3 2 3 3 3 1 5 4

3

k k k B k

k k k B k k k

k k k k

k u k k v

v

y x

y y x

x

− ′ + ′ + ′

′ +

′ −

′ +

′ −

− +

′

′ +

−

= _ν

其中

u

1=3y－x²，

x = I

1，y = J2，

k´

3 = k2/2 及 B_ν =1－3J2/I12。 式(2)中 k4和

k

5是材料性質，J2是應力偏差張量第二不變 式，B_ν (c,d) 是不完全 Beta 函數，以上之材料參數可由模 擬材料應力與應變行為反算求得。

因此組成律是以割線模數表示，為了求得增應變與增 應力的關係式並與有限元素法結合，首先得應變與應力的

公式並將其對應力

σ

ij 微分則可得下式：

d

d

kl ij mm kl ij kl

ij kl ij kl j

ik ij

σ σ

∂σ ν Ε σ δ ∂ Ε δ ν

σ Ε ν σ σ ∂

∂σ ∂ Ε δ Ε

Ε ν δ ε

} ) (

) ( ) 1 (

{ 1

₂

−

−

+ ∂ + −

=

_l

(3)

其中

δ

_kl是Kronecker delta，上式中因 E 及 v 之表示式較為 複雜，故其對應力之微分是採用數值微分方式進行。式(3) 亦可寫成應力與應變增量矩陣之形式：

} { ] [ }

{

dε = C

⁻¹

dσ

(4)

矩陣[

C

] 將與有限元素法結合計算路面受車輛荷重後所 產生之反應。

為 驗 證 所 使 用 模 式 之 正 確 性 ， 本 研 究 使 用 美 國 SHRP(strategic highway research program)計畫[14]中之某 試驗道路鑽心取樣所得之瀝青混凝土試體於兩種溫度(20

℃及40℃)下進行單軸拘束壓縮試驗、體積壓縮試驗和簡單 剪力試驗，利用式(3)之材料組成律關係式進行應力與應變 行為之模擬，並以最佳化之方式求得其模式參數，再將所 得參數代入上述公式求出在給定應力下之應變。圖1 至圖 3 為 20℃及 40℃時瀝青混凝土材料在單軸拘束壓縮試驗、

體積壓縮試驗和簡單剪力試驗時其模式預測值與實驗值之 比較，由圖知除了簡單剪力試驗之應變預測值與實驗值有 較大之差異外，其餘之單軸拘束壓縮試驗與體積壓縮試驗 之觀測值與實驗值都相當接近。另外，由圖中亦可知瀝青 混凝土受力後有明顯之非線性行為，而上述兩種溫度下之 模式參數如表一所示，而 4℃溫度下所得之瀝青混凝土材 料性質亦示於表一。故由以上結果可知本研究所使用的模 式可合理的模擬瀝青混凝土在不同應力路徑下的應力與應 變行為，此模式將與三維有限元素法結合用於分析路面結 構在車輛荷重下所產生的應力與變形。

2. 三維非線性有限元素法與結構分析

本研究是利用虛功原理進行三維非線性有限元素法 之推導，考慮一固體

Ω

，其受外力{df}向量作用下所產生 相對的增應力為{dσ}，但由於回彈模式為非線性，其內外 力不平衡，可用下列之公式表示：

0 } { } ]{

][

][

[

− ≠

=

∫

B

^T

C B du d Ω df

ϕ

_Ω ⁽⁵⁾

上式中[C]是應力與應變關係矩陣，此[C]矩陣即為公式 (4) 之[C]矩陣。[B]為應變與位移關係矩陣，而{du}則為位移增 量。為使公式(5)中

ϕ 為 0，本研究使用 Zienkiewicz and

Pande[15]等所提出 initial tress 方法，將每次計算所得不為 (2)

開始

輸入資料與荷重

勁度矩陣

解方程式

檢驗內力與外力平衡

破壞分析 收斂

下一荷重增量 疊代至內外力平衡

35.56 cm

35.56 cm

邊長=19.04 cm 直徑=21.48 cm

圖 2 瀝青混凝土在體積壓縮試驗下兩種溫度之模式

預測值與觀測值之比較 (20℃-M，40℃-H)

