微積分入門講義

1

微積分入門講義

2013.1.1

第一章 函數與極限

一、已學過的函數

1. 多項式函數（polynomial function）與有理函數（rational function）

2. 指數函數（exponential function）與對數函數（logarithmic function）

3. 三角函數（trigonometric function）

二、其他常用函數(補充)

1. 反三角函數（inverse trigonometric function）

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2. 反三角函數的性質

(1) 反函數特性：^{sin 1}

(

^sin

)

^{, [ , ]; sin sin}

(

¹

)

^,

^[

^{1, 1 ,}

^]

2 2

x x x π π x x x

− = ∀ ∈ − − = ∀ ∈ −

一般而言， f ¹

(

f x^{( )}

)

x^, x D^f; f

(

f ^{1( )}x

)

x^, x Df−¹

− = ∀ ∈ − = ∀ ∈

(2) 餘角關係：sin ¹ cos ¹ , tan ¹ cot ¹ , sec ¹ csc ¹

2 2 2

x x π x x π x x π

− + − = − + − = − + − =

(3) 負角關係：^sin−1

( )

−^x = −^{sin−1x, cos−1}

( )

− = −^x π ^{cos−1x, tan−1}

( )

− = −^{x tan−1x}

(4) 倒數關係： ¹1 ^{1 1}1 ^{1 1}1 ^{1 1}

sin csc , cos sec , tan tan cot ( 0)

x x 2 x x x

x x x

− = − − = − − =π − − = − >

(5) 其他關係： ^{1 1 2 1 1}

cos sin 1 (0 1), tan sin 2 ,

1

x x x x x

x

− = − − ≤ ≤ − = −

+

3. 雙曲函數（hyperbolic function）

[ ]

[ ]

( )

( ] [ ) [ ]

( ] [ ) { }

1

1

1

1

1

1

(1) sin : 1, 1 [ , ] 2 2 (2) cos : 1, 1 [0, ]

(3) tan : ,

2 2 (4) cot : 0,

(5) sec : , 1 1, 0,

2

(6) csc : , 1 1, , 0

2 2 x

x x R x R x

x

π π π π π

π

π π π π

−

−

−

−

−

−

− → −

− →

 

→ − 

→

−∞ − ∪ ∞ → −   

 

 

−∞ − ∪ ∞ → − −

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

4. 雙曲函數的性質：

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

(1) cosh sinh 1 ( ), 1 tanh sech , 1 coth csch

(2) sinh sinh , cosh cosh , tanh tanh

1 1 1

(3) sinh csch , cosh sech , tanh coth (4) sinh sinh cosh cosh sinh , cos

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x y x y x y

− = − = − = −

− = − − = − = −

 =  =  =

     

     

+ = +

雙曲函數名詞的由來

( )

h x+y =cosh coshx y+sinh sinhx y

註：Osborn rule：對於一個已知的三角函數公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函 數，並將含有兩個 sinh 乘積的項轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。

三、極限

1. 函數極限的運算性質：

若 =α =β

→

→ ( ) ,lim ( )

lim f x g x

a x a

x ，則

(1) + = + =α +β

→

→

→ ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )

lim f x g x f x g x

a x a

x a

x

(2) − = − =α −β

→

→

→ ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )

lim f x g x f x g x

a x a

x a

x

(3) ⋅ = ⋅ =α⋅β

→

→

→ ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )

lim f x g x f x g x

a x a

x a

x

(4)

β

=α

=

→

→

→ lim ( ) ) ( lim ))

( ) ( (

lim g x

x f x

g x f

a x

a x a

x

，其中lim ( )= ≠0

→ g x β

a x

推論：(1) c f x c f x cα

a x a

x ⋅ = ⋅ =

→

→ ( ( )) lim ( )

lim ，其中 c 為常數（constant）。

2 2

(1) sinh ,

2

(2) cosh ,

2

sinh 1

(3) tanh ,

cosh 1

(4) coth 1 , tanh (5) sech 1 ,

cosh (6) csch 1

sinh

x x

x x

x x x

x x x

e e x

e e x

x e e e

x x e e e

x x

x x

x x

−

−

−

−

= −

= +

− −

= = =

+ +

=

=

=

3

第二章 微分

1. 連續：

若函數 f(x)滿足下列三條件，則稱函數 f(x)在x=a處連續（continuous at a）

(1) f(a)有意義； (2) lim f(x)

