複 動力系統的理論及研究進展淺介
楊重駿
•潘建強
引言:
複動力系統理論對了解混亂 (Chaos)、
碎形幾何 (Fractal Geometry) 和結構穩定 性 (Structural Stability) 等的研究及進展 有著重大的幫助。 本文主要是報告複變函數 的動力系統的基本知識及技巧和它的一些新 研究成果及問題。
歷史和發展經過:
自然界中常出現一些隨時間或位置而演 變的體系, 如行星系、 流體運動等。 它們的運 動通常可用一些變數及參數的函數或微分方 程來表示。 我們稱之為系統。 動力系統論是研 究系統其自身演化規律的理論。 研究中涉及 了不少數學中主要的技術領域, 包括代數、 分 析拓樸和微分方程等。
複動力系統是動力系統的一類。 簡單 地說, 它就是研究任給複平面 C 上一點 z0 , 在複函數 f 不斷遞代 (Iterate):
f (z0), f (f (z0)), · · · 的終極性態, 此一序列 又稱為 f 在點 z0 的軌道。
早在本世紀初, Julia (1918) 和 Fatou (1919) 已經開始研究複數域的有理函數的
遞代的性質。 但直至 80 年代, 這門學問才重 新被人們注視和作廣泛的研究。 由於有了現 代電腦圖像和其它數學工具如拓撲 (Topol- ogy)、 擬共形映照 (Quasi-conformal map- ping) 等的幫功, 一些從前人們認為不能解決 的問題, 現今已找到了答案。 電腦圖像更豐富 了碎形幾何的發展。(簡單地說, 碎形幾何是極 不規則的圖形, 如雲層, 雪片等。 一個碎形是 歐氏空間的一子集, 其 Hausdorff- Besicov- itch 維數大於其拓撲維數 (Topological Di- mension)。 近年來, 這方面的研究已擴展至 超越整函數 (Transcendental entire func- tions) 和亞純函數 (Meromorphic func- tion)(兩整函數的商) 的遞代。 這方面的研 究雖然和有理函數的理論有同處, 但兩者也 有相當明顯的差別。 因為有理函數是複球面 到自身的一種“有限個點對應於一點”的映射, 而超越函數則是“無窮個點對應於一點”的映 射, 並且在本生奇點 (Essential singular- ity) 附近, 其性態非常複雜 (在大 Picard 定理中可見)。 近年來, I.N. Baker, R.C.
Devaney, A.E. Eremenko, M. Yu Lyu- bich, L.R. Goldberg, L. Keen, C. Mc- Mullen, M. Misiurewicz, D. Sullivan,
1
J.H. Hubbard, B.W. Bergweiler 及呂以 輦 (L¨u Yinian) 等對超越函數的動力系統作 出了很重要的貢獻。
現在從基本定義和記號開始:
定義1: 設 {gm} 為一函數族, z0 ∈ C , 如果存在一個領域 V, z0 ∈ V , 使得序 列 {gm} 中任意一個子序列都存在一個子序 列在 V 的任意緊緻子集 (compact subset) 上一致收斂, 我們稱 {gm} 在 z0 上正規。 我 們稱 {gm} 在領域 V 內正規, 如果對所有點
˜
z ∈ V, {gm} 在 ˜z 上正規。
應用正規族的知識, 我們可以證明大 Picard 定理: 設 f 為一解析函數, a 為 f 的本性奇異點。 則在 a 的任一鄰域 V , 除了 可能一個例外值外, f 在 V 中可無窮多次取 得其它任何值。
簡證: 設 a = 0 , 設有一個 R 使有兩個 複數不在 {f (z) : 0 < |z| < R} 內, 我們將 導出矛盾。 不妨設 f (z) 6= 0, 1; 0 < |z| < R
。 令
G = B(0; R)\{0}, 及 fn(z) = f (z
n); n = 1, 2, · · · 每個 fn 皆為解析及不取 0, 1 , 由 Montel 定理得知, {fn} 為 G 內正規。 設 {fnk} 為 {fn} 中一子序列及 fnk 在 {z : |z| ≤ R2} 一致收斂於 ϕ , 則 ϕ 在 G 中解析或 ≡ ∞
。若 ϕ 為解析, 設
M = max{|ϕ(z)| : |z| = 1 2R}
則
f ( z
nk)
= |fnk(z)|
≤ |fnk(z) − ϕ(z)| + |ϕ(z)|
≤ M 當nk充份大
由最大值原理, f 在一以原點為同心的 圓環, 就可導至 f 在除去原點鄰域內為有界, 這與 z = 0 為 f 的真性奇異點不符, 剩下是 ϕ ≡ ∞ 。 這時, f 在 z = 0 有一極點亦不 符, 所以 f 6= 0 及 f 6= 1 是不可能的。 至於 在 V 中可無窮多次取值, 是並不難推證的。
記號1: 記 fm 是 f 的 m 次遞代 (it- erates), 也即
fm =
m
z }| {
f ◦ f ◦ · · · ◦ f f0 = id 為恆等映射, 其中 f : C → C ∪ {∞}是一複變函數。
以下所指的函數族除特別聲明外, 都是一給 定的函數遞代產生的。
定義2: 設 {fm} 是由記號 1 所指的函 數族, 全體 f 的正規點所組成的集合稱為正 規集合或 Fatou 集合, 記為 F (f ) 。 Fatou集 合的補集 C − F ({) 稱為 Julia 集合, 記作 J(f ) 。
顯然, Fatou 集合是開集, 而 Julia 集 合是閉集。
動力系統 {fm} 的基本問題是研究任給 一點, z ∈ C 的軌道 z, f (z), f2(z), · · · 的 性態, 尤其是當遞代趨向無限時的最終性態。
當起始點取在 Fatou 集中與取在 Julia 集 中, 軌道的性態有著很大的差異。 前者的軌道 為收縮的, 故為“穩定”的, 後者則向外擴散而 顯得異常“紊亂”。 Fatou 和 Julia 在研究過
程中, 發覺 Fatau 集和 Julia 集與週期點和 定點 (不動點) 有著重要的關係。