圖 3 瀝青混凝土在簡單剪力試驗下兩種溫度之模式

預測值與觀測值之比較 (20℃-M，40℃-H)

0 之

ϕ 作為下一次的外力，再求出相對應的位移增量，如

此反覆執行直到

ϕ

趨近於 0 為止。本研究所使用之程式是 以Owen and Hinton 所發展之二維軸向對稱有限元素程式 為基礎將其修改為三維軸向對稱有限元素，並將所提之非 線性回彈模式公式(2)與公式(3)加入而成三維非線性有限 元素程式。由於三維有限元素法之網格與元素之連結性往 往需耗費相當之時間建立，故本研究採用所發展之網格自 動產生程式以節省網格產生之時間與錯誤。此外亦以Front Solver[15]解聯立方程式減少所需大量之儲存空間，且所解 之自由度可達兩萬個，而所發展之三維非線性有限元素法 流程如圖4 所示。

三維有限元素程式將分別進行線性與非線性分析並 與現有之解析解或數值解作比較，所分析之鋪面則取自美 國 SHRP 計畫中之某一試驗道路[14]，所使用之荷重為一 軸二輪荷重。因二維軸向對稱有限元素分析只能使用圓形 荷重，而本研究之三維有限元素分析是使用方形荷重型 式。為能比較二者結果，假設兩種分析方法所用之車輪荷 重為標準軸重即80 KN (18000 lb)，每一輪承受 20KN (4500 lb)荷重且胎壓為 551.6 KPa。在此假設下方形荷重面積為 362.66 cm²（邊長為19.05 cm）。將其轉換為等值面積之圓 形荷重其直徑為21.48 cm，且兩輪中心距為 35.56 cm，其 荷重之幾何示意圖及鋪面結構如圖5 所示，其中圖 5(a)為

圖 4 三維非線性有限元素法之流程圖

瀝青混凝土

ν = 0.4 13 cm

底 層 E=1.4×10⁶ KPa ν = 0.4 17 cm 路 基 E=1.1×10⁵ KPa ν = 0.4

(a)三層路面結構側面圖

(b)荷重鳥瞰圖

圖 5 分析荷重及鋪面結構示意圖

荷重與鋪面結構示意圖，而圖 5(b)為荷重之鳥瞰圖。圖 5 亦說明兩種分析方法之荷重於輪之邊緣中央處及角隅處有 些差異，故其結構分析結果亦將有所不同。分析鋪面之底 層及路基之回彈模式是由現場落體測位移之結果反算求得 亦示於圖5(a)。

本研究所用之三維線性有限元素程式已被驗證能合 理預測鋪面之結構分析反應[16]，故將用此程式與二維軸 向對稱有限元素分析之結果及多層彈性程式 BISAR 進行 比較，而二維及三維有限元素分析所用之網格如圖 6 所 示。在二維軸向對稱有限元素分析，其底部及右側節點分 別固定不動，而左側之節點則可允許垂直移動。在三維有 限元素分析其四周及底部邊界之節點則視為固定不動。由

劉明樓、呂雨蓉：三維有限元素法於柔性路面之破壞分析研究

273

(a)二維軸向對稱有限元素網格示意圖

(b)三維有限元素法之分析網格 圖 6 二維及三維有限元素分析網格示意圖

於三維分析之變數自由度較大，為減少記憶空間而採用較 大之網格。線性分析之瀝青混凝土之回彈模數為 2.76×10⁶ KPa。圖 7 為兩輪荷重時於一輪荷重中心處表面垂直位移 遠離軸方向之變化，由圖可知二維軸向對稱有限元素與多 層彈性程式BISAR 所得之結果相當接近，而圖中亦顯示二 維及三維有限元素分析結果最大位移之差異為18%，且二 維有限元素分析之位移大於三維有限元素分析之位移，其 原因為二種分析方法所用之網格不同外，兩者之荷重幾何 亦有差異如圖 5(b)所示。在一輪荷重下二維及三維有限元 素分析所得垂直應力於深度方向之變化如圖8 所示，由圖 可知除接近表面處之垂直應力外二維軸向對稱有限元素 法、多層彈性BISAR 程式及三維有限元素法所得之結果都 相當接近，此外二維分析之垂直應力都稍大於三維有限元 素分析，其最大差異為11%，此行為亦符合用彈性理論分 析之結果。由以上之分析可知於鋪面之線性結構分析中使 用二種不同的荷重形式所得之結果亦有不同，且此結果亦 將影響鋪面之績效反應。

