整函數論淺介

整函數論淺介

楊重駿

前言

本文中字母 x, y 用來表實變數, i 為 所謂的虛數單位; i² = −1 我們用字母 z 表複變數= x + iy, 以 x 為實軸, y 為 虛軸所構成的平面就是一般所謂的複平面以 C 表之。 一個複函數 f (z) 是指由 C 到 C 的一函數。 在 C 上若對任何兩點 z₁ = x1 + iy, z2 = x2 + iy2 賦予一距離的量 度 |z¹− z²| =

^q

(x1− x²)²+ (y1− y²)², 則 C 在此量度下, 形成一量度空間 (metric space), 而一個虛數 a + bi; a, b 實數的絕對 值 |a+bi| =√

a²+ b² 也就可看為該點到複 平面 C 原點 z = 0 的距離。 有了這些距離及 量度空間的性質, 複數或複函數也就如同實 數或實函數一樣可以討論有關的極限、 連續、

微分、積分等概念。 但這兩種函數仍有其本質 上的許多差異, 特別是所謂的解析函數 (An- alytic function) 和一般的實函數有著本質 上的差別。 我們稱定義在複平面 C 中開連通 域 D 的複函數 f (z) 為解析的是指 f 的導 函數 f^′(z) 在 D 上到處存在, 也即 f 在 D 上到處可微分的。 當 D = C 時, 我們就稱

這樣的函數 f 為整函數。 現來看一個實函數 g(x) 定義在實區間 (−1, 1) 上, 如下:

g(x) =



 

 

 

 

x²

2, 1 > x > 0 0, x = 0

−^x₂², −1 < x < 0 易驗證 g^′ 在整個閉區間 (−1, 1) 上到處存 在, 及

g^′(x) =



 

 

 

 

x, 1 > x > 0 0, x = 0

−x, −1 < x < 0 但很明顯由圖形可見 g^′ 在 x = 0 的導數即 g^′′(0) 不存在。 這種微分性質的間斷現象, 對 解析函數來講是不會發生的。 要說明這種本 質性的存在, 必須得從複函數解析性 (可微分 性) 的一些條件或結果來看。 這方面最重要及 基本的就是著名的歌西 (Cauchy) 定理及歌 西積分表示式。

L γ

₁

z

₂

D

z

₁

γ

₂

3

歌西 (Cauchy) 定理: 設複函數 f (z) 在一單閉曲線 L 上及其內部為 (單值) 解析 函數, 則

Z

Lf (z)dz = 0 (證明, 參看 [1])。

這也表明若 D 為由 L 所包的“連通域”, z1 與 z2 為 D 內任意兩點, γ1 及 γ2 分別 為兩條連結 z₁ 與 z₂ 但包含於 D 中的曲線, 則

Z

γ1

f (z)dz =

Z

γ2

f (z)dz。

換言之, 線積分:

^R

_z^z₁²f (z)dz 與由 z1 到 z2

之連線 (但在 D 內) 無關。

由歌西定理可推導出一個在理論及計算 上都非常有用的積分表示式:

L γ

₂

γ

₁

D z ρ

γ

歌西積分式: 設 f 及 L, D 如歌西定理 中所述, 若 z 為 D 內任一點, 則

f (z) = 1 2πi

Z

L

f (w) w − zdw。

略證: 以 z 為圓心作一半徑 ρ 充分小 的圓, 則由此圓的圓周 γ 及 L 加上由 L 進出到 γ 的兩連線 γ₁, γ2 (其實是一條只 是定向相反而已) 順時鐘繞走出一個連通域 D^∗, z 不在其內。 所以函數 ^{f (w)}_w−z 在閉曲線:

L + γ1+ γ + γ2 上及 D^∗ 內為解析的。 因而

Z

L+γ1+γ+γ2

f (w)

w − zdw = 0

於是

Z

L

f (w)dw w − z +

Z

r

f (w)dw w − z = 0 當 ρ → 0 時 f(w) → f(z) 及在 γ 上, w − z = ρe^iθ, dw = iρe^iθdθ, 並注意 γ 為 順時鐘向的 ( θ 從 2π → 0)。 可得

Z

r

f (w)

w − zdw → f(z)

Z

0 2π

iρe^iθ ρe^iθ dθ

= −2πif(z)。

定理因而得證。

註: 一般有 f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi

Z

L

f (w)dw

(w − z)ⁿ⁺¹, n = 1, 2, . . . 在進一步的探討前, 我們指出一些有關 複函數級數的性質, 以便於瞭解所述的結果。

(i) 一個由解析函數構成的均勻收歛級 數, 可在其收歛域中任一路徑 (path) 逐項積 分。

(ii) 一個由解析函數構成的級數, 可逐 項微分, 只要所得級數為均勻收歛的。

如同實函數的泰勒 (Taylor) 展開式或 級數理論, 一個解析函數也可展開為泰勒級 數。

定理(泰勒級數): 設 f 在由單閉曲線 L 上及其所包含的連通的區域內為解析的, 若 a 為 L 內一點, 則

f (z) = f (a) + (z − a)f^′(a) + · · · +(z − a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a) + · · · 。

且在圓: |z − a| < δ 內為收歛的, 此處的 δ 為任何一正數小於由 a 到 L 的最近的距離。

證: 由歌西積分式可得 f (z) = 1

2πi

Z

γ

f (w) w − zdw。

此處 γ 為以 a 為圓心, 半徑 ρ < δ 的圓周, z 為 γ 內任意一點 (因而 |z − a| < ρ)。

現對任意 γ 上一點 w, |w − a| = ρ >

|z − a|。 所以 1

w − z = 1

(w − a) − (z − a)

= 1

(w − a)(1 − _w−a^z−a)

= 1

w − a + z − a

(z − a)² + · · · + (z − a)ⁿ

(w − a)ⁿ⁺¹ + · · · 。

此級數在 γ 上為均勻收歛, 故我們可乘以 f (w)/2πi, 然後沿 γ 逐項積分, 可得

f (z) = 1 2πi

Z

γ

f (w) w − adw +z−a

2πi

Z

γ

f (w)