定義 3: 一點 z0 ∈ C 被稱為 周期 點(periodic point), 如果有一個正整數 n , 使得 fn(z0) = z0 。 周期軌道被稱為循環 (cycles)。 當 n = 1 時, z0 稱為定點 (或不 動點), 若點 z0 ∈ C 是一個周期點 (周期為 n ), 則值
λ =
"
d dzfn(z)
#
z=z0
=
Yn
j=1
f′(fj(z0))
稱為 z0 (或其循環) 的特徵值。 點 z0 (或其 循環) 稱為
吸收性(attracting) ⇔ |λ| < 1 排斥性(repelling) ⇔ |λ| > 1 中性(neutral) ⇔ |λ| = 1
定理1: 排斥型周期點屬於 Julia 集合, 而吸 收型周期點屬於 Fatou 集合。 中性周期點兩 種可能性都存在, 但 λ = exp(2πiα) , 且 α 是有理數時, z0 一定屬於 Julia 集。
有理函數 (deg ≥ 2) 和超越亞純函數 f 的 Julia 集合有如下相同的性質:
(i) J(f ) 6= 0 且是完全集 (pertect set)。
(ii) 在 f 的作用下完全不變, 即 f (J) = J = f−1(J)
其中 f−1(J) = {z ∈ C : f (z) ∈ 0 J(f )}。
(iii) J=closure{repelling periodic points}。
(iv) 對於任意一點 z0 ∈ J 及其一領域 V , z0 ∈ V , 存在一正整數 n, 使得 m ≥ n 時, fm(V ∩ J) = J。
(v) 對任意一點 z0∈ J,
J = closure{f−m(z0)}∞m=1。
超越函數的證明比有理函數複雜。 1968 年, I.N.Baker 證明了超越整函數性質 (iii) 成立。 其中用到了 Ahlfors 的一個深刻但不 為大家所熟知的定理。
設 f (z) 在 |z| < R 內解析; E1, E2, E3
是在 W -平面上的單連通域。(simply con- nected region), ∂Ei 是 sectionally ana- lytic Jordan 曲線, i = 1, 2, 3 。 Ei∩ Ej = φ 當 i 6= j0 這樣, 存在只依賴 Ei 而不依賴 f (z) 的常數 c , 使
R|f′(0)|
1 + |f (0)|2 > c
在 |z| < R 裡, 存在一領域 (Domain) K 使 f 將 K 1 − 1 地全映到 Ei 中之一個。
由 (i) 和 (iii) 可推出 f 有無窮個排斥 型週期點。 應用 Nevanlinna 的值分佈理論, 同樣也可推出這個結果。 由於 Nevanlinna’s 理論比較成熟, 同時更可以作出一函數族的 正規條件。 故我們相信這理論可應用在複動 力系統中, 從而得出一些新的結果。
Chi-Tai Chuang(莊 圻 泰)[8]利 用 Nevanlinna’s 理論證明了性質 (i) 在超越 整函數 (Transceucleutal entire fuuction) 時成立。 他引用了 Zhang Guang - hou 的 引理:
引理 1: 設 f (z) 為超越整函數, 記 fn = zf ◦ f ◦ · · · ◦ f}| {
n , 再設 k > 1; 那樣,
存在數 r0 = r0(f, k) > 1 , 對所有 n ≥ 1 和 r > r0 時, 有
T (r, fn) > 1 2(k
3)n−1T (r, f )。
這裡 T (r, f ) 是 Nevanlinna 特徵函 數 (Characteristic function)。
此外, Nevanlinna 理論可用來證明 Fa- tou 的一個結果:
設 f 為超越整函數, 除了最多一個正整 數 n 外, f (z) 有無限多個週期為 n 的週期 點。
性質 (iv) 告訴我們, 在 Julia 集合上遞 代 fm 對初始值的依賴性是極端敏感的, 並且 Julia 集合的局部與整體有自相似性 (Self- Similiaity)。
性質 (v) 是目前電腦生成 Julia 集合的 方法之一。
在複解析動力系統中, Julia 集合的面 積及 Hausdorff 維數也是一個重要問題。 在 有理函數上, 利用 Weierstrass ℘ - 函數可 以證明出函數
f (z) = (z2+ 1)2 4z(z2− 1)
其 Julia 集是整個複平面。 事實上大多數情 形下, 有理函數的 Julia 集都不是整個複平 面。 在超越函數方面, 早先有 Fatou 一著 名的猜想: 函數 ez 的 Julia 集是全平面。
這一猜想, 於 1981 年被 Misiurewicz 證 明。 後來, Devaney 將此推廣並證明了函數 fλ(Z) = λeZ, 當 λ > 1e 時, J(fλ) = C 。 更一般的結果請參看定理 18,19。
一般來說, 若 J(f ) 6= C , 則它是無 處稠密的。 因此, 自然會問, 在 J(f ) 6= C
時, J(f ) 的面積是否會是零? 人們猜想, 對 於有理映射而言, Julia 集的面積為零。 這個 問題甚至對於最簡單的非線性映射 fc : z → z2 + c c ∈ C , 也是未完全解決的。 最近, M. Lyubich [30] 利用拓撲方法, 給出了一 些結果。 由於所要求的數學工具很多, 有興趣 的讀者請看該文章。
至於在 Fatou 集的研究上, 我們首先有 以下的定義:
定義 4: 設 F (f ) 是 Fatou 集, D ⊂ F (f ) 是 F (f ) 的一個連通分支 (connected conponent), 如 fm(D) 也是 F (f ) 的一個 連通分支, 並且當 n 6= m 時有 fm(D) ∩ fn(D) = φ 。 我們稱 D 為遊盪域 (Wan- dering Domain)。 不然的話就稱 D 為最終 週期的。(Eventually Periodic)。
