Polya 啟發法的哲學面向
洪誌陽
一、 前言
George Polya (1887∼1985) 除了數 學成就為數學家所熟知之外, 更多的人是透 過 「如何解題」 (1945)、「數學與合情推理」
(1954) 及 「數學發現」 (1962) 三本書來認 識他的。 他在 「數學發現」 的序言指出:
本書目的有二, 一是理論上的目 的, 及進行探索是的研究, 另一個 具體而又迫切的實際目的, 則是提 高中學數學教師的水平。
Polya 所說的“理論上的目的”, 是指對 「啟 發法」 研究的 (一般) 模式介紹及解題心理 程序的討論。 所謂啟發法, 對 Polya 而言, 是研究 「發現」 和 「發明」 的方法和規則, 是 「服侍發現」 的一種附屬方法, 是他在思考 如何具體化解題過程時自然觸及的問題。 雖 然 Polya 只是為數學而數學, 不像 Pap- pus、Decartes、Leibniz、Bolanzo 等人有哲 學上的考量, 但是一旦觸及同樣的主題 (方法 論), 哲學問題自然湧現。 本文的目的, 除了簡 單的介紹 Polya 啟發法之外, 也考察 Polya 的 「數學方法論」 在數學哲學中的面向。
Polya 復興啟發法, 意在數學。 他圍繞 著 「如何解題」 這一中心, 展開對數學啟發法 的研究。 他說:
現代啟發法力求了解解題過程, 特 別是解題過程中典型有用的心智 活動。
啟發推理只是一種暫時的、 粗糙的推理, 而不 是最後的、 嚴格的推理, 它的目的是在發現當 前問題的解答。 Polya 曾經以下面的類比:
方法論 : 啟發法=策略 : 實戰策略 來凸顯啟發法在解題過程中的重要性。 策略 和實戰策略在戰爭的運籌上的關係, 正如同 方法論和啟發法在建構數 (科) 學時, 心靈運 作的關係一樣。 策略對戰爭有一般性的指引, 而實戰策略則是在真實的作戰中和軍隊的努 力有關。 類比地, 方法論的目的, 是在確認科 學系統建造的大準則, 至於啟發法, 則是去了 解當一位解題者面對他的問題時所作的奮鬥。
簡單地說, 「啟發法」 就是問題解決的 「實戰 策略」。
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二、 啟發法
Polya 在 「如何解題」 中, 花了相當大的 篇幅來討論第三部份 「啟發術小辭典」。 事實 上, 這一部份也可視為是 「數學與合情推理」
和 「數學發現」 的摘要。 Polya沿著學習數學 的經驗、 研究數學的心得, 發展了一套問題解 決的模型。 此一模型的主要核心, 是在每個步 驟後, 羅列了一些經仔細選擇和排列口語化 的 「問句」 和 「提示」。
· · · 如果你能適當地用這些問句和 提示來問你自己, 那麼這個表可以 幫助你解決你的問題。 如果你能適 當地的用這些問句和提示來問你 的學生, 那麼這個表可以幫助你的 學生解決他的問題。
事實上, 整本 「如何解題」 主要就是在討論這 些問句和提示的。 就 Polya 所提出的四個解 題步驟而言, 並不能超越或優於以前的人所 提出的解題模型。 但 Polya 的模型影響遠遠 超過其他學者, 主因之一, 就是這些有效、 恰 當而又自然的問句和提示。 對其他的模型而 言, 步驟的區隔、 提出的層次已是主角, 對各 層之間多是靜態的描述, 少有動態的指導語。
而 Polya 卻是用一連串的問句去堆砌他的四 個步驟, 當你冥想一句句由這些字句所串連 起來的情境時, 一幅精彩的解題圖畫已呼之 欲出。
很明顯地, Polya 正是利用這些經過仔 細挑選、 精煉後的問句和提示, 來還原自己的 解題活動的經驗。 事實上, 運用語言在進行思 考正是 Polya 研究風格的特徵之一。 正如同 他對 Hadamard 所說:
我相信, 對於一個問題的關鍵性思 想總聯繫著一個恰當的詞或句子。
這個詞或句子一經出現, 形式即 刻明朗。· · · 它給出了問題的全貌。