(w−a)²dw+· · · +(z−a)ⁿ

2πi

Z

γ

f (w)

(w−a)ⁿ⁺¹dw+· · ·

= f (a)+(z−a)

1! f^′(a)+· · · +(z−a)ⁿ

n! fⁿ(a)+· · · 。

當 f 在整個複平面上為解析時 (也即 f 為整函數時, 我們如取 a = 0, 則可得表示式

f (z) = f (0) + z

1!f^′(0) + · · · +zⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0) + · · ·

= a₀+a₁z+a₂z²+· · ·+anzⁿ+· · · 。

而任何一個收歛半徑為 ∞ 的級數 a⁰+ a1z + a2z²+ · · · 亦表示一整函數 f(z), 且

an = f⁽ⁿ⁾(0)

n! , n = 0, 1, 2, . . . 。 由先前提及的有關歌西積分式及解析函 數構成的級數的性質可知, 若 f (z) 在 C 上 為解析的, 則 f (z) 在 C 內可展為一泰勒 級數, 且 f^′(z), f^′′(z), . . . , f⁽ⁿ⁾(z), . . . (即 任意階導函數) 皆存在 (因固定 n, 將 a₀ + a1z + a2z²+ · · · 逐項微分 n 次), 所得的級 數仍為收歛的。

解析函數除了它本身這種完備性外, 在 數學理論分析及工程上的實際及理論問題也 是重要的工具, 尤其是流體力學, 空氣動力學 及控制論、 訊號處理等方面的應用, 而多項式 及週期性整函數 sin ze^z 等又是通常碰到的 複解析函數, 如同任何函數一樣, 一個整函數 的主要功用就是在能表明其取值的情形, 用 個式子來表明就是有關方程: f (z) − a = 0 之解, 或函數 f (z) − a 的零點。 本文主要在 介紹整函數的基本概念, 其增長性的刻劃, 及 它與零點或取值之相關性表示式等等基礎性 的理論作一淺介。 本文的介紹說明力求淺顯、

明白及例舉有關的例子以輔助及加強讀者對 整函數理論之美及完備性的欣賞。

1.1. 整函數的基本概念及主要 性質

一個整函數 f (z) 按定義是在 C 上任 一點 a 可有一收歛半徑為 ∞ (無限大) 的泰

勒展開式, 不妨取 a 為原點 (z = 0), 則我們 可將 f (z) 表示如下:

f (z) = a0+ a1z + a2z² + a3z³ + · · · +a_nzⁿ+ · · · (1.1) 一個多項式是指 (1.1) 為一具有限項的級數 的情形, 所有非多項式的整函數稱之為超越 整函數。

依據一個實數級數的收歛或發散理論, 上式 (1.1) 在 C 上到處收歛的必要條件為

n→∞lim

q

n

|an| = 0 (1.2) 但在應用及理論上, 常用到的是下面一充分 (但非必要) 的條件:

n→∞lim

|aⁿ⁺¹|

|aⁿ| = 0 (1.3) 例1: e^z = 1 +_1!^z +^z_2!² + · · · +^z_n!ⁿ+ · · · 及 a^z(0 < a 6= 1) 皆為整函數, 這是因對 e^z

n→∞lim

|aⁿ⁺¹|

|aⁿ| = lim

n→∞

1 (n+1)!

1 n!

= lim

n→∞

1 n + 1 = 0

而對 a^z, 其可表為 e^{z ln a} = 1 + ^lna_1! z +

(lna)²

2! z² + · · ·, 但如想引用 (1.2) 來驗證就 要用到 Sterling 公式 (n! 的估計式) 而顯得 困難了。

不過依據 (1.2) 及將 (1.1) 逐項微 分, 我們立即可推得 f^′(z) 為一整函數, 從 而可見對f 的任何階導函數 f⁽ⁿ⁾(z) 皆為 整函數。 以後我們將利用係數列 {aⁿ} 去 刻劃 f (z) 的增長 (growth) 定出一個整

函數的“級”(order) 及“型”(type) 等量度。

由 f⁽ⁿ⁾(z) 的級數表示 (即將 (1.1) 逐項 微分 n 次) 易見 f 與 f⁽ⁿ⁾ 具有相同 的“級”及“型”(即相當的增長)。

首先, 我們先引進一個刻劃整函數 f (z) 增長的較自然的概念。 我們是所謂的“極大 模”(maximum modulus):

Mr(f ) = M(r, f ) = Max

|z|=r |f(z)| (1.4) 定理1.1: 對固定的 f , M(r, f ) 為 r 的 漸增函數且為 r 的連續函數。

證: 要嚴格來證明 M(r, f ) 為 r 的漸 增函數, 我們需引用複分析的基本定理: 歌西 (Cauchy) 定理。 它是說, 若 L 為 C 中任何 一可求長的閉曲線, 則沿著 L 的 f 的線積分 必為 0。 由此可得出歌西積分式:

f (a) = 1 sπi

Z

|z−a|=R

f (z) z−adz;

R 為任意的正數。

由此公式, 易推得: 對於任意圓盤 D :

|z| ≤ R, 一非常數的 f 其 |f(z)| 於 D 上 的極大值, 只能在其邊界: |z| = R 上取得。

從而可得知 M(r, f ) 為 r 的漸增函數。 事實 上, 若一開始在 (1.4) 我們定義 M(r, f ) = Max_|z|≤r|f(z)|, (即整個圓盤, 不是邊界圓 周: |z| = r ) 其漸增性就自明了。 現證其連 續性。

設 r1 < r2 及 |f(r^ze^iθ0)| = M(r²) = M(r2, f )。 則只要取 r2− r¹ < δ (充分)

0 < M(r₂, f ) − M(r1, f )