接著為進行非線性分析，其中瀝青混凝土假設為非線 性，所採用之性質為表一中高溫下三種不同應力路徑所得 之材料參數。值得注意的為二維軸向對稱有限元素不能直

圖 7 一輪荷重中心下表面垂直位移於軸方向之變化

圖 8 一輪荷重中心下垂直應力與深度變化之關係

圖 9 二維及三維非線性分析所得於一輪荷重中心下

表面垂直位移於軸方向變化之比較

接使用二輪荷重，故需藉著重疊法方式得二輪荷重之結 果，但此方式將造成誤差，而多層彈性程式則無法進行非 線性分析，故以下僅比較二維軸向對稱有限元素法與三維 有限元素法分析結果之差異。圖9 為兩輪荷重下於一輪荷 重中心處表面垂直位移沿軸向之變化，由圖中可知二維及 三維有限元素分析之結果有些差異，其中最大位移差異為 29%，且二維有限元素分析位移亦大於三維有限元素分析

圖 10 二維及三維非線性分析所得於一輪荷重中心下 表面垂直應力於深度變化之比較

之值，此結果類似線性分析。應力分析於一輪荷重中心處 二維及三維有限元素分析所得垂直應力與深度之變化如圖 10 所示，由圖中亦可知兩種分析方法所得應力之最大差異 有26%，且二維分析之垂直應力亦大於三維分析之結果，

但兩者之差異較線性分析為大。因三維分析所得每點之應 力有6 個分量，在應力分析中若能以應力不變量表示應力 之變化將更為合理，故將二維及三維有限元素分析所得之

τ

oct (octahedral shear stress)於一輪荷重中心處隨深度之變 化，此

τ

oct可表示一點承受剪力大小之指標並作為破壞分析 之依據。

圖11 為二維及三維非線性有限元素分析中 τoct於一輪 荷重中心處隨深度之變化，由圖亦可知二維分析所得之

τ

oct

明顯大於三維分析之結果。由以上之應力分析可知在線性 分析中二維及三維分析之應力較接近，但在非線性分析中 則兩者有較大的差異，而此差異將對績效分析造成不同的 影響。現有鋪面結構分析仍常用軸向對稱之假設，由以上 分析可知使用相同荷重大小但荷重幾何不同所得之結構分 析反應亦不同，且在非線性分析時差異更大，但其對績效 分析的影響仍未被探討，故以下將繼續探討不同幾何荷重 對績效分析的影響。

三、鋪面績效分析

績效分析為利用結構分析之結果與鋪面之車轍及疲 勞龜裂模式結合計算鋪面在車輛反覆荷重下所造成之破 壞，以下將分別介紹所使用之車轍與疲勞龜裂模式，並用 此模式預測之結果與實際鋪面之觀測值作比較，最後則將 破壞分析之結果與 AASHTO 現有服務指標方程式結合計 算鋪面在車輛反覆荷重下之PSI。

1. 車轍模式

柔性路面車轍係鋪面結構因反覆交通載重而引起在

圖 11 二維及三維非線性分析所得於一輪荷重中心下 τ oct 隨深度變化之比較

輪跡處垂直及側向移動之永久變形量。在路面的車轍分析 中，二參數模數[13,17-20]是最常被用於計算路面材料在車 輛反覆荷重下之永久應變量，此模式可表示如下：

N s N

p( ) log log

log

ε = µ +

⁽⁶⁾

本研究採用 Modified Vermeer[21]塑性力學的理論計算

µ

值。其公式如下：

) , , , , , , ,

( 1 2 3 4 5 cv

zz

k k k k k x

d λ ∂σ ∂ g µ α φ φ

µ = =

(7)

路面車轍之計算是將路面結構分成數層，用式(6)計算出每 一層在給定交通載重次數下之永久應變量，再將其乘該層 之厚度即為該層之永久變形量。最後再將每一層永久變形 量疊加即為該荷重次數之路面車轍，故路面車轍公式可表 示如下：