語言可能略略超前於關鍵性思想, 也可能緊緊跟隨於其後出現, 也許 可以大致的說, 它們與關鍵性思想 是同時出現的。 · · · 一個好的詞或 一個恰當的句子, 以幫助我回憶起 那關鍵性思想。 · · · 可以幫助我們 把思想固定下來。
在 Polya 心中, 表中的問句及提示, 暗示了 現代啟發法的內容。 「啟發法」 : 能夠指明方 向但卻不能保證成功的一般方法, 對 Polya 而言, 它實際上是同等於問題解決的。 雖然 Polya 曾說很難對啟發法下定義, 但還是對 它研究的範圍做了描述:
現代啟發法致力於了解解題的過 程, 尤其是在這過程中具有代表性 的心智活動 · · · 啟發法的研究應 該兼顧到邏輯的和心理的背景· · · 這個界定和解題過程是一致的。 值得注意的, 是 Polya 同時強調了邏輯和心理的背景。
因此, 想瞭解 Polya 的工作, 最基本的 是要認識 Polya 把數學視為一項 「活動」, 是 真實且實際的解題過程。 雖然他喜歡收集諺 語來描述解題, 但 「分析學中的問題和定理」
德文版 (1925) 的序言中寫著:
能夠描述最有用的思想訓練的一 般法則, 我們並不知道。 即使這些 法則可以被公式化, 它們也可能不
是很有用。 與其理論上去知道正確 的思考法則, 倒不如將它們溶入人 的血肉之中, 可以做直接和本能的 使用 · · · ·。 雖然開始時, 把一些 金玉良言當座右銘並沒有害處, 但 獨立解具挑戰性問題的經驗, 比起 它對讀者的的幫助多太多了。
他也一直強調解題就像游泳, 是一種實際的 技術。 任何實際技術的獲得都靠模仿和練習。
「數學性的參與」 在 Polya 的觀念裡是很根 本的。 這種參與的部份, 就是要積極主動的參 與發現, 靠著猜想來享受發現的樂趣。
解題活動對 Polya 而言, 是一項基本的 人類行為, 人們大部分有意識的思維都和解 題有關。 因此, 以解題為中心所研究出來的啟 發法, 自然有相當的普遍性。 事實上, Polya 雖然是以數學的發現或發明為直接研究的對 象, 但他也同時強調這種研究的普遍意義:
在研究啟發法時, 我們不能忽視任 何一類的問題, 我們應該從處理各 類問題的方法中找出共同的特點;
我們應以找出各類問題的普遍性 為目的。
在 「數學與合情推理」 中, Polya 所舉的例子 就不單限於數學, 也包括字謎、 法庭及物理等 方面的實例。 在 「數學發現」 的第三部份, 更 直接以一般解題方法為研究的對象。 這說明 了數學啟發法的用途不限於任何題目, 不管 是代數或幾何的、 數學或非數學的、 理論的或 實際的。
Polya 很清楚自己並不希求 Descartes 和 Leibniz 所渴望的 「萬能方法」, 用以解決 一切的問題。 他說:
不幸的是, 從來就沒有萬能的、 完 善的解題方法, 沒有能應用於一切 情況的精確法則。
但是:
各種各樣的規則還是有的, 諸如行 為準則、 格言、 指南等等。 這些都 還是有用的。· · ·
· · · 如果你確實理解並感興趣於一 個你已解決的問題, 那麼你就會得 到一種寶貴的東西: 一個模式或 一個模型, 以後可以模仿它去解決 問題。· · · 提出這樣的模式之後, 你 便真地有所發現。
儘管萬能的方法並不存在, 但在實際解題的 過程中, 透過回顧的功夫, 可以發展或總結出 一般的方法或模式, 這種模式在以後類似的 情況下, 就可以達到啟發和指導的作用。
無疑地, Polya 相當清楚 Pappus 與 Descartes 的工作, 在 「如何解題」 中, Polya 意譯了 Pappus 論分析與綜合, 並利用例子 做實際的解說。 他做了總結:
分析和綜合包含著同樣的對象; 這 對象使這人的心思應用到分析上, 使他的體力應用到綜合上; 分析 包含於思想之中, 綜合則位於行動 中。 · · · ·分析自然地先來, 綜合 接著; 分析是發明, 綜合是實行;