≤ |f(r²e^iθ0)| − |f(r¹e^θ0)|

≤ |f(r2e^iθ0) − f(r1e^iθ0)|

< ε(δ)。

定理1.2: 設 f (z) 其泰勒展開式 (1.1), 則對任何 r,

|aⁿ| ≤ M(r, f )

rⁿ , n = 0, 1, 2, . . . (1.5) 證: 這是因由 (1.1) 兩邊乘以 z⁻ⁿ, 可 得

z⁻ⁿf (z) = a0z⁻ⁿ+ a1z⁻ⁿ⁺¹+ · · · +an+ an+1z + · · · (1.6) 而對任何非零整數 m (可為負的), 變數 z = re^iθ, r 固定

Z

2π

0 z^mdθ =

Z

2π

0 r^me^imθdθ

= r^m

Z

2π

0 (cos mθ + i sin mθ)dθ

= r^m

Z

2π

0 cos mθdθ+ir^m

Z

2π

0 sin mθdθ

= 0 + 0 = 0

於是對式 (1.6), 沿半徑為 r 的圓周積分, 可 得

Z

2π

0 z⁻ⁿf (z)dθ = an

所以

|aⁿ| ≤

Z

_2π

0 |z⁻ⁿf (z)|dθ

≤ r⁻ⁿM(r, f )。

定理1.3 (Liouville): 設 f (z) 為在整 個複平面 C 上一有界的整函數, 則 f (z) 必 為一常數。

證: 設 M(r, f ) < d 為一常數, 由上定 理可知, 若令 r → ∞, 則可得 _r^dn → 0, 從 而 an = 0, n = 1, 2, . . ., 即 f (z) = a0

一常數。

由上可推得

系理1.1: 設 f (z) 滿足

n→∞lim

M(r, f )

rⁿ < ∞, (1.7) 則 f (z) 為一次數至多為 n 的多項式。

又由定理 1.3 可證明下面的一代數基本 定理。

定理1.4 (代數基本定理): 設 Pn(z) 為 一 n(≥ 1) 次複多項式, 則 Pn(z) 在 C 上至 少有一根, 即必有一複數 z0, 使得 Pn(z0) = 0; z₀ 稱為 Pn(z) 的一零點。

證: 設不然, Pn(z) 在 C 上無零點, 則

1

Pn(z) 亦為一整函數。 當 r ≥ r⁰ 充分大 時, |Pn(z)| 亦必充分大 ≥ d > 0, 所以當

|z| ≤ r⁰ 時, 0 < Max_|z|≤r0|_Pn¹_(z)| ≤ d¹, 而當 r > r₀ 時, Max |_Pn¹_(z)| ≤ ¹_d, 因而在整 個 C 上

Max |_Pn¹_(z)| ≤ Max(d¹,¹_d), 即 _P¹

n(z)

為一有界的整函數, 因而為一常數, 於是 Pn(z) 亦為一常數與假設不符, 定理因而得 證。

定理 1.4 告訴我們一個 n 次多項 式 Pn(z) 至少有一個根, 但由此不難推得 Pn(z) 有且僅有 n 個根 (其中重根計其重複 度)。 所以一個具有 n 項的泰勒級數有 n 個 根, 那麼如項數為無窮大時, 表示的整函數即 超越整函數是否必有無窮多個根呢? 由 e^z

得知不然, 即一個超越整函數可能在整個複 平面上無零點。 事實上, 我們在後面會證明, 任何在一個無零點的超越整函數必具有 e^α(z) 之表示式子, 其中 α(z) 為一整函數, 一個具 有限多個零點 (設 n 個零點) 的整函數必可 表為 Pn(z)e^α(z), 所以除了這種形式的整函 數必有無窮多個零點, 但其數目至多為可列 的 (countably many)。

定理1.5: 設整函數 f (z) 6≡ 0, 則 f(z) 至多有可列個零點。

證: 設 S 表 f (z) = 0 的零點集合。 若 S 為不可列的 (uncountable), 則 S 必有一 極限點 a ∈ C (易證 a ∈ S)。 即有一序列 z_n ∈ S, zn→ a。 今證 f(z) 在 a 點的泰勒 展開式恆為 0。

設

f (z) = a0+ a1(z − a) + a²(z − a)²+ · · · (1.8) 則

^∵

f (zn) = 0,

^∴

0 = a0 + a1(zn− a) + a₂(z_n− a)²+ · · ·

令 n → ∞, 則 zⁿ → a

^∴

0 = a0

從而由 (1.8) 可得

f (z)

z − a = a1+ a2(z − a) + · · · 再令 z = zn, 及令 n → ∞, 則有 0 = a1。

所以可依次推得 a₂ = 0, a₃ = 0, . . . , an=0, . . . 即 (1.8) 恆為 0。

推論:

(i) 設 {zⁿ} 為 C 上一序列, zⁿ → a ∈ C, 若整函數 f 滿足 f (zn) = 0 = f (a), 則 f (z) ≡ 0。

(ii) 任何一個非恆為 0 的整函數, 其零點的 極限點若存在的話, 必為點 ∞。

(iii) 任何一整函數, 若其在一不可列點集上 為 0, 則必恆為 0。

(iv) 若兩整函數 f, g 在一線段或任一不可 列點集上相等, 則 f 必恆等於 g。

1.2. 整函數的增長定義及與零 點分布關係

由前面的討論我們知道, 若有一正整數 n 存在使得 lim_n→∞Mf(r)/rⁿ < ∞, 則 f 必為一多項式, 其次數 ≤ n。 所以對一超越 整函數 f (z), 我們就不能用 rⁿ 即 r 的冪次 來刻劃其增長性。 這時我們取用 e^rk(k > 0) 來作指標比較及分類。 若對一整函數 f , 存在 一正數 k, 使得當 r(> r₀) 充分大時,

M(r, f ) < e^rk (1.9) 總成立 , 則稱 f 為有限級, 不然就稱 f 為無 窮級。 而使得 (1.9) 式成立的 k 的最大下限, 稱為 f 的級 (order), 一般以 ρ_f (或 ρ) 表 之。 因而若一個 f 其級 ρ_f 為有限的, 則它表 示對任一給定的正數 ε (不論其多小), 當 r 充分大時 (r > r0), 下式總成立:

e^rρ−ε < Mf(r) < e^rρ+ε。 從而可推出“級”的一個等價定義如下:

ρf = lim

r→∞

ln ln M(r, f )

ln r (1.10)

其中 ln 是指以 e 為底的自然對數, 注意 (1.10) 中的 ρ 可為 ∞, 這時 f 就為無窮 數。

例2: e^√2z 為一有窮級的函數, 其級為 1, 而 e^ez, 為一無窮級的函數。

註: 由此定義不難見對任何兩個整函數 f, g,

(i) ρ(f + g) ≤ max(ρ(f), ρ(g)), (ii) ρ(f, g) ≤ max(ρ(f), ρ(g))。

在此順便引進另一有用的概念, 其為 f 的“下級”(lower order) µf 定義如下:

µf = lim

n→∞

ln ln M(r, f )

ln r (1.11) 註: σf 可為無窮大 (∞)。 當 ρ^f = µf

時, 稱 f 的增長為正常的 (regular growth)。

知道了一個函數 f 的級為有限後, 為了 進一步的刻劃, 引進了所謂的“型”(type) 的 概念:

σf = lim

r→∞

ln M(r, f )

r^ρ (1.12) 當 σf 為 0 時稱之為極小型, σf = ∞ 時稱 之為極大型, 及 0 < σf < ∞ 時稱之為正規 型, 函數 e^√2z 的型為 √

2。

以上增長的概念是依據 M(r, f ) 來求 出相應的級, 下級, 型等的數量, 但一般說來, 除了一些較特殊形式的整函數, 求 M(r, f ) 是不容易的。 當已知 f 為有限級時, 較方便 及簡單的方法是依據 f 的泰勒展開式 (1.1) 中的係數序列 {an} 來得出 f 的級及型。

定理1.6: 設整函數 f (z) 的級為 ρ, 其 泰勒展開式如下:

f (z) = a₀+ a₁z + a₁z²+ · · · + anzⁿ+ · · · 則 ρ 為有限的充要條件為

1

ρ = lim

n→∞

ln(1/|aⁿ|)

n ln n 。 (1.13) 當 ∞ > ρ 6= 0 時, 設 f 的型為 σ, 則

(σeρ)^1/ρ = lim

n→∞n^1/ρ|aⁿ|^1/n (1.14) 註: 由上定理, 我們可建造一個整函數具 有預先給定的級及型。

證明參看 [1]或 [3]。

例3: f (z) =

^P

^∞_n=0Γ(αn+1)^(Aαz)n1 為一整函 數, 其中 A 及 α 皆為正數, 則可得 ρ_f = ρ = _α¹ 及 σf = A。

證: 這是因 Γ(αn + 1) = (αn

e )^αn√

2παn(1 + O(1 n))。

(f (x) = Og(x)( 或 O(1)g(x)) 是表 ^{f (x)}_g(x) 為有上界的及 a_n = A^α/Γ(αn + 1), 代入 (1.13) 可得 ρf = _α¹。 由此及式 (1.14) 可得 τ = A。

在整函數的研究中, 常涉及一個函數與 其導函數間之增長比較及關係: 如由 f 的泰 勒展開式及其任意 n 次逐項微分所得的 f 的 n 次導函數 f⁽ⁿ⁾, 依據定理1.6就不難想見 f 與 f⁽ⁿ⁾ 具有相同的級及型。

定理1.7: 設 f 為一整函數, 則 f 與 f⁽ⁿ⁾ (n ≥ 1) 必有相同的級及型。

設 f1 及 f2 為兩個整函數, 則我們稱 f1 的增長比 f₂ 的增長大, 如 ρ_f1 > ρf2 或 ρf1 = ρf2, 但 σf1 > σf2, 另外易見的是 ρf1+f2 ≤ max(ρ^f1, ρf2), 及若 f1 的增長比 f2 的增長來得大, 則 ρ_f1+f2 = ρf1。

特別若一無窮級的函數 f₁ 與一有窮級 的函數 f2, 則其和 f1+ f2 必為無窮級。

1.3. 函數的表示與其零點之關 係

首先, 我們證明一個有用的表示式。

定理1.8: 設 f (z) 在 C 上無零點, 則 f (z) 可表為 e^g(z), 其中 g 為一整函數。

證: 考慮 ln f (z), 此雖然為一具無窮 分支的函數 (每一分支差 2πi 的整數倍), 但 其導數 [ln f (z)]^′ = ^f_{f (z)}^′(z) 為一單值的整函 數, 一個整函數的零點分布與其成長有相當 密切的關係。 它們的相關性是基於下面的劍 生 (Jensen) 定理。

定理1.9: 設 f (z) 為一整函數, f (0) 6=

0, 其具零點 a1, a2, . . . , an, . . . ; |aⁿ| = r_n ≤ rn+1 = |an+1|, 則當 r 滿足 rn <

r < rn+1 時, ln rⁿ|f(0)|

r1r2· · · rⁿ = 1 2π

Z

_2π

0 ln |f(re^iθ)|dθ (1.15) 略證: 這是主要基於任何一個實調和 函數 h(z) 具均值定理的事實 (h(0) =

1 2π

R

2π

0 h(re^iθ)dθ) 而得, 現若在 |z| ≤ r 內,

f (z) 的零點為 a1, a2, . . . , an, 則考慮輔助 函數

F (z) = f (z) · r²− ¯a1z z − a1

·r²− ¯a2z

z − a² · · ·r²− ¯anz z − aⁿ 。 其在 |z| ≤ r 內無零點, 注意在 |z| = r 上 時,

|r²− ¯aiz

z − aⁱ | = 1; i = 1, 2, . . . , n。

這時我們知 ln |F (z)| = u(z) 在 D :

|z| ≤ r 內為一調和函數; 此處設 g(z) = u(z) + iv(z); u, v 表 F 的實部及虛部及 F (z) = e^g(z)。

於是引用均值定理立即可得式 (1.15)。

設以 n(t, f ) 或 n(t) 表 f (z) 在 |z| ≤ t 內零點之數目 (重根計其重覆度), 則當 rn ≤ r ≤ rⁿ⁺¹ 時, 並注意當 rj ≤ x <

rj+1, j = n(x) 及 rn ≤ x < r 時, n = n(x), 我們可得

ln rⁿ

r1r2· · · rⁿ (1.16)