=

∑ ∑

= = j i

n k

k P,k

j i

h

1 1

ε

δ

⁽⁸⁾

此車轍模式將與有限元素法程式結合來計算路面在給定交 通載重次數下之永久變形量。

2. 疲勞龜裂模式

疲勞 龜裂係路面因 車輛反覆載重 而造成裂縫的現 像，而車輛載重所造成之應力大都低於瀝青混凝土之張力 強度。傳統之疲勞龜裂模式大都採用由實驗室瀝青混凝土 疲勞試驗之結果而提出其龜裂破壞所需次數與瀝青混凝土 底部受力時張力應變或張力應力之迴歸關係式[22]，其缺 點為經驗公式且也無法區別鋪面之初始龜裂與龜裂傳播兩 部份，且也受到其它因素之影響而無法廣泛的應用。本研 究嘗試由破壞力學與微觀破壞力學之理論來分析路面之疲 勞破壞。首先假設路面允許疲勞破壞次數為初始龜裂形成

劉明樓、呂雨蓉：三維有限元素法於柔性路面之破壞分析研究

275

表二 三種不同溫度之破壞參數

溫度

參數 4℃ 20℃ 40℃

α 26.4 3.91 9.81

φ

46˚ 21˚ 44˚

x(KPa) 3103 1282 165

φ

cv 20˚ 8˚ 15˚

s 0.13 0.36 0.48

σ

t(KPa) 2530 1619 924

次數和龜裂傳播次數之和如下公式所示[23]：

p i

f

N N

N = +

(9)

初始龜裂次數定義為微裂縫在破壞區之發展與形成可看見 裂縫所需次數。由微觀破壞力學模式[13]及統計回歸分析 得

N

_i，其可表成下式：

) ( )]

( log ) (

[ ) (%

)}

] log(

) 1 ( 2 [

{ ) (%

) log log

(

]}

) 1 ( 2 [ {

log

10 9

8 7

2 2

6 10

5 10 4

2 2

3 2 1 0 10

b E E

b Air E b

b AC E b b

E b

b b b N

m m m

m oct

m m

oct m

m i

σ σ σ

τ σ µ σ

σ

τ µ σ

σ

+

+ + +

+

+ +

+ +

+ + + +

=

其值可見參考文獻[13]。而龜裂傳播所需之次數 Np則由破壞 力學中之Paris's 定律求得其可表示如下：

∫ _∆

= _c ^h _n

p K

dc N A

0

1 (11)

或

A N

I

_KII

=

_p * (12)

式(11)之 ∆K 是由 Owen 和 Fawkes[24]所發展之破壞力學有 限元素程式求得並由積分得出

N

_p。為避免每次之分析都須 進行破壞力學有限元素程式之計算，故首先用此程式建立 在不同之

A 與 n 及數種路面結構下 I

_KII之資料庫，並由統 計方法得出在給定之 A 與 n 時，I_KII 與路面厚度及其性 質之關係式如下所示：

2 14 2

12

10 2 9

7 6

2 5

4 1

0

) ( )

( ) log(

SG BS SG

BS SG AC 13 SG AC

SG BC BS 11 SG AC BS BS

SG BS AC 8

SG AC AC BS AC AC

SG BS SG B AC 2 AC

E a E E E E a E E a E

E h E E a h E a h E a h E a

E h E a h h a h a

E a E E a E + h a + h a + a I

_KII

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+

+

=

圖 12 分析路面之月平均空氣溫度及 1/3 瀝青混凝土厚 度處溫度之變化

圖 13 分析路面之車轍與交通次數之關係

鋪面龜裂面積之計算則採用Rauhut 等人[19]所引用之 觀念，將路面之結構及材料性質視為隨機變數，路面之龜 裂破壞則由 Miner's 定律求得如下所示：

=

∑

= j

i f

i

j

N

D n

1 (14)

其平均值及變方可由 Cornell's 第一力矩定律求得[25]，詳 細之公式推導可參考文獻[18, 19]。在得知 Dj 之平均值及 變方後，D_j

破壞因子達到 1 之機率 F(1)即可算出，此時

路面已完全破壞。故鋪面疲勞龜裂面積可由下式算出：

)]

1 ( 1 [ 9 . 92

F

c = × −

(15)

