「動力系統」 的理論及數值模擬
杜 寶生 · 周謀鴻
有人說, 在二十世紀, 人類有三大發現, 那就是相對論, 量子力學以及混沌理論, 而混沌理 論是動力系統的一支, 動力系統又是非線性科學的一門。 由於上個世紀末葉非線性科學的蓬勃 發展, 使得人類自古以來所認為最永恆的自然現象 — 定態及週期性, 多加了兩位新成員 — 擬 週期性及混沌。 在此之前, 科學家們對這兩種新增的現象並不陌生, 只是苦於無法掌握到一個確 切的描述, 如前兩者那樣: 「獨立而不改, 週行而不殆」(本文有三處借用老子 「道德經」 中的語句, 言簡意賅)。 隨著動力系統研究的演進, 確定在很多看似簡單的機制下都能見到這兩位新成員的 本尊, 從而引發更多數學理論的建立及一系列透過電腦的數值模擬, 大大地提升了 「擬週期性及 混沌」 在科學現象中的正統性。 現在從事動力系統研究的, 不只包括數學家, 物理學家, 還包括 了化學家, 生物學家, 經濟學家, 氣象學家等。 動力系統說難是難, 但對動力系統理論有興趣的 讀者, 也不要因此被嚇跑, 因為它也有簡單的部份, 只要稍懂一些初等微積分, 就能大致瞭解這 些人在做些什麼。 由於這個領域還在發展當中, 有些概念, 就像混沌概念, 還未定型, 說不定您 有奇想或靈感, 也能貢獻一些。 以下我們先以直線上離散動力系統為例, 做些簡介。
直線上離散動力系統的定義很簡單: 假設 f 是一個從實數集對應到實數集的連續函數, 隨 便取一個實數 c, 我們可以計算 f (c), f (f (c)), f (f (f (c))), . . ., 等等。 為方便計, 我們令 f2(c) 代表 f (f (c)), 令 f3(c) 代表 f (f (f (c))) 等等。 離散動力系統的一個研究課題就是: 我們能夠 描述實數列 c, f (c), f2(c), . . . , fn(c), . . . 當 n 很大時的終極表現嗎? 這通常有兩種可能, 一 種是: 太複雜了, 我們無法描述, 這是屬於混沌的範疇; 另一種是: fn(c) = c, 也就是說, c 對 f 疊代 n 次後會回到 c 自己, 我們稱這種點為週期點, 並稱滿足這個方程式 fn(c) = c 的最 小正整數 n 為 c (對 f ) 的週期。 對一般的動力系統, 週期點的存在與否, 是一個很吸引人的問 題, 因為它代表了規律性。 就這一部份, 我們有如下的沙可夫斯基定理。 其條件之簡要, 結果之 豐富, 堪稱數學定理的典範。
我們先給所有自然數定一個前後次序, 這個次序叫做沙可夫斯基次序, 其定義如下: 先將 所有大於一的奇數按由小而大的順序排, 所以得到 3, 5, 7, . . ., 也就是 3 排最前面, 之後為 5, 再之後為 7, 9, 11 等等, 然後我們把這些奇數每個都乘上 2 後再接著排, 所以得到 3, 5, 7, . . ., 2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, . . . , 接下來排 2 的平方乘 3, 2 的平方乘 5, 2 的平方乘 7 等等, 以此 類推, 最後把 2 的正整數次方按由大而小的順序排在最後, 所以在最後面的數就是 . . ., 32, 16, 8, 4, 2, 1。 沙可夫斯基定理是說: 如果 f 是一個從實數集到實數集的連續函數, 且 f 有一個
22
「動力系統」 的理論及數值模擬
23
週期為 m 的週期點, 則對於所有排在 m 後面的週期的週期點, f 都有。 對於這個結果, 我們 有一個能讓一般修過初等微積分的大學生都看得懂的證明。 這個證明利用下面這個微積分的習 題: 如果 a 和 b 滿足 f (b) < a < b ≤ f (a), 則存在一個 f 的定點 z, 一個 f 的週期二的點 y, 以及一點 v 使得 y < v < z < b = f (v) 且對所有滿足不等式 y < x ≤ v 的點 x, 都有 f(x) > z 以及 f2(x) < x。 有興趣的讀者, 可嘗試看看, 先利用上述這個習題來證明: f 如有 週期是奇數 k 且 k > 1 的週期點, 則 f 必有週期為 k + 2 的週期點也一定會有所有週期是偶 數的週期點; 之後由此就可以證得沙可夫斯基定理了。
由沙可夫斯基定理可知, 即使在不是很複雜的動力系統中都可找到無窮多的週期解; 這種 不是 「寂兮寥兮」 的週期現象, 是混沌概念的起源之一。
接下來, 我們舉個可做實驗的流體力學現象。 一般有常識的人都相信, 在極粘的不可壓縮 流場中, 極強的粘滯力會抹平任何奇怪的現象; 若把這個流場看成動力系統, 寫出來的微分方程 式剛好也滿足古典力學的守粧律。 現在, 我們把這個流場用兩個圓柱體圍成一個環形, 然後讓這 兩個圓柱體輪流地緩慢但定速地轉動, 或換句術語, 加上這些邊界條件以形成一個片段可積的 動力系統; 同時在流場上灑些鋁粉之類的觀察標記。 通常, 你會看到這些觀察標記慢慢地聚成頗 有規則的形狀; 但是, 在這兩個圓柱體不是同心的情況下, 你也會看到有些內外圈的轉速比會讓 那些觀察標記, 最後變得雜亂無章, 似有違常理。 受過訓練的觀察者, 當會懷疑其中有發生某種 分歧現象。
在動力系統中, 另外有個名聲響亮的 Smale-Birkhoff 定理, 可用來解釋上述的困擾。 這個 定理所說的, 是一種幾何描述, 大意如下: 你所看到的流場中, 可能有些橢圓性及雙曲性的奇異 點 (前著的固有值為純虛數, 而後著的固有值的實部不為零, 透過 Poincare-Birkhoff 定理, 這 兩類奇異點有時會有共生現象), 而由雙曲性奇異點發出的穩定流形與不穩定流形若發生糾纏, 跳起了探戈, 帶動了 「馬蹄鐵現象」, 那麼雜亂
無章實屬必然, 因為那就是混沌的表徵之一。
想要確實體驗這種描述, 包括找尋奇異點及掌 握相關的流形, 就得靠理論、 實驗之外的第三 隻眼 — 科學計算, 以竟其功。 透過嚴謹的數 值模擬, 我們可以清楚地看到這兩類流形, 如 何從縱向的密合蛻變成橫向的糾纏。 隨文附上 一圖示, 讓讀者感受一下我們從這個角度所 看到的混沌模樣。「惚兮恍兮, 其中有形; 恍兮 惚兮, 其中有狀」。 (本文原刊載於中央研究院
「週報」1046 期“研究成果”, 感謝 「週報」 編 輯委員同意本刊轉載。)
—本文作者任職於中央研究院數學所—