= n ln r −

n

X

j=1

ln rj

=

n−1

X

j=1

j(ln rj+1− ln r^j) + n(ln r − ln rⁿ)

=

n−1

X

j=1

j

Z

rj+1

rj

dx x + n

Z

r rn

dx x

=

Z

_n

0

n(x)

x dx (1.17)

於是劍生公式 (1.15) 又可表為

Z

r 0

n(x) x dx

= 1 2π

Z

2π

0 ln|f(re^iθ)|dθ−ln|f(0)|

(1.18) 上定理顯示在半徑為 r 的圓盤內一個函數其 零點的平均數大致和該函數的對數的模的平 均值相等, 由此立即可得下面一重要的結果。

定理1.10. 設 r1, r2, . . . , rn, . . ., 表 f (z) 的零點的模序列, 若 f 的級 ρf < ∞, 則當 s > ρ(f ) 時,

^P

^∞_j=1rj−s。

1.4. 整函數的表示式與增長關 係

大家都知道依據代數基本定理每個非常 數 n(≥ 1) 次多項式, p(z) 必有一個根 (零 點), 據此可推導出 (ii) p 可表為 n 個零點 (可重覆出現) 的線性因子乘積:

p(z) = d(z − z¹)(z − z²) · · · (z − zⁿ);

z_i為 p 的零點, d 為適當的常數。 這兩個特性 對超越整函數就不見得正確。 譬如: e^z 根本 無根。 但根據匹卡 (Picard) 定理 (參看 [1]), 對任何一個非 0 的值 a, 設 a = 1, (e^z = 1), 必有無窮多個根。 我們此無窮多根為可列的, 設它們為 {ai}, 所以可以依其模 (modulii) γ_i(= |ai|) 列出, 現問題是我們是否可以像多 項式一樣將 e^z− 1 表成無窮多個線性因子的 乘積表示? 即

e^z− 1 = dz^k(1−z/a¹)(1−z/a²) · · · (1−z/aⁿ) · · · (aⁱ 6= 0)(1.19) 但依據無窮因子乘積的定理, 如此般的定積

表示一絕對收歛 (也即有意義) 的必要條件是

X

∞ 1 ri < ∞

另一方面我們知 e^z − 1 = 0 的所有的根 為 z = 2nπi, n = 0, ±1, ±2, . . . 。 但

P

_∞

n=1 1

2nπ = ∞, 所以一般式 (1.19) 不足 以用來表示一個整函數其具零點 a₁, a2, . . ., 為了克服此一問題, 魏爾斯特拉斯 (Weier- strass) 將因子 (1 − z/aⁱ) 用所謂的基本 因子 E(z/a_i; ki); 即 E(u, k) = (1 − u)e^{u1+u22 +···+ukk} , 並利用這種因子來表示一 個在整個平面為絕對收歛的無窮乘積 (或一 整函數)。 其主要依據是對任何一序列 r_n →

∞ 總可找到一正整數序列 {pn} (譬如取 pn= n), 使得

X

∞

1

1

(rn)^pn 為收歛的,

則據此 {pⁱ}, 就可引進適當的 kⁱ 的值, 而 使得無窮乘積

^Q

^∞_i=1E(z/ai, ki), 在整個複 平面上為絕對收歛的 (整函數), 令

E(u; k) = (1 − u)e^{u1+u22+···+ukk}

= (1−u)e^{−ln(1−u)−uk+1k+1−uk+2k+2 +···}

= 1+c1u^k+1+c2u^k+2+· · · (1.20) (這是因 1 − u = e^ln(1−u)), 又

e^{u1+u22 +···+ukk}

= 1 + 1 1!(u

1 +u²

2 + · · · + u^k k )² +1

2!(u 1 + u²

2 + · · · + u^k

k )²+ · · ·

=

^X

bi(k)uⁱ (1.21) 易見所有的係數 b_i(k) 為正的, 且為 k 的 漸增函數。 在 k = ∞ 時, 上式左邊變成

e^ln1−u1 = _1−u¹ =

^P

uⁿ, 此式與 (1.21) 比 較, 立即可得

|ci| < 1 (1.22) 據此及 (1.20), 可得

|E(u; k) − 1| < |u^k+1| + |u^k+2| + · · ·

= |u^k+1| 1 − |u|

或

|E(z/aⁱ; pi−1)−1| < |z/ai|^pi

1 − |z/aⁱ| (1.23) 今由事實如

^P

|aⁿ| 為收歛的則無窮乘 積

^Q

(1 + an) 亦為收歛的, 於是對任何 z, i 充分大時, 0 < |z/ai| < ¹2, 因而由 (1.23) 可得

X

i>i0

|E(z/aⁱ; pi−1)−1|<2|z|

^X

1

(ri)^pi< ∞ 於是無窮乘積

Y

E(z/ai; pi−1) 在 C 上為收歛 (1.24)

定義1.1: 我們稱形式如

^Q

E(z/ai; pi− 1) 的收歛無窮乘積為以 a1, a2, . . . 為零點的 典型乘積。

定理1.10: 設 f (z) 為一具且僅具 a1, a2, . . ., an, . . . (a1 6= 0) 為零點的整函 數, 則 f (z) 可表為 f (z) = π(z)e^g(z), 其中 π(z) 是以 a1, a2, . . . , an, . . . 為零點的一典 型乘積, g(z) 為一整函數。