分析是設計一個計畫, 綜合則是實 踐這個計畫。
在這裡似乎可以看到, Polya是以一個解題過 程的兩個主要部份來理解 Pappus 的分析- 綜合法。 在 「數學發現」 評註 8.1 中, 他又 對這個主題做了論述。 他認為制定方案時採 用倒退的方法, 即“分析法”, 是比較可取的一 種辦法; 而向前做, 我們可能會得到一些無法 利用的資料。 他說:
用向前做的方法制定方案的解題 者, 可能早就構思了某一思路—
這裡所謂的“構思”, 我的意思是 隱隱約約, 可能是潛意識的。
由此可以發現 Polya 對分析法的重視。 相較 於在 「如何解題」 中對 Pappus 的討論, 這裡 的用詞架構都已是 Polya 自己的東西, 已經 被整理進一個清晰明確的架構之中。
不僅如此, Polya 在第九章 「數學發現」
討論輔助問題時, 也把 Pappus 方法中等價 問題轉換 (雙向變換) 推廣到了較強或較弱的 輔助問題轉換 (單向變換)。 我們知道 Pap- pus 方法中最大的局限是當倒推 (分析) 過 程中不可逆時; Polya 則提出了更一般輔助 問題的找法。 例如令
A. 已知· · ·, 求稜錐的體積。
是一個省略部份敘述的問題, 假定根據給出 的數據足以確定這個稜錐, 但稜錐的底面和 高不在已知數據之中, 這兩個量均不為已知 量。 這時我們可以把 A 轉化為另一個問 題:
B. 已知· · ·, 求稜錐的底面和高。
如果我們解出了 B, 得到稜錐的底面和高, 自 然能解出 A, 反之則不然。 Polya 把 A 稱為
較弱的問題, 而將 B 稱為較強的問題。 我們 可以看到將問題向較強問題的轉換, 有時更 容易解決。 而另一方向的變換, 也是有用的, 如:
A′ 已知 · · ·, 計算未知量 x1, x2, x3, . . . , xn−1 和 xn
B′ 已知 · · ·, 計算未知量 x1
解問題 B(B′) 可以做為解問題 A(A′) 的踏 腳石。 由此可見, Polya 走得比 Pappus 更 遠。
在 「數學發現」 中, Polya 把 Descartes 模式 (註一) 的討論及推廣當作解題的一 個重要方案提出, 當中討論了它在文字題、
幾何題、 物理題及智力題等的應用。 他在看 到它的局限性的同時, 也了解到它的威力。
Polya 另外就作圖題提出了另一個模式—雙 軌模式。 首先將問題簡化為一個點, 然後使每 個未知點都變成一條軌跡。 然後還有遞歸模 式及疊加模式, 這些模式對 Polya 而言和 Descartes 模式沒有什麼不同, 它們都是解 題時有用的架構。 筆者要強調的是, Pappus 和 Descartes 所主張的都已經被 Polya 消化 成他自己的體系; 在此一體系裡, 這些啟發法 都有自己的位置, Polya 是以自己的專業數 學家經驗為基礎去統整它們的。 另外一個明 顯的例子是, 雖然 Polya 在多處提及 Leib- niz 及 Bolzano 的主張, 但除了 「宣言」 式的 描述外, 沒有任何有關他們所提方案細節的 論述。 我們知道他們兩人的切入點在於邏輯, 而對真實的解題活動, 是很難有什麼助益的, 反倒不如 Leibniz 和 Bolzano 他們所留下 的那些雋永的陳述。 對 Polya 而言:
我想利用我在研究工作和教學工 作上的全部經驗, 給讀者以適當的 機會, 來作有意義的模仿和進行獨 立的工作。
在研究及教學的長期實踐, 正是 Polya 在啟 發法的研究能作出傑出貢獻的重要原因。
三、 數學家自己的現身說法
在這一方面,Euler 的立場上和 Polya 是一致的。 Euler也是以一位數學家的角色出 發, 忠實地記錄自己研究的過程, 在他的著作 中所出現的合情推理, 如類比、 歸納等方法, 在數學家的實際工作中, 更是經常出現、 更是 重要的。 這也是 Polya 討論啟發法的重要組 成。 Polya 是深深為 Euler 所吸引的, 他不 僅在著作中大量重建了 Euler 的發現, 也明 白地指出 Euler 對他自己研究的影響:
在我熟悉的所有數學家的著作中, Euler的著作對本書 (「數學與合 情推理」) 的研究是最重要的。
要注意的是, 在一個完整的解題過程中, 一 般而言既包括了嚴格意義上的發現 (如對於 可能的結論在可能的解題方法的猜測), 也 包括了所謂的檢證 (如定理的證明及猜想的 檢驗等), 亦即所謂的啟發性及證明性兩種程 序。 Polya 以解題為中心進行研究, 在一定 的程度上就擺脫了關於發現與檢證嚴格區分 的思維框架。 事實上, 就實際的過程去進行分 析, 發現和檢驗的嚴格區分是不可能的。 對原 始猜想的證明, 往往會導致新的發現, 即新
的改進了的猜想; 而在對一個理論做評價時, 也往往必須考慮到導致這一發現的各種因素。
這兩種在本世紀初期被嚴格區分 (發現脈絡 V.S. 檢證脈絡), 且不考慮 「發現過程」 的 科學哲學研究主流中, Polya 是一個特殊的 例子。而他之所以採取這樣的研究取向, 主要 還是因為他強烈地意識到發現 (啟發) 過程在 實際解題中的重要性, 而這當然也與他鮮明 的數學家角色和對數學教育的興趣有直接的 關係。
如此一來, Polya 的數學觀便是一個有 趣的問題了。 他出生的年代正逢數學史上的 第三次危機, 數學 (哲學) 家們忙於為數學尋 找堅實的基礎, 提出了三種典範的解決方案。
Polya 暴露在這樣的環境下, 自然相當熟悉 這些討論。 他在 「數學發現」 評註 14.10 中, 就曾對形式主義的主張做了描述。 但卻從未 見他出現於論戰的核心之中。 最有名的是他 和 H.Weyl 在 1918 年的打賭。 Weyl 是直 觀主義者, 他預測在二十年裡, Polya 和其 他頂尖的數學家將會承認當代數學中有許多 概念, 譬如數、 集合可數性等等, 都是相當模 糊, 而且會認為“判斷包含這些概念的定理的 對錯, 和宣稱黑格爾的自然哲學是真實的一 樣”。 例如:
A. 每一個有界的數集合都有上界。
B. 每一個數的無限集合都有一個可數子集。
這兩個定理將會被視為假的。 如果其中之一 被視為真, 則必是數學有重大的發展, 而使得 現代數學已和當代的完全不同。 Polya 不贊 成這個預測。
打賭的結果無疑地是 Polya 贏了。 在接 受 Alexanderson 訪問時, 談到他是否為一 個打賭者時, Polya 說:
我不是一位打賭的人, 相反的, 我 非常的小心。
Polya 心中的這份肯定從何處來? 是因他持 有其他學派的觀點? 還是有其他的原因? 筆 者認為, Polya 的堅持並不來自三大學派中 的任何一個。 事實上, 正如 I. Lakatos 所 說的形式、 邏輯及直觀三種典範是嘗試把數 學重建為歐幾里得式 (Euclidean) 的數學, 而 Polya 的立場卻是以一個專業數學家的 角度出發, 這是歐幾里得式的數學不可能含 攝進去的。 其次, 這些主張的提出有他們相對 要解決的問題— 數學基礎何在? 但如 Rus- sell 和 Whitehead 並不是真正專業的數學 家, 而 Hilbert 做 「通常的」(非基礎的) 數 學研究時, 他並不覺得必須在他的工作中處 理公式而不處理意義; Brouwer 在拓撲學的 研究中也沒有為他的直覺主義信條做出犧牲。
對他們來說, 通常的數學實踐和他們對數學 基礎主張的分離, 似乎不需要解釋或辯護。 這 點似乎顯示出, 大部分的數學家還是依照數 學固有的方式在實踐數學, 很少有人因三種 學派的主張而改變了他們做數學研究的方法。
正是這樣的立場, 讓 Polya 擁有前面所說的 信心。
若我們把 「數學基礎」 的解決看成數學 上的一個問題, 顯然 Polya 的興趣不在這裡, 他除了鍾情於解題式的數學研究之外, 同時 也關注解題本身的研究。 而這些關懷的基本