Fatou曾有一個猜想, 當 f 為有理函數 時 (deg f ≥ 2) ; f 的任意一個穩定域 都不是遊盪域。 這個猜想在 80 年代才被 D.
Sullivan [34]證明。 這定理的證明用到了 Te- ichm¨uller 理論及擬共形映射理論。 至於超 越函數而言, Bakcr[15]曾舉出一個超越整函 數, 具有遊盪域的例子。
事實上, 有理映射與超越函數的動力系 統的性質主要差別是遊盪域的存在性。
設 D 為最終週期穩定域。 在超越亞純 函數上, I.N Baker[20]有了以下的分類:
(i) Fatou域 : 域中點的軌道為一個吸收型或 中性循環所吸收。
(ii) Siegel盤 : 穩定域共形等價 (Confor- mally Equivalent) 於一個單位圓而 fn 在 穩定域上的限制共軛於一個無理旋轉。
(iii) Herman環: D共形等價於環 ∆(r, 1) = {z : 0 < r < |z| < 1}, fn共形共軛於無理 旋轉 ξ → e2πiθξ , θ 是無理數, 即有交換圖 表:
fp
D ................................................................................................................................................ D
. .. .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. ........
∆(r, 1)................................................................................................................................................ ∆(r, 1)
. .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .......
ξ = e2πiθξ
ϕ ϕ
ϕ : D → D 是共形映照。
(iv) Baker域: 設 z0 ∈ ∂D, fnp 在 D 內 收斂於 z0 , 但 fnp 在點 z0 上不解析 (non- analytic)。
註: 有 理 函 數 最 終 週 期 穩 定 域 的 分 類 稱 為Sullivan 分類。
注意: (1) 有理函數的 Fatou 集中沒有 Baker 域; 而在超越整函數上, Baker 域中 的點 z0 唯一的可能就是無限遠點。
(2) 多項式中的 Fatou 集更加沒有 Herman 環。
證明 (2): 記 P (z) : C → C 是一多 項式。 我們主要應用最大模原理, 假設存在一 個 Herman 環 D0, 及周期為 p 的穩定域循 環 {D0, D1, · · ·, Dp−1}, 則 D0 共形共軛於 圓環 ∆(r, 1) 的無理旋轉, 且對 0 ≤ k ≤ p − 1, Pk : D0 → Dk , 是共形映照。 取 Jordan 閉曲線 ℓ , 分離 D0 的兩個邊界分 支, ℓ 的內部是有界域 V , V 內包含有 Julia 集 J(p) 的點, 並且 Pnp+k(ℓ) 在有界穩定域
Dk 內, 因此 Pnp+k(ℓ) 一致有界。 根據最大 模原理, 定義於 V 的全純函數族 {Pnp+k} 在 V 一致有界。 於是 {Pnp+k}在V 內正規。
V ⊂ F (p) , 這便與 V 內有 J(p) 的點矛盾。
F (p) 不能有 Herman 環。
Herman環是 70 年代 M. Herman 發 現的。 要構造有理函數具有 Herman 環的例 子是一個比較困難的問題。 典型的例子是對 有理函數
R(z) = e2πiα z
z − a 1 − az
2
適當選取參數 α 與 a , 則 R(z) 有包含 單位圓周的 Herman 環。 更多的例子可以於 Herman[23]中找到。
1987 年, Shischikura[26] 配合擬共形 映射技巧地解決了 Sullivan 問題。 他證明了 有理函數的穩定域周期循環的個數 ≤ 2(d − 1) 。 排斥性週期循環的個數 ≤ 2(d − 1) 。 其 中, d = deg(f ) 。
定義5: 設 f 是複函數。 當 f′(z0) = 0 時, z0 ∈ C 稱為 f 的一臨界點 (critical point)
由 Sullivan 對於有理函數最終週期穩 定域的分類, 我們有
定理2: 如果有理函數 R 的臨界點都是 預週期 (Pre-periodic), 則 J(R) = C 。
至於吸收性週期軌道和有理中性週期軌 道的局部動力學性質, 請參看 Beardon.[5]。
有理函數動力系統的最新研究:
雖然有理函數動力系統發展了很久, 可 是還有很多問題是尚未解決的。
人們對於二次映射族 {fc(z) = z2+ c : c ∈ C} 有著特殊的興趣。 事實上, 這類函 數可算是最簡單的函數了, (一次式沒什麼可 研究)。 我們希望知道這一函數族所形成的動 力系統的結構穩定性, 分枝及其它性質。 設 h(z) = αz + β (α 6= 0)
h−1◦ fc◦ h(z)
= (α2z2+ 2αβ + β2+ c − β)/α
選取數 α, β和c , 就可以代表任意, 一 個二元方程。 所以研究這函數族就等價於研 究任意一個二元方程的動力系統。
定義 6: M = {c ∈ C : J(fc)是連通}
M 稱為 Mandelbrot 集。
Hubbard 與 Douady[21]對於 Mandelbrot 集得出了:
定理3: (i) M 是連通的。
(ii) C|M 是連通的。
(iii) M 是緊致的。
他們更有以下的拓撲猜想 猜想:
(i) M 是局部連通?