證: 因 π(z) 與 f (z) 兩者具有相同 的零點 (包括重根的重覆度也一致), 於是 f (z)/π(z) 為一整函數, 且 6= 0。 於是它可

表為 e^g(z), 即 f (z)/π(z) = e^g(z), 定理因而 得證。

註: 若 z = 0 為 f 的零點且重度 k, 則 一般 f 可表為 z^kπ(z)e^g(z)。

定義1.2: 設 f 為有窮級, 其具零 點 a1, a2, . . ., 則稱 ρ1 = inf{s :

P

_∞

n=1r_n^−s為收歛的} 為 f 的零點的收歛指 數 (易見 ρ1 ≤ ρ^f)。

定義1.3: f 等同定義 1.2 中所設。 我們 稱使

^P

¹

r^pn 收歛的最小正整數 p 為 f 的虧 格 (genus), 而相應的典型乘積 (1.24) 就稱 為由 f 零點構成的典型乘積具虧格 p。

註: 若 ρ1 非為整數, 則 p = [ρ1]。 當 ρ1

為整數時, 只當

^P

r_n^−ρ1 為發散時 p = ρ1, 當

^P

r^−ρ_n ¹ 為收歛時, p = ρ₁− 1。 因此我們 總有 p ≤ ρ1 ≤ ρ。

特別若 f 為有窮級, 則依據定理 1.9 知存在一正整數 p (取 p > ρ(f )), 使得

P

1

r^p_j < +∞, 於是可得所謂的哈達瑪德 (Hadamard) 定理如下:

定理1.11: 設 f (z) 為一有窮級的整函 數, 則

f (z) = z^ke^Q(z)π(z),

其中 k 為一正整數或 0(視 f (0) = 0 否而定 其重度), Q(z) 為一多項式, 其次數不大於 f 的級, π(z) 為由 f 的零點構成的典型乘積。

由定理 1.10知 f (z) = z^ke^Q(z)π(z), 其 中 z 為一整函數, π(z) 為由 f 零點構成的 典型乘積。 證明主要是在證明 Q(z) 必為一

多項式且次數 ≤ ρ^f, 因較繁複, 詳細討論可 參閱 [1]。

稍進一步的探討可得下面二個有用的結 果:

定理1.12: 設 f 如同上定理中所述, 則 在其表示式中的典型乘積 π(z) 的級與 f 的 零點的收歛指相等。

註: 證明可參看 ([3], p.17)

定理1.13: 設 f 為一整函數, 其級為有 窮且為非整數, 則 f 的零點, 收歛指數與其 級相等。

註:

(i) 由定理 1.13 或反證法, 立即可知任何一 有窮非整數級的整函數必有無窮多個零 點。

(ii) 任何一有窮級整函數其型為極大或極小 者, 也必有無窮多個零點, 例如 _Γ(z)¹ Γ 表 (Gamma Function), 級為 1 極大 型, 故對任意 a 值 1/Γ(z) − a 必有 無窮多個零點。

定理1.13之證明: 設 ρ1(f ) 表 f 的零點收歛 指數, 我們由先前之探討已知 ρ1(f ) ≤ ρ(f), 今假設 ρ₁ < ρ, 則由定理 1.11 及 1.12, 我們 可將 f 表為

f (z) = π(z)e^Q(z) (1.25) 其中 π(z) 的級為 ρ₁(< ρ), Q(z) 為一多 項式次數, 設為 q ≤ ρ。 現 e^Q 為一整函 數, 且其級為 q < ρ (不可能= ρ, 因 q

為整數而 ρ 為非整數)。 由事實 ρ(f, g) ≤ max(ρ(f ), ρ(g)) (參看式 (1.10) 之後的註 (ii) 及式 (1.25) 將導至

ρ = ρ(f ) ≤ max(ρ(π),ρ(e^θ)) < ρ 之矛盾, 所以必須有 ρ = ρ1。

2. 整函數的匹卡 (Picard) 定 理及函數方程

我們由前面的討論知任何一個整函數 f 若它只有有限個零點, 則 f (z) 必可表為 p(z)e^g(z) 之形式, 其中 p(z) 為由 f 的零點 構成的多項式, g(z) 為一整函數。 很自然的 一個問題, 對這種形式的整函數, 取不取異於 0 的值? 即 p(z)e^g(z)− a(a 6= 0) 有沒零點, 如有, 可不可能也為有限個? 或更一般 g(z) 為一多項式, p(z)e^q(z)− p(z) = 0 有沒有零 點? 其個數又為如何? 如為無窮多, 我們有 沒有對之作一種估計? 匹卡 (Picard) 定理 是說若 f 為一超越整函數, 則至多可有一個 值 a, 使得 f (z) − a = 0 只有有限多個零 點。 如此的 a 值, 稱為 f 的匹卡例外值。 如 e^ez+ 1 具有匹卡例外值1及 e^z−3 具有匹卡 例外值 −3。 前一個例子的函數為無窮級, 而 後者為有窮級, 一般性的證明較為複雜, 在此 不便介紹, 有興趣的讀者可參閱 [1]。 我們在 此就有窮級整函數加強的結果

^[

^附註

^]

來作一證 明。

匹卡定理(有窮級時情形): 設 f 為一有 窮級的整函數, 則至多有一個例外的值 a 使 得 f (z) − a 的零點收歛指數小於 ρf。 附註:此一加強的結果即為所稱的波雷耳(Borel)定理。