立場, 都出自一個數學家實務經驗 (mathe- matical practice)。 數學的本質是什麼? 數 學的對象是什麼? 數學的真理性是什麼? 這 些問題, 對一位正在工作中的數學家而言, 似 乎沒有想像中那麼有意義。 在 「數學經驗」 中, Davis 和 Hersh 很清楚的描述了正在工作中 的數學家的哲學困境: 他們平時是柏拉圖主 義者, 而在週末則是形式主義者。 就是說, 當 他們在做數學工作時, 他們確信是在處理一 個客觀實體、 在力圖確定這實體的性質。 但在 這之後, 當被要求對這實體給予哲學說明時, 他們發現最容易的辦法是假裝不相信它的存 在。 工作中的數學家所 (需要) 抱持的數學哲 學觀點, 「簡單」 地令人驚訝! 數學的重要性 是無庸置疑的, 就 Polya 來說, 如何使數學 發明和發現的原理具體化, 比回答上面那些 問題更重要、 更有意義得多。
四、 Polya 的數學觀
讓我們回到最先的問題來:Polya 的數 學觀點是什麼? 他並沒有從哲學上抽象地討 論這個問題, 但他在研究解題的方法中, 注意 到了數學經常被忽略的另一個面向:
數學有兩個面向: 他一方面是歐 幾里得式的嚴格的數學, 另一方面 卻又是別的什麼東西。 歐氏方法所 表現的數學是一種系統的、 演繹的 科學; 但創造中的數學卻是實驗 的、 歸納的科學。
在歷史上, 對數學做後設討論時, 常將它視為 一種 「產品」(product), 這種最後階段的數
學所呈現出來的 「形象」 大都是靜態的、 嚴 格的且確定的。 Polya 卻以數學家及關懷數 學教育的角色, 特別關心數學理論、 概念以及 定理的創生過程。 數學成為一個動態的 「過 程」, 生動、 迷人而且不再冰冷。 他所強調的 並不是新的東西, 只是這種發明 (現) 中的數 學, 很少有人將它表現在學生、 教師或一般人 面前, 但它卻是實際數學實務中極其重要、 不 可或缺的部份。 Polya 本人對這兩個面向在 數學研究的重要性都相當肯定, 他在 「如何 解題」 及 「數學發現」 中, 都花了相當的篇幅 在討論完全 (嚴格) 證明的重要性及教學, 但 他的興趣多放在數學的直覺性和創造性這邊。
他肯定了觀察、 實驗、 歸納、 類比、 假設、 猜 測等方法在數學研究中的重要性, 強調數學 來源於實際的觀察, 不僅概念、 定理、 公式是 先由觀察資料中歸納出來的, 就連證明的方 法也是如此。 他把研究工作中對圖形、 數及式 子的觀察、 變換與計算看成是一種實驗, 還非 常強調數學研究應當從天文學、 力學、 光學、
化學以及生物學、醫學等學科中吸取營養。
Polya 的這種觀點是相當實證 (經驗) 的, 他強調的是數學家在做數學時是什麼樣 子, 他要學生去真正經歷數學創生、 完善的 過程, 透過真正的實踐來學習數學、 了解數 學。 他的思考基礎是自己長期研究的親身經 驗。 由此出發, 他一再主張認識數學的最佳途 徑是看著它誕生; 他要人 (學生) 看到數學建 構時的鷹架, 而不是單純的成品。 我們在他的 著作中裡可以很清楚地看到這個取向。 在 「數 學發現」 中對思維過程的討論就是一個相當 典型的例子, 透過整個流程的呈現, Polya 成
功地描繪了解題 (數學) 實際思考過程的全 貌。 他在討論幾何例題時, 常用幾個連續的圖 形來展現整個思考的步驟, 也是一個極佳的 例證。
筆者認為 Polya 無意介入數學哲學的 討論。 但他的工作確有相當的前瞻性。 他強調 的數學實務, 為數學的哲學性了解提供了重 要的資源。 他討論的數學發現和發展的問題, 對數學哲學的內容來說是基本的。 他認為數 學和科學有基本的相似性, 對數學哲學的討 論也有所啟發。 而對教育學上的考量, 似乎也 是數學哲學裡一個重要的主題。 Tymoczko 認為 Polya 的創新在數學哲學的發展中佔 有過渡時期的特徵, 他為擬經驗論 (quasi- empricisim) 舖了路, 卻沒有走到完成的最 後一步。 這當然是因為 Polya 並不是由於哲 學的考量才提出這樣的主張。 而且, Polya 工 作的這些啟示, 在早期並沒有受到數學哲學 家的注意。 因為在三大學派這些基礎論者的 眼裡, Polya 只是討論了數學證明的發展, 而 這個範圍是數學社會學、 數學史和數學教育 所關注的問題, 不是數學哲學感興趣的主題。