(ii) 記 ∂M 是 M 的邊界, ∂M 是否局部連 通?
(iii) ∂M 是否 Lebesgue 測度為零?
可是直至現在還未能解決以上猜想。
考慮逆問題很多時都是很難解決的。 我 們在前一節裡, 知道有理函數 R 的臨界點全
是預週期時, J(R) = C 。 Herman 提出了 一逆問題:
Herman猜想: 記R是所有有理複函數集, 設L = {f ∈ R : 所有的臨界點全是預周 期點} 如果 f 是有理函數, J(f ) = C , f 是 否屬於 L 或 closure( L )?
我們知道, 若 f 和 g 是有理函數, deg(f ) 和 deg(g) ≥ 2 。 如果 f 和 g 可交 換 (commute), 它們的 Julia 集一定相等。
另一個逆問題就是研究兩有理函數 f 和 g , 如果它們的 Julia 集相等, 它們是否可交換?
這 個 逆 問 題 顯 然 是 未 必 成 立 的。 但 Baker 和 Eremenko [17] 給出了一個對 於多項式時的結果。
記號2:
(i) 記 C(P )是所有和P 可交換的多項式的集:
C(P ) = {Q ∈ P : P Q = QP } (ii) 記 F (P )是所有和P 有相同 Fatou 集
的多項式 : F (P ) = {Q ∈ P : F (P ) = F (Q)}
(iii)Σ(P )是J(P )的對稱群 (Symmetry graup)
我們再記{Z → aZ + b : |a| = 1}為ξ。
則Σ(P ) = {σ ∈ ξ : σ(J(P )) = J(P )}
定理 4: 如果 P 是多項式, 且 deg(P ) ≥ 2 , 我們有
(i) C(P ) ⊂ F (P )
(ii) C(P ) = F (P ) 如果當 Σ(P ) 是一平凡群 (trivial group)。
(i) 是我們已知的。(ii) 表明在逆方向上, 成立 與否就依賴於 Julia 集的對稱性。
由於 Eremenko 和 Baker 又給了逆方 向的必要條件。 其後, A.F. Beardon [6] 推 廣了他們的定理, 給出了逆方向一個充份條 件。
定理 5: 設 P 和 Q 是多項式, deg(P ) ≥ 2。 J(P ) = J(Q) 的充份必要 條件就是存在 σ ∈ Σ(P ) , 使 P Q = σQP
。這樣,
F (P ) = {Q : QP = σP Q對某一σ ∈ Σ(P )}
證明用到了 Boettcher 函數和一些多項式中 的 Julia 集的性質。 在該篇文章中, 還有一有 趣的結果:
推導: J(z2 + c) = J(z2 + d) 的充份 必要條件是 c = d 。
證明:
設 P1(z) = z2 + c, P2(z) = z2+ d。
P1◦ P2 = z4 + 2z2d + d2+ c (i)
σ ◦ P2◦ P1 = a(z4+ 2z2c + c2+ d) + b,
|a| = 1 (ii) 比較(i) 和 (ii), 得
a = 1, c = d, b = 0
在不是多項式的情形下, 逆方向還未有 結果呢! 對於應用數學家而言, 求解方程的根 是一個很重要的問題。 事實上, 利用 Newton
法, 就能把求解方程等價於函數迭代而找其 定點。 我們應用已知對 Fatou 集和 Julia 集 的理論, 就可以更加清楚其收斂性。 Douady 和 Hubband[21]就是應用複變動力系統理 論於有理函數上來處理求根的問題。 1986年, M.Hurley[35]得出了對所有整數 d ≥ 3 , 存 在多項式 P, deg(P ) = d , 其 Newton’s 方 法有 d − 2 附加 (additonal) 的吸收點。 這 就說明, 在最簡單的多項式中, Newton’s方 法也不能保證收斂於其根。
後來, 發展了 Relax - Newton’s 方法, 就是遞代
Np,h(z) = z − hP (z)
P′(z) 0 < h < 2 1989年, M.Flexor 和 P.Sentenac[36]證 明了對差不多所有多項式 P, deg(P ) = d ≥ 2 , 存在 h∗ ∈ (0, 2) , 除了 Lebsegue 測度 為 0 的點外, Relax - Newton’s方法收斂於 其根。
最近 Walter Bergweiler 等人 [33]推 廣了以上結果到超越亞純函數上。 有興趣的 讀者請看該文章。
中國數學家對研究複變動力系統理論也 有一定的貢獻。 任福堯 (Fuyao REN)[12]研 究函數類 fd,c(z) = zd + c 的 Julia 集的 最終性態。 我們知道多項式和超越函數 λez 的動力系統有著很密切的關係。 從 Devaney, R.L;Goldberg, L.R. & Hubbard 等人 [11]