證: 依據定理 1.13, 我們知若 f 的級 (ρf) 不為整數, 則其零點收歛指數= ρf, 因 而對任何 a, f − a 的級亦為非整數, 從而 f − a 的零點指數不可能小於 ρf, 所以我們 現針對 ρf = 整數情形來討論, 在此情形下, 假設有兩個值 a, b, 使得 f − a 與 f − b 兩 者的零點收歛指數皆小於 ρ_f, 於是有

f (z) − a = z^k1e^Q1(z)π1(z), (2.1) f (z) − b = z^k2e^Q2(z)π2(z) (2.2) 其中 Q₁(z) 及 Q2(z) 為兩多項式次數皆為 ρ(= ρf), k1, k2 為非負的整數 (可為 0) 及 π1(z) 及 π2(z) 為典型乘積, 且兩者的級皆 小於 ρ。 (2.1)-(2.2) 得

b − a = z^k1e^Q1(z)π₁(z) − z^k2e^Q2(z)π(z)。

因而

z^k1π₁(z)e^{Q1(z)−Q2(z)}

= z^k2π2(z) + (b − a)^−Q2(z) (2.3) 現上式右邊的級為 ρ, 所以 Q1(z) − Q²(z) 為 ρ 次多項式 (

^∵

ρ(π1) < ρ), 另一方面將 (2.3) 微分可得

(z^k1π1Q1′+k1z^k1−1π1+z^k1π1′)e^Q1

= (z^k2π₂Q^′₂+k₂z^k2−1π₂+z^k2π^′₂)e^Q2(2.4) 注意一個整函數與其導函數具有相等的 級, 所以上式中

(z^k1π1Q1′+k1z^k1−1π₁^′+z^k1π₁^′) (≡π^1∗) (z^k2π₂Q^′₂+k₂z^k2−1π₂^′+z^k2π₂^′) (≡π2∗)

的級皆小於 ρ。 於是由 (2.4) 可得 π₁^∗e^Q1 = π₂^∗e^Q2 或

π^∗₁e^Q1−Q2 = π₂^∗,

∵

π^∗₁ 6≡ 0, π2^∗ 6≡ 0 (否則將導至 z^k1e^Q1π1 及 z^k2e^Q2π2 皆為常數的矛盾), 所以上式可導至 e^Q1−Q2 的級不能大於 ρ(π₁^∗) 或 ρ(π₂^∗)。 因而 Q1−Q²的次數 ≤ max(ρ(π1^∗), ρ(π₂^∗)) < ρ。

此與先前 Q₁ − Q² 的次數 = ρ 相矛盾, 定 理因而得證。

我們以下介紹一些 [2]中有關函數方程 解的研究作為匹卡定理之應用及本文之結束。

大家或許都熟習下列恆等式:

sin²z + cos²z = 1 因此函數方程:

f²(z) + g²(z) = 1 (2.5) 至少有組解 f (z) = sin z, g(z) = cos z, 問 題是 (2.5) 有關整函數的通解為如何?

解: 將 (2.5) 左邊分解可得

[f (z) + ig(z)][f (z) − ig(z)] = 1 (2.6) 今 f (z) + ig(z) 及 f (z) − ig(z) 皆為整函 數, 且皆不取 0值, 故

f (z) + ig(z) = e^ih(z), (2.7) h(z) 為一適當的整函數, 因而由 (2.6),

f (z) − ig(z) = 1

f (z) + ig(z) = e^−ih(z) (2.8) 由 (2.7) 及 (2.8) 兩式, 立即可得

f (z) = e^ih(z)+ e^−ih(z)

2 = cos h(z)

g(z) = e^ih(z)− ie^ih(z)

2i = sin h(z)

∴

f (z) = cos h(z) 及 g(z) = sin h(z), h(z) 為一整函數, 為方程 (2.5) 的通解。

今考慮函數方程:

fⁿ(z) + gⁿ(z) = 1, n ≥ 3 (2.9) 的通解問題。

我們將證當 n ≥ 3 時, 函數方程 (2.9) 無任何非常數的整函數解。

證: 設 f, g 為滿足 (2.9) 的兩非常數整 函數, 設

α0 = cosπ

n + i sinπ n,

及 α_k = α₀^2k+1 = cos^2k+1_n π + i sin^2k+1_n π, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1, 則 αk(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) 為 zⁿ = −1 的 n 個根。 即

zⁿ+ 1 = (z − α⁰)(z − α¹)(z − α²) · · · (z − αn−1)

上式中將 z 代以 f (z)/g(z) 後, 兩邊同乘以 fⁿ(z) 可得

fⁿ(z) + gⁿ(z)

= [f (z) − α0g(z)][f (z) − α03g(z)] · · ·

·[f(z) − α⁰²ⁿ⁻¹g(z)] (2.10) 由 (2.9) 知上式右邊 n 個因子中無一因子可 取得 0 值, 加上各因子皆為整函數, 所以我們 有

f (z) − α0g(z) = e^h0(z),

f (z) − α03g(z) = e^h1(z) f (z) − α⁰⁵g(z) = e^h2(z),

...

f (z) − α02n−1g(z) = e^hn−1(z), (2.11) 其中 h0(z), h1(z), . . . , h_n−1(z) 皆為整函 數。

因 n ≥ 3, 所以我們不妨考慮最先3個 方程式, 及消去 f (z), 可得

(α02

− α⁰)g(z) = e^h0(z)− e^h1(z)

及 (2.12)

(α03

− α⁰²)g(z) = e^h2(z)− e^h1(z) 注意 α₀ = cos^π_n + i sin^π_n 6= 0 及 α⁰² = cos^2π_n + i sin^2π_n 6= ±1 (

^∵

n ≥ 3), 所以由 上兩式可得

e^h0(z)− e^h1(z)

α0(α02− 1) = e^h1(z)− e^h2(z) (α02− 1) 其可化為:

α02e^h0(z)+ e^h2(z) = (1 + α02)e^h1(z)。 上式又可表為

[ α0

√1 + α₀²eh0(z)−h1(z)

2 ]²

+[ 1

√1 + α02eh2(z)−h1(z)

2 ]² = 1。

由前結果可知, 存在一整函數 h(z₀), 使得 α0

√1 + α₀²eh0(z)−h1(z)

2 = cos h(z)

及 (2.13)

√ 1

1 + α02eh2(z)−h1(z)