a

x→ 存在； (3) lim f(x) f(a)

a

x =

→ 。

2. 導數與導函數：

(1)

h a f h a f a

x a f x a f

f x a h

) ( ) lim (

) ( ) lim ( ) (

' 0

−

= +

−

= −

→

→ 稱為函數 f (x)在x=a的導數（derivative）。

(2) 若∀x ∈D_f ， f' x( )皆存在，則稱 f' x( )是 f(x)的導函數（derived function）。 f' x( )亦可以

dx

dy表示（其中y = f(x)）。

註：求導數的過程，稱之為微分（differentiation）

3. 導數的運算性質：

(1) (f +g)'= f'+g' (2) (f −g)'= f'−g' (3) (f ⋅g)'= f'⋅g+ f ⋅g' (product rule) (4) ' ₂ '

)'

( g

fg gf g

f −

= (quotient rule)

推論： (1) (c⋅ f)'=c⋅ f'，其中 c 為常數。

(2) 由性質(1)及推論(1)知，多項式的微分只要逐項微分再相加即可。

4. 導數公式：

(1)

( )

1

' 0 ( )

( ⁿ) ' ⁿ ,

c c

x nx ⁻ n Z n R

 =

 = ∈ ∈



為常數

亦成立 (2) ( ) '

( ) ' ln (ln ) ' 1 (log ) ' 1

ln

x x

x x

a

e e

a a a

x x

x x a

 =

 =



 =



=



(3)















−

=

=

−

=

=

−

=

=

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

cot csc )'

(csc

tan sec )' (sec

csc )'

(cot

sec )' (tan

sin )'

(cos

cos )' (sin

2 2

(4)

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

(sin ) ' , (cos ) '

1 1

1 1

(tan ) ' , (cot ) '

1 1

1 1

(sec ) ' , (csc ) '

| | 1 | | 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

− −

− −

− −

 = = −

 − −



= = −

 + +

 = = −

 − −



(5) ^{2 2} (sinh ) ' cosh , (cosh ) ' sinh (tanh ) ' sech , (coth ) ' csch (sech ) ' sech tanh , (csch ) ' csch coth

x x x x

x x x x

x x x x x x

= =

 = = −

 = − = −



　　　　　 　　　　

註：(1)

0 0

sin cos 1

lim 1, lim 0

x x

x x

x x

→ →

= − = （此兩式為證明三角函數導數公式的關鍵）

(2)

1

0

lim 1 1 lim(1 )

x

x

x x

e x

→∞ x →

 

=  +  = +

(3)

( )

0 0

1 ln 1

lim 1, lim 1

h

h x

e x

h x

→ →

− +

= =

5. 高階導數： ''( )

(

'( ) '

)

d y²2 d dy , ^{( )n} ( )

(

^{(n 1)}( ) '

)

f x f x f x f x

dx dx dx

  −

= 或 =   =

6. 連鎖律（chain rule）

(1) (g f)'(x)=[g(f(x))]'=g'(f(x))⋅ f'(x) (2) dx du du dy dx

dy = ⋅

7. 羅必達法則（L’Hôpital’s rule）： '( ) 0 lim^{x a} '( ) 0

f x

→ g x

 = ∞ 

 ∞ 

當 或 等不定型時，可用此法則  若 lim ( ) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( )

x a f x x ag x x a f x x ag x

→ = → = 或 → = → = ∞且 '( )

lim^{x a} '( ) f x

→ g x 存在 ，

則 ( ) '( )

lim lim

( ) '( )

x a x a

f x f x

g x g x

→ = → ，其中 a 可為 ,∞ − ∞, 0 , 0^{+ −}。

8. 隱函數微分（implicit differentiation）

欲求曲線 ( , )f x y = 之0 dy

dx ，可假設 y 是 x 的可微分函數，再利用連鎖律解得dy dx 。

9. 常見應用：

(1) 求切線（tangent）及法線（normal）方程式：函數 f(x)在x=a的 (i) 切線方程式：y− f(a)= f'(a)(x−a)；

(ii) 法線方程式： ( )