對多項式逼近指數函數的動力系統的研究得 知, 研究函數類 fd,c(z) 就更能清楚超越函數 的性質。 任福堯給了以下的定理:
定理 6: 設 c 為固定值 (|c| 6= 1) 。 在 Hausdorff 維中, Julia集 J(fd,c) 趨向於 S1, 當 d 趨向無限大。
如果 |c| = 1 時, 有下列的性質:
定理 7:設 c = e2πiθ,θ = p/q,(p, q) = 1 。 在 Hausdorff 維中, Julia集 J(fd,c) 不 是趨向於 S1, 當 d 趨向無限大時的充份和必 要條件是下列任意一 條件成立:
1. p = 3p′+ 1 q = 3(6q′+ 5) 2. p = 3p′+ 2 q = 3(6q′+ 1) 3. p = 3p′+ 1 q = 3(6q′+ 1)
4. p = 3p′ + 2 q = 3(6q′ + 5) p′, q′ 是 任意非負整數。
在動力系統中, 多個函數迭代的思想是由周 維元和任福堯 [29]首先發展的。 他們記 F = {{∞, · · · , {m} 是有理函數的有限集。
Σm = {(j1, · · · , jn, · · ·) : j1 ∈ {1, 2, · · · , m}
i = 1, 2, · · ·}
定義 迭 代 序 列 {Wσn}, σ = (j1, · · · , jn, · · ·) ∈ Σm 為
Wσ1(z) = fj1(z) Wσ2(z) = fj2◦ fj1(z)
...
Wσn+1(z) = fjn+1◦ Wσn(z)
= fjn+1◦ fjn◦ · · · ◦ fj1(z)
和定義逆序列 (Inverse Sequence) Wσ−n(z) 為
Wσ−n(z) = (Wσn)−1(z)
= fj1−1◦ fj2−1◦ · · · ◦ fjn−1(z)
我們稱這遞代為隨機遞代。
在隨機遞代中, z0 ∈ C 稱為穩定點, 如 果存在一領域 V, z0 ∈ V , 對所有 σ ∈ Σm和n ≥ 1, Wσn(z) 在 V 上是可妥當的 (Well-defined) 和 {W6n(Z)|V} 是正規族。
我們稱這是 Fatou 集, 記 F (F ) 。 F (F ) 的 補集記 J(F ) , 稱為 Julia 集。
z0 ∈ C 稱為週期點, 如果存在 σ ∈ Σm 和整數 n, Wσn(z0) = z0 。 記 λ = (Wσn)′(z0) 。 λ 稱為系統 F 的特徵值。 當
|λ| > 1 時, 我們稱 z0 為排斥性週期點。 周 和任在該文章內有下幾個結果:
定理8: 對所有 σ ∈ Σm, n ≥ 1 , Wσn(F (F )) = F (F )
Wσ−n(J(F )) = J (F )
其中, F (F )為開集, J (F )為閉集。
定理9:J(F ) 是完全集。
定理10:當 J(F ) 不是複平面時, J(F ) 可以有內點。
定理 11:J(F )=closure{排斥性週期 點}。
定理 8,9,11 和以往的理論是相似的。 但 定理 9表明, 隨機遞代的動力系統和普通遞代 的動力系統有著一定的不同。 隨機遞代比普 通的遞代更為複雜。 很多基本的問題還是未 解決的。
超越函 數動力系統的最新研究:
超越函數動力系統是現今最熱門研究的 課題之一。 研究這門學問的人, 不單是分析學 家, 還有拓撲學家, 應用數學家等。 他們有著 不同的方法來研討, 使這門學問更為豐富, 同 時更產生了更多的問題。
事實上, 研究超越函數動力系統有幾個 大方向, 其主要是研究一些有理函數動力系 統中沒有發生的問題, 如遊盪域 Baker 域 等。 超越函數的性質和有理函數是有很大分 別的。 如在超越函數中, 可以存在無限多的漸 近值 (asymptotic value) 和臨界值 (criti- cal value), 但有理函數就只得有很多這類型 的值。 除此之外, 超越函數還有 Picard 例外 值。 數學家針對這些不同, 給超越函數動力系 統作了些較全面性的研究。
自從 I.N Baker[15]建造出一超越函數 具有遊盪域後, 數學家自然希望可以找到一 類超越函數沒有遊盪域的。 以下是一些記號 及定義:
定義7: (i) 一個值 a ∈ C 被稱為 f 的 漸近值 (asymptotic value), 如果存在一曲 線 Γ 伸向 ∞ , 使得 a = limZ→∞
Z∈Γ f (z) 。 (ii) 一個值 c ∈ C 被稱為 f 的臨界值 (critical value), 如果有一點 z0 ∈ C , 使得 f (z0) = c , 且 f′(z0) = 0 。
(iii) 設 f 是超越整函數, f−1 的奇異值 是指 f 的漸近值或臨界值。 f−1 的奇異值全 體記作 sing f−1 。