上式中

c 是路面期待之疲勞龜裂面積 (m

²/92.9m²)。

3. 鋪面破壞模式程式之驗證

為驗證所發展破壞分析程式之有效性，本研究將使用 前節所提到 SHRP 試驗道路之試驗及績效資料進行驗證 [14]。

(10)

(13)

圖 14 分析路面之疲勞龜裂與交通次數之關係

所分析鋪面之結構及其底層、路基之材料性質如圖 5 所 示，該試驗道路於 1976 年開放通車並於 1990 年及 1991 年量測其車轍及疲勞龜裂資料。因考慮鋪面受溫度之影 響，故亦由鑽心取樣取得瀝青混凝土之試體並進行三種溫 度下之單軸拘束壓縮試驗、體積壓縮試驗及簡單剪力試 驗，此三種溫度分別為 4℃(低溫)、20℃(中溫)及 40℃(高 溫)，並由此試驗結果求得其三種溫度之材料參數如表一所 示，而鋪面於上述溫度下之破壞分析所需之參數性質如表 二所示。此外，此鋪面之一年月平均溫度(month mean air temperature, MMAT)如圖 12 所示，並藉由美國農工大學所 發展之環境影響因子整合程式[26]求得瀝青混凝土於 1/3 厚度處之溫度及底層之回彈模數，瀝青混凝土於 1/3 厚度 處溫度之變化亦示於圖中，並依此溫度及回彈模數作為鋪 面分析季節之劃分。劃分之原則為每兩個季節之溫度不大 於 5.5℃， 且每個 季節 底層及 回彈 模數 之變 化不 超過 100%。依此要領此鋪面劃分為 9 個季節如圖 12 所示，每 個季節所需結構及破壞分析參數則由此季節之溫度與上述 瀝青混凝土於三種不同溫度試驗結果之參數結果內差而 得。然後分別進行每一季節之結構分析並求得其於一輪荷 重中心處之應力與深度之變化作為車轍分析之依據，而疲 勞龜裂分析則分別求得每一季節下瀝青混凝土底部之張應 力，並以此作為疲勞龜裂分析之依據。為驗證所發展程式 之合理性仍將以三維之分析結果與二維分析之結果作比 較，且二種分析方法所用之材料參數皆相同。圖13 為二維 及三維有限元素分析結果所得知車轍與荷重次數之關係，

由圖中可知二維分析所得之車轍大於三維分析所得之車 轍，且二維分析所得車轍大於觀測值，而三維分析所得之 車轍則小於觀測值，且三維有限元素分析結果較接近量測 值。圖14 為二維及三維有限元素分析所得疲勞龜裂與荷重 次數之關係，由圖中兩種分析方法所預測之疲勞龜裂皆為 零，而現場觀測值亦無疲勞龜裂。由以上之分析可說明本 研究所發展程式之合理性。

圖 15 分析路面之 PSI 與交通次數之關係

4. 路面現有服務指標分析

在 AASHTO 之路面厚度設計中，路面現有服務指標 PSI（present serviceability index）是決定路面服務品質及是 否須加鋪之依據，其公式可表示如下：

p c . ) ( . ) sv log(

. .

PSI =

503

−

191 1

+ −

138

δ

_a ²

−

001

+

(16) 本研究將鋪面績效分析所得之車轍與疲勞龜裂面積代入上 式以求得路面現在服務指標，其中修補之面積

p 假設為

0，而 sv 則是採用 Kenis 所提之公式計算而得，其可表示 為：

2 var[ ] )

(

_{2 a}

C sv B E

sv = = δ

(17)

上式中

B 及 C 是 roughness properties，分別假設為 1 及

0.0335[26]。為避免複雜之計算，式(17)中車轍變方 var[δa] 是將計算所得車轍之平均值乘以變異係數後平方，此變異 係數假設為20%。圖 15 為將路面之車轍及疲勞龜裂代入路 面現在服務指標後所得路面服務指標PSI 與荷重次數之關 係，由圖中顯示路面之PSI 隨荷重次數之增加而減少，且 又以二維有限元素分析所得之路面現有服務指標PSI 遞減 較三維分析結果為較快。