2 = sin h(z) 今證 h(z) 必為一常數, 設不然, 則或者 h(z) 為一次數 ≥ 1 的多項式, 或為一超越整函 數。 在前者情形下, 則我們知存在 −z0 使得

h(z0) = π/2 (代數基本定理保證此 z0 的存 在), 對此 z0 (2.13) 中第一個方程的右邊式 為 cos h(z₀) = cos π/2 = 0, 但左邊式恆不 為 0, 故得矛盾。 今設 h(z) 為超越的, 則依據 匹卡定理 h(z) = π/2 或 h(z) = −π/2 兩 者總有一方程有解, 同樣將此解代入 (2.13) 中的第一個方程, 得至矛盾, 所以 h(z) 只得 為常數。 這時由 (2.13) 知兩指數 (h₀−h¹)/2 及 (h2− h¹)/2 必須為常數; 即

h₀(z)−h1(z)

2 ≡a, h₂(z)−h1(z)

2 ≡b。

但(2.12) 中第一個方程可導至 g(z) =e^h0(z)− e^h1(z)

α0(α02− 1)

= e^h1(z) e^h0−h1 − 1 α0(α02 − 1)

= e^h1(z) e^2a−1

α0(α02−1)= βe^h1(z) (2.14) 其中 β = (e^2a− 1)/α0(α₀²− 1) 為一常數。

但另一方面, 由式 (2.11) 的第二個方程可得 f (z) = α02g(z) + e^h1(z)

= (α₀²β + 1)e^h1(z)

= re^h1(z) (2.15) 其中 r = α₀²β + 1, 將 g(z) 及 f (z) 的表 示式 (即式 (2.14) 及式 (2.15)) 代入函數方 程 (2.9) 中得

(βⁿ+ rⁿ)e^h1(z) = 1

即 e^h1(z) 為一常數, 從而 f 及 g 皆為常數, 此為矛盾的, 定理因而得證。

從上面的論證我們可得到下面推廣的結 果:

定理2.1: 設 pn(z) = a0zⁿ+ a1zⁿ⁻¹+

· · · + aⁿ 為一 n(≥ 3) 次多項式, 若 pn(z) 至少有三個互異的零點, 則對任何值 b 6= 0 函數方程:

a0fⁿ(z)+a1fⁿ⁻¹(z)g(z)+· · ·+aⁿgⁿ(z) = b 無非常數的整函數 f 及 g 可滿足。

註: 匹卡定理換言之, 可說一個整函數 f (z), 若有二個或以上 (有限) 匹卡例外值, 則 f (z) 必得為一常數。 在一般應用或常 用到的亞純函數 (meromorphic function) F (z), 相應的匹卡定理又如何呢? 所謂亞純 函數 F 是指 F (z) 為兩個整函數之商式的函 數, 如 tan z, ^e_{sin z}^z+1 或 ^ez+1

z²−3z+4。

匹卡定理(亞純函數的): 設 F (z) 為一 亞純函數, 若 F 具有三個或以上的 (有限) 匹卡例外值, 則 F (z) 為常數。

證: 設 F = ^g_f; g, f 為整函數。 設 F (z)−a¹ 6= 0, F (z)−a² 6= 0, F (z)−a³ 6=

0, ai 為互異的常數並不妨設 ai 6= 0, 作輔助 函數 G(z):

G(z) = 1 F (z) − a¹, 則易見 G(z) 為整函數, 這時

G(z) − β = 1 − βF (z) + βa1

F (z) − a¹ 或

G(z) − β = −β(f(z) − ^1+βa_β ¹) F (z) − a1

,

∴

如取 β = β1, 滿足 ^1+β_β^1a1

1 = a2, 即 β1 =

a1−1−a2, 則 G(z)−β¹ 6= 0, 如取 β = β²滿足

1+β2a1

β2 = a3或 β2 = _a⁻¹

1−a3, G(z)−β² 6= 0。

這時 G(z) 不取 β1 與 β2, 且 β1 6= β², 因此 G(z) 為一常數, 從而 F 亦然。

例: 考慮 F (z) = _ez^e−1^z , 則 F (z) 為一 亞純函數, F (z) 6= 0 及 F (z) 6= 1, 所以對 任何 a 6= 0, a 6= 1, F (z) − a 必有解。

尾註: 值分布論會告訴我們例外值的概 念, 可以推廣到例外小函數上去, 我們稱 h(z) 為 f (z) 的小函數, 一般是指 h(z) 的 增長比 f (z) 來得小的很多。 例如對任一超 越整函數來講, 任一多項式就是它的小函數。

這時我們可斷定一個超越的亞純函數 F (z) 至多有二個它的小函數 a₁(z), a2(z), 使得 F (z) − a¹(z) 及 F (z) − a²(z) 無零點或只 有有限多個零點。 應用: 如取 F (z) = ^e_ze^z−zz−1²

則 F (z) −¹z 及 F (z) − z² 兩者都至多有有 限多個零點。 這時對任何多項式或有理函數 R(z) 6≡ z¹, 6≡ z², F (z) − R(z) 必有零點 且數目為無窮多。 值分布理論就是將此數量 與 F 的增長連結起來的種種有關研究。 數學 界著名的費爾茲 (Fields) 獎第一屆的受獎人 L.V. Ahlfors 就是因他將有關值分布論推廣

到高維複空間的映照 (mapping) 上去的卓 越成果。近年來, 值分布論已和古典的複函數 結合, 被應用作為亞純函數的分解論及複動 力系統等方面研究的主要工具, 並取得了豐 碩的成果, 特別是在不動點 (fixed point) 與 函數分解間的關係、 整函數不動點的定量性 刻劃等等結果, 參看由筆者主持的一國際性 複分析及其應用的會議專輯 [4]或 [3]。

參考文獻

1. E. C. Titchmarsh, The theory of func- tions, second edition, Clarendon Press, Oxford, 1939.

2. A. I. Markushevich, Entire functions, (English translation), American Else- vier Publishing Company, Inc. 1966.

3. F. Gross, Factorization of meromorphic functions, U.S. Government printing of- fice, Washington, D. C. 1972.

4. C. C. Yang et al., Complex Analysis and its Applications, Proc. Interna- tional Conference on Complex Anal- ysis and Its Applications. (held in 1993 in Hong Kong). Pitnam Re- search Notes of Mathematics, Long- man, Vol.305, 1994.

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本文作者任教於香港科技大學數學系

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