(iv) 一個超越整函數稱為 Σ 類, 如果 sing f−1 是有窮的 (finitely many)。 (注意 這性質和有理函數是相同的)。
Σ 類 包 括 了 很 多 熟 知 的 函 數, 如 exp(z), cos z 等都是 Σ 類的。 若 g 與 h 都是多項式, 則
f =
Z z
g(ξ) exp h(ξ)dξ ∈ Σ。
定理12: 設 f ∈ Σ , 則 F (f ) 沒有遊 盪域 (Wandering Domain)。
這重要的定理是 1986 年由 Goldberg 和 L. Keen [22]給出的。 他們用到了擬共形 映照的理論來證明。 較早前, Baker [16]曾對 範圍較窄的一類函數給出了證明。
現在, 數學家希望得到更廣的函數類使 定理 12 成立。
定義8: 一個超越整函數稱為 B 類, 如 果 sing f−1 有界。 顯然, Σ ⊂ B 。
猜想: 如果 f ∈ B , 則 F (f ) 沒有遊 盪域。
最近, Walter Bergweiler 等人 [32]應用了 基本的複分析理論, 證明了如果 f ∈ B ∩ A , 則 F (f ) 沒有遊盪域。 函數 A 類是 J(f ) ∩ E′ = φ , 其中 E′ 是 ∪∞n=1fn(singf−1) 的derived 集。
雖然以上猜想還未完全證實, 但這促使 數學家增加了對 Σ 和 B 類函數的興趣, 同 時更發現了很多它們的性質。
首先, 假設 f 是超越整函數, F (f ) 可以有無限多個或一個無界分支 (Unbou- uded component) 也沒有, 而當 F (f ) 的 有界分支同時是複連通時, 它一定是遊盪域。
I.N.Baker[14]證明了:
定理 13: 設 f 是超越整函數, D 是 Futou 集的複連通分支, 這樣
(i) fn 在 D 內的任意緊緻集一致收斂於無 限大。
(ii) 對所有在 D 內不可收縮的 Jordan 曲線 γ, 當 n 足夠大時, Ind0(fnγ) 6= 0 定理14: 設 f 是超越整函數, F (f ) 的 所有無界分支一定是單連通的。
定理 15: 設 f 是超越整函數, D ⊂ F (f ) 不是遊盪域, 這樣 D 一定是單連通的。
證明: 如果 D 是無界分支, 由定理 14, 得知 D 是單連通的。 假設 D 是有界分支, fn 在 D 內一致有界, 由定理 13 得知 D 是 單連通。
Baker在同一篇文章中給了一個猜想。
Baker猜想: 設 f 為超越整函數, D 是 F (f ) 的分支, 如果 f (D) = D = f−1(D) , 則 F (f ) = D 。
A.E. Eremenko 和 M. Yu Lyubich [1] 在 函數類 Σ 時給出了證明, 而更廣的函數類是 正待研究中。
對於函數類 B, 有這樣的性質:
定理16: 設 f ∈ B , 有
(i) 在 F (f ) 內的所有分支都是單連通的。
(ii) Z ∈ F (f ),{fm(Z)}∞m=0 不會趨向無限 大。
推導: f ∈ B, F (f ) 是沒有 Baker 域 的。
這推導由定理 16(i) 和 Baker 域的定義中立 即推出。
在亞純函數上, 是否存在函數類是沒有 遊盪域也是研究的重點。 最近, Devaney 和 L. Keen[10]有了一些結果。
定義 9: 設 f 是超越亞純函數, f 的 Sch- warz 導數是
{f, z} = f′′′(z) f′(z) −3
2
f′′(z) f′(z)
!2
定理17: 設 f 是超越亞純函數, 如果 f 具有多項式 Schwarz 導數, 則 F (f ) 是沒有 遊盪域。
備註:
(i) 此函數包括了很廣的函數, 如 λ tan z, λ exp z 和Rzexp(R(u))du, R 是多項 式等。
(ii) 如果函數具有多項式 Schwarz 導數, f 就只有有限多漸近值和沒有臨界值。
(iii) 首先研究此函數類的是值分佈論創始人 Navanlinna[24]。 在值分佈理論中, 函 數具有多項式 Schwarz 導數的研究也 是很重要的。
在 Fatou 猜想 (J(ez) = C) 的推動下, 人們對函數的 Julia 集合是整平面具有一定 的興趣。 加上對 Σ 類函數的廣泛研究, 1986 年, Goldberg 和 L.Keen[22]證明了:
定理 18: 設 f ∈ Σ , 如果對所有 a ∈ sing f−1, fn(a) → ∞ 時, 則 J(f ) = C。
其 後, 很 多 的 數 學 家 對 某 些特別 的 函 數也 作 了 很 深 入 的 研究。 Xiao Ying Dong[28]於 1991 年, 研究函數