) ( ' ) 1

( x a

a a f

f

y− =− −

(2) 求極值：函數 f(x)的極值只可能出現在下列情形：

(i) 端點； (ii) f' x( )不存在的點； (iii) f'(x)=0的點。

以上三者合稱為函數 f(x)的臨界點（critical point）。

5

第三章 積分

1. 若F'(x)= f(x)，則稱F(x)是 f(x)的反導函數（antiderivative）。

2. 若 f(x)有反導函數，則其所有的反導函數所成的集合，稱為 f(x)的不定積分（indefinite integral），以符號

∫

^{f(x)dx表示。註：若F'(x)= f(x)，則}

∫

^{f(x)dx=F(x)+C}

3. 積分的性質：

(1)

∫

^{(f(x)+g(x))dx=}

∫

^f(x)dx+

∫

^g(x)dx

(2)

∫

^{c⋅ f(x)dx=c⋅}

∫

^f(x)dx，其中 c 為常數。

推論：由性質(1)、(2)知，多項式的積分只要逐項積分再相加即可。

4. 積分公式：

1 1

(1) , 1,

1

(constant of integration), (4)(5)(6)

n n

x dx x C n R n

n C

= + + ∈ ≠

∫

+ ^且

稱為積分常數

以下公式 省略之。

(2)

1 ln | |

ln

ln ln

x x

x x

dx x C

x

e dx e C

a dx a C

a

x x x x C

 = +



= +



 = +



= − +



∫

∫

∫

∫

(3)



















+

−

=

+

= +

−

=

+

= +

=

+

−

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

C x xdx

x

C x xdx

x

C x xdx

C x xdx

C x xdx

C x xdx

csc cot

csc

sec tan

sec

cot csc

tan sec

sin cos

cos sin

2 2

(4)

tan ln | sec | ln | cos | cot ln | csc | ln | sin | sec ln | sec tan |

csc ln | csc cot | ln | csc cot |

xdx x x

xdx x x

xdx x x

xdx x x x x

 = = −

 = − =



= +



= − + = −



∫

∫

∫

∫

(5)

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

sin sin

1

tan 1tan

1

sec 1sec

1

dx dx x

x a

x a x

dx dx x

x x a x a a

dx dx x

x a a

x x x x a

− −

− −

− −

  

= =

  

−  − 

 =  = 

 +  + 

  

 =  = 

 −  − 



∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(6)

2 2

sinh cosh , cosh sinh

sech tanh , csch coth

sech tanh sech , csch coth csch tanh ln | sech | ln | cosh |

coth ln | csch | ln | sinh |

xdx x xdx x

xdx x xdx x

x x x x x x

xdx x x

xdx x x

 = =

 = = −

 = − = −



= − =



= − =



∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

5. 求積分的技巧：

(1) 變數變換法(change of variable or integration by substitution)：

^{設F'= f,且 可微 令g , u=g x( ), 則}

∫

^{f g x}

(

^{( )}

)

^{g x dx'( ) =}

∫

^{f u du( ) =F u( )+ =C F g x}

(

^{( )}

)

^+C

(2) 分部積分法(integration by parts)：

∫

^udv=uv−

∫

^vdu (微分 product rule： (d uv)=udv vdu+ ) (3) 部分分式法(partial fraction)：任何有理函數都可拆分為多項式與部分分式的和，使每一個

部分分式中的分子次數小於分母次數，然後將以上各項分別積分，就得到原函數的積分。

2

2 3

2

2 2 2

2 2 3

1 1

(1) (2) (3)

3 4 ln

(4) (5) (6) sin

3 2 3 1

(7) (8) (9)

2 ( 3) ( 1)

x

x x x

x dx dx xe dx

x x x x

xe dx x e dx e xdx

x x x x

dx dx dx

x x x x x

+ + +

− − +

− − + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

例題： 　　　　　　　 　 　　　　　　　　　

　　　　 　　　　　　　　 　　 　　　　　　

　　　　 　　　 　　 　　　　　　　　

6. 定積分（definite integral）

∫

a^bf(x)dx表示y = f(x)在x= ,a x=b之間與 x 軸所圍之有向面積。

註： 0 1 1

[

1

]