四、結 論

現有路面分析大都採用二維軸對稱有限元素分析，然 而此分析法往往無法模擬多輪荷重之情形。本研究發展三維 有限元素程式使路面受力之反應分析能更合理的被計算。首 先進行鋪面結構分析，並以所得結果進行路面破壞研究，最 後並將所得之車轍與疲勞龜裂面積代入美國AASHTO 之路 面現在服務指標公式。本研究所得之結論如下：

劉明樓、呂雨蓉：三維有限元素法於柔性路面之破壞分析研究

277

(一) 瀝青混凝土受力時，其應力與應變有明顯的非線性關 係，本研究所使用之模式可合理模擬瀝青混凝土在不 同應力路徑下之反應。

(二) 鋪面之線性結構分析中，在相同的荷重的大小但不同 的荷重幾何所得之反應結果不同。二維軸向對稱分析 所得位移皆大於三維分析之結果。二維軸向對稱所得 之應力亦較三維分析大。

(三) 在非線性結構分析中二維有限元素所得之位移仍大於 三維有限元素法之結果，類似於線性分析，而在應力 分析中二維有限元素法所得於荷重中心處之垂直應力 除在表面處外皆大於三維有限元素分析之結果，但值 得一提的為二維有限元素法於二輪荷重分析所使用之 重疊法是不合理的。

(四) 在探討荷重中心處應力不變量 τoct與深度之影響分析 中，二維有限元素分析所得之

τ

oct明顯大於三維有限元 素分析之結果。

(五) 二維車轍分析所得之車轍量大於三維分析，且二維車 轍分析所得之車轍值大於觀測值而三維分析之車轍值 則小於觀測值且與實際值誤差較小。而在疲勞龜裂分 析中二維及三維所預測之疲勞龜裂皆為零與觀測值 同。

(六) 績效分析中鋪面之現有服務指標 PSI 隨荷重作用次數 增加而遞減，且二維分析所得之PSI 遞減速度較三維 分析結果為快。

符號索引

A, n

疲勞龜裂傳播之材料參數

a

0

,a

1

,…,a

14 I_KII之迴歸常數

B

_ν (c,d) 不完全Beta 函數

b

0

,…,b

9 初始疲勞龜裂之迴歸常數

c

路面期待之疲勞龜裂面積(m²/92.9m²)

c

₀ 初始龜裂長度

D

j

j 期間之破壞因子

dε

_ij

, dσ

_ij 增應變與應增力張量

dλ

比率常數

E

楊氏模數

E

_AC, E_BS, E_SG 瀝青混凝土、底層及路基之回彈模數

g

塑性勢能函數

h

_AC, h_Bc 瀝青混凝土及底層之厚度

h

^k 路面結構第 k 層之厚度

I

₁ 第一應力不變量

J

₂ 第二軸差應力不變量

k

1, k2, k3, k4, k5

非線性材料參數

N

車輛反覆荷重次數

N

f, Ni, Np 路面允許荷重次數，初始龜裂次數，龜裂 傳播次數

n

i

i 期間之荷重次數

p

鋪面修補之面積

P

a 參考大氣壓力 PSI 路面現有服務指標

V

柏松比

α, χ, φ , φ

_cv ^{塑性力學材料參數}

δ

車轍值

δ

_a 車轍量

δ

ij Kronecker delta

δ_j

j 期間之車轍累積量

∆K 應力強度因子變量

ε

^p 軸向塑性應變

ε

^pj,k

j 期間第 k 層所承受交通量之永久應變量

µ, s

車轍模式參數

σ

_m 瀝青混凝土底部之平均主應力

σ

zz 垂直方向之應力

φ

殘餘應力

sv

slope variance

c

^{疲勞龜裂面積}

%AC, %Air 瀝青含量及孔隙率

∆ ^K

應力強度因子之變化量

τ

oct octahedral shear stress [C]^-1 切線勁度矩陣之反矩陣 [C] 應力與應變關係矩陣 {d

σ

},{d

ε

} 應力與應變增量向量 {du} 位移增量向量

誌 謝

本研究承蒙國科會「三維SHRP 超級路面成效分析與 驗證」計畫(計畫編號：NSC90-2211-E-214-006)之經費補 助，特此申謝。

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2004 年 12 月 03 日 收稿

2004 年 12 月 20 日 初審

2005 年 05 月 16 日 複審

2005 年 07 月 22 日 接受