E(z) = eλ1eλ2···e
λnz
, 得
定理19: (i) 如果a ∈sing(E−1),En(a)
→ ∞ 時, 有 J(E) = C。
(ii) 如果所有 λi > 0, En(0) → ∞ 時, 有 J(E) = C。
事實上, 由於 E(z) ∈ Σ , (i) 是定理 18 的例子。 為了簡單起見, 我們對定理 19 作 一扼要的證明; 定理 18 的證明方法是大致相 同的。
要證明定理19, 我們要引用 I.N.Baker[14]的 一些結果。
定理 20: 設 D 為一有界開域。 假設 f : D → D
(i) f 在 D 內解析。
(ii) {fn}∞n=0 沒有子序列趨向於恆等函數 ( identity map), 則 {fn}∞n=0 在 D 內趨向於 常數 α ∈ D 。
記號 3: (i) E = {S ∈ sing(f−1) : fn(S), n = 0, 1, 2, · · ·}。
(ii) L = E ∪ {∞}。
定理 21: 如果 {fn}∞n=0 的子序列在 Fatou 集 F (f ) 的分枝內趨向於常數 α , 則 α ∈ L。
定理 22: 如果 L 沒有內點, 同時 C|L 是連通的。 這樣, 所有 {fn}∞n=0 的子序列在 F (f ) 的任何分支中都趨向於常數。
證明定理 19: 由於 E−1(z)
=λ1
nlnλ1
n−1 ln· · ·λ1
1 ln z· · ·
所以 singE−1= {0, 1, eλ1, eλ,eλ2, · · ·, eλ1e···eλn−1
eλn
} 是有限的。
所以E ∈ Σ。
L = closure {Ek(S), S ∈ singE−1 : k = 1, 2, · · ·}
Ek=
k
z }| {
E ◦ E ◦ · · · ◦ E
顯然, L 是沒有內點, 和 C\L 是連通的。
由定理 21和22, 得知 {Ek}∞k=0 在 Fatou 集 內趨向常數 β, β ∈ L 或 ∞。
假設 F (E) 6= ∞, V 是 F (E) 的分 支, 定理 12 得知 E 沒有遊盪域。 所以存在 非負整數 ℓ 和 m, 使 G = Em(V ), g = Eℓ, g(G) = G 。 應用定理20, {gk}∞k=0在 G 內趨向一常數 α ∈ G。所以g(α) = α, ie, α 是週期點。 現在, 設 α 是有限數, ⇒ α ∈ L, 所以 limk→∞Ek(α) = ∞ 。 所以, α 不可能是週期的, 矛盾。, 故 α = ∞。⇒
limk→∞Ekℓ(z) = limk→∞gk(z) = ∞ 在 G 上一致收斂, 當 j ≥ 0 時, 我們有
k→∞lim Ekℓ−j(z) = ∞, 在G上一致收斂, 對所有序列 {Ekm}∞m=0 ⊂ {Ek}∞k=0 , 存 在整數 j ≥ 0 , 使子序列 {Ekmt}∞t=0 ⊂ {Ekm}∞m=0 是 {Ekℓ−j}∞k=0 的子序列, 所以 有 limt→∞Ekmt (z) = ∞, z ∈ G。
這樣, 我們可以總結 {Ek}∞k=0 趨向無限大。
記 Eλi−λn(z) = eλieλi+1
··eλnz
(E′)(z) =Qni=1λiEλi···λn(z) 同時,
(Ek)′(z) =
Yk
j=1
(Eλ1,···,λn)′(Eλj−11,···,λn(z))
=
Yn i=1
k−1Y
j=0
λkiEλi,···,λn(Eλj1,···,λn(z))
所以,
ln |(Ek)′(z)| = k
Xn
i=1
ln |λi| +
k−1X
j=0
Xn
i=1
ln Eλi,···,λn(Eλji,···,λn(z))
由於
k→∞lim
Ek+1(z) = lim
k→∞
E(Ek(z))
= lim
k→∞
eλ1Eλ2,···,λn(Ek(z))
= ∞
對所有 z ∈ G , 我們有
k→∞lim
Eλ2,···,λn(Ek(Z)) = ∞。
同樣的, 我們有
k→∞lim
Eλi,···,λn(Ek(z)) = ∞ i = 1, · · · , n
⇒ lim
k→∞ln (Eλk1,···,λn)′(z) = ∞。
現在, Bloch - Landau 定理給出, 如果 D ⊂ G, Ek(D) 包括了任意大的圓。 由於 J(E) 6= φ , 所以存在整數 k0 > 0 , 使
Ek0(D) ∩ J(E) 6= φ 這是不可能的, 由於 D ⊂ G ⊂ F (E) 所以 (i) 完全證實。
證明 (ii) 是顯然的。
其後, Cheol Min Jang[7]對函數類 fµ(z) = z exp(z + µ) , 得了以下結果
定理23: 如果 µ ∈ (−∞, 2) ∪ (2, µ∗) , 其中 µ∗ < 2.5 , 我們有 J(fµ) = C 。