1

( ) lim ( ) , , ,

b n

i n i i i i i

a n

i

f x dx f t x a x x x b x x x b a t x x

− n −

→∞ =

=

∑

∆ = < < < = ∆ = − = − ∈

∫

^其中
且

7. 微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： (1) 若 ^{f :}

[

^{a b,}

]

^{→R為連續函數，則 x ( ) ( ),}

a

d f t dt f x a x b dx

∫

= < < ^。 (2) 若F(x)是 f(x)之一反導函數，則

∫

a^bf(x)dx ⁼F(b)⁻F(a)。 8. 常見應用：

(1) 求面積：求曲線與直線之間或求兩曲線之間所圍面積。

(2) 求旋轉體體積：(i)y = f(x)在[a,b]上方區域繞 x 軸旋轉的旋轉體體積 1 ^b

(

( )

)

²

V =

∫

aπ f x dx (ii)y = f(x)在[a,b]上方區域繞 y 軸旋轉的旋轉體體積 ₂ ^b2 ( )

V =

∫

a πx f x dx (3) 求弧長：y = f(x)在[a,b]上的弧長S ^b f x dx

∫

a ⁺

= 1 ( '( ))²

7

精選習題

( ) ( )

( )

0 5 2 0 0

2

2 2 3 3 2

0 1

1

0

1.

1 1 1 10 10 sin 2 1

(1) lim (2) lim (3) lim (4) lim

5 25 sin 3

(5) lim (6) lim 1 (7) lim (8) lim 2 1 2 1

sin log

(9) lim 1

x

x x x x

x x

x x x x

x

x x x x a

x x x x x

e e x

x x a x x x x x

x x

x

→ → → →

−

→ → →∞ →∞

→

+ −  −+ − −+  −

− − + − + − − + −

+

求下列各極限值：

　 　 　　 　 　 　　　 　　

　 　 　 　 　　　

(

^{7 7 7}

)

3 0 3 8

tan sin 1 1 1 1

(10) lim (11) lim 1 2 (12) lim 1

2

x

x n n

x x

x n n n n

→ →∞ →∞

− + + +  + + + 

 

　 　 　

2. 求下列各導函數：

( )

^{2 3}

2

2 4 3

3 3

0

3 5

(1) (2) (3) ( 2 3) (4) cos 2

2

(5) ln (ln ) (6) 1 (7) (ln ) (8) ln (sin cos )

1

(9) ln (10) sin tan (11) (12)

x

x x

x x t

y y x y x x y e x

x x

y x y a y x x y x x

a

y x y x y x y te dt

x

= = + = − + =

= = − = =

+

= = = =

∫

　　　　　 　 　 　　　　 　　　

　　　 　　　 　　 　　 　

　　　　　 　　 　　　

3. 求下列不定積分：

2

2

2

2

3 3

2

3 4

1 1

(1) (2) (3) ( 1) 2 3 (4)

1 4

(5) ln (6) ln (7) (8)

2 3 1

(9) (10) (11) (12)

( 1) ( 1) 1 1 sin cos

x

x x

dx xe dx x x x dx dx

x x

x xdx xdx x e dx x e dx

dx x x x dx

dx dx

x x x x x x

− + + +

+ +

+ +

− − − + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

　　 　　　　　　 　　　

　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　

　　　 　　　 　　　　　　 　

4. 求下列定積分：

( )

²⁶

3 2 2

2

1 2 1 4 1 2 1

2

1 3 2 3

1 0 0

3 2

2 4 3

1 2 2 3

1 1 ln

(1) (2) (3) (4)

1 (ln ) 1

(5) ln (6) 1 (7) (8) 1

ln

2 3 1

(9) (10) (11) (1

1 ( 1) ( 1)

e e

e x e

e

x dx x

dx dx dx

x x x x

x

x xdx x dx x e dx dx

x x

x dx x x

dx dx

x x x x

−

−

 + 

−  

+

+ +

+ − −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

　　 　 　 　　

　　　　 　　 　 　　　　　　　

　　　　 　　　　 　 　　　 ₂

0

2) sin

1 cos

x x

xdx

π

∫

+

參考資料：

1. Kleppner, Ramsey 著、駱傳孝譯，《速成微積分》，曉園出版社(1992) 2. Spiegel 著、楊維哲編譯，《數學手冊》，正中書局(1979)