現 在, 人 們 正 研究 很 多 更 複 雜 函 數 類 如 eaz+b2, (a + b)ez 等的動力系統及在什麼 情形下, Julia 集是整平面等的問題。
另一類研究就是製造具有遊盪域的超越 函數。 雖然我們知道存在超越函數其具有遊 盪域, 但是對其幾何或拓撲性質是所知很少 的。 例如是否存在單連通、 複連通、 有界、 無 界的遊盪域等問題, 在數年前還是未知的。 於 是, 最近人們便嘗試找出或製造出超越具有 特定拓撲性的遊盪域。
例如 Herman[23]給出了一個具有單連 通遊盪域的例子。
他考慮函數 g(z) = z − 1 + e−z 。 不難看見, zn= 2πin 是 g 的吸收性定 點。
定義 Dn= {z ∈ C : gk(z) → znk → ∞}
由初等的理論得知 Dn 是單連通的。
由考慮函數 T (z) = z + 2πi , 可得 T (g) = g(T ), ie, T 和 g 是可交換的。
同時
(T (F (g)) = F (g) T Dn = Dn+ 1 F (g) 是 g 的 Fatou 集。
現在, 設 f (z) = g(z)+2πi, ie f = T ◦g。
於是 f Dn = Dn+1。
如果 z0 是 g 的排斥性週期點, 則 gp(z0) = z0 , 同時它的特徵值 λ =
hd dzgp(z)i
z0, |λ| > 1。
fpnz0 = Tpn(gpn(z0)) = Tpnz0
= z0+ (2πi)pn = O(n)
n → ∞(註:p為 g 的一週期)
和 (fpn)′(z) = (Tpn)′(z)(gpn)′(z)
= λn
所以它的球導數 (Spherical derivative)
|(fpn)′|
1 + |fpn|2 → ∞ 當 n → ∞ 所以, {fm} 在 z0 的附近不正規,
z0 ∈ J(f ) , ieJ(g) ⊂ J(f )。
反方向的證明, 其方法也是差不多的。 最後, 可得 J(g) = J(f ) 。
由此可知, Dn 是 f 的單連通遊盪域。
注意: 在 Dn 內, 任意一 z′ ∈ Dn, fn(z′) → ∞ 當 n → ∞。 I.N. Baker[16]證 明存在一超越整函數具有複連通遊盪域。 同 時, 在域內任意一點 z′, fn(z′) → ∞ 當 n → ∞ 。 這證明就是結合了定理 13 和定理 15得出的。 所以, 很自然的問題就是希望找出 一超越函數具有遊盪域, 但在域內存在使得 {fn} 不趨向於無限的點。
A. E. Eremenko 和 M. Yu Lyu- bich[2]證明了。
定理24: 存在一超越整函數具有遊盪域 V , 使所有起源於 V 的軌道 {fnz}∞n=0 有 無限多的極限點。
在這定理中, {fn} 在 V 內的極限函數 是常數, 而這些極限常數的集是一無限集。 證 明引用了 Runge’s 定理和一些逼近理論。
最近, I.N. Baker, J Kotus 和 L¨u Yinian [19] 在超越亞純函義上, 製造出一些 遊盪域的例子。
定理 25: 設 k ∈ N , 存在 fi (此 fi 不表示函數的 i 次遞代) 是超越亞純函數 (1 ≤ i ≤ 4) , 同時, fi 至少有一個極點 (pole)。 則
(i) 在 F (f1) 內, 存在一有界 k−連通 的遊盪域。
(ii) 在 F (f2) 內, 存在一無界 k−連通 的遊盪域。
(iii) 在 F (f3) 內, 存在有界遊盪域同時 是無限連通性 (Infinite connectivity)。
(v) 在 F (f4) 內, 存在無界遊盪域, 同 時是無限連通性。
證明也是用了 Runge’s 定理和一些逼 近的理論。
複動力系統理論還存在著很多未解決的 問題。 如 f ∈ Σ , g 是超越整函數使 g(f ) = f (g) ; g 是否會是 Σ 類函數, 同時, J(f ) 是 否等於 J(g) ? 我們在超越整函數上, 得到 了如果 f, g 的 Fatou 集全是遊盪域, 同時 對 F (f )和F (g) 上所有的點的遞代不趨向無 限大, 這樣, 有 J(f ) = J(g) 。 一個很自然 的問題就是是否存在一超越整函數其 Fatou 集全是遊盪域。
又設 V 是一連通域, fn|v → ∞ 當 n → ∞ 。 是否存在 ξ ∈ sing(f−1) 使 fn(ξ) → ∞ ?
更 多 的 問 題 請 參 看 由 楊 重 駿 主 編 的 1993 年, 香港國際複分析及其應用會議的論 文專輯,[37]
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—本文第一作者任教於香港科技大學數學系, 潘建強為博士班學生—