只有等到擬經驗論者 Lakatos 才使 Polya 的工作為數學哲學界所重視。 Tymoczko 在 1986年編的 「數學哲學中的新方向」 中, 就引 錄了 Polya 的兩篇文章作為基礎過渡時期的
「插曲」。 事實上, 近代數學哲學研究的一個最 大特色, 就是加入了 「數學家社群」 這個概念 的討論, 著眼於社群中的數學理論。 而 Polya 無疑是這方向考慮的先驅。 雖然他是以個人 的經驗出發, 但他把數學家真正 「做數學」 的 情境帶入討論, 在當時是唯一的例外。 前面曾
經提及數學家回答及真正在做數學時所抱持 的數學觀是不一致的, 這是一件很奇怪的現 象。 數學哲學的任務應是闡明數學家們正在 做什麼, 亦即研究人員、 教師和使用數學者, 對他們所從事工作的哲學見解。 Polya 的工 作, 無疑是踏出了消解這種分歧的重要一步。
Polya的重要承繼者是數 (科) 學哲學家 Lakatos, 他在 「數學方法論」 上的工作, 除了 是把 K. Popper 的證偽主義用在數學哲學的 討論上之外, 他所研究的主題及內容, 實際上 正是 Polya 工作哲學意涵的延伸。 Lakatos 所謂的 「數學發現的邏輯」, 即證明與反駁的 邏輯。 在數 (科) 學研究的過程中, 發現與確 證常是密切相關、 相互滲透的。 Popper 從 邏輯的角度探討科學方法論, 區分發明及確 證兩個部份, 並言科學發現的邏輯探討的是
「確證」 這個脈絡的東西。 雖然他以 「證偽」
的方法來替代 「證實」, 但仍屬於邏輯實證論 的基本觀點。 不過 Popper 一方面斷言並不 存在發現的邏輯; 另一方面他所倡導的“猜想 與反駁”的方法卻可視為一種發現的 「邏輯」。
Lakatos意識到了 Popper 這個困境, 認為只 要採取 Polya 在數學方法論上的基本立場即 可擺脫這個困境, 也就是說: 儘管並不存在 可以用以解決一切問題的萬能方法或絕對可 靠的方法, 但仍然存在有數 (科) 學發現的邏 輯, 而這就是 Polya 所謂的 「數學啟發法」。
我們在這裡不詳細的介紹 Lakatos 的 研究, 只是指出: Polya的啟發法為 Lakatos 提供了適當的基點, 而且他對合情 (啟發) 推 理的研究, 也對 Lakatos 有相當的啟發。 事 實上, 正是 Polya 的工作清楚的表現了數學
發現並非僅僅屬於心理學的範圍, 而是一個 可以進行理性分析的領域。 如 Polya 在 「數 學發現」 中利用邏輯的形式來表示合情推理 的類型, 精彩的呈現出 「非形式」 範疇中的規 則來。 Lakatos 討論的, 正是非形式數學的過 程, 而向數學形式主義挑戰。 非形式、 擬經驗 的數學的生長, 靠的不是單純地去增加無可 懷疑的定理的數目, 而是依靠思辨和批判、 依 靠證明和反駁的邏輯不斷地去改進 「猜想」。
正是這樣的過程中, 理性才得以展現出來。
五、 結語
Polya 的工作對數學哲學的影響, 是殆 無疑義的。 前面已經提過, 他在基礎爭論的時 期開始他的工作, 算是當時潮流下的一個特 例, 他的工作中清楚的表示出數學的發現並 非僅僅屬於心理學的範疇, 而是一個可以進 行理性分析的的領域。 在“期待一種萬能方法 可以有效的從事發明創造, 或成功的解決一 切問題” 及“根本不存在任何真正意義的發現 的方法”這兩種極端想法之間, Polya的工作, 更顯現出它所蘊含的重要性。 對 Polya 而 言, 數學方法論和數學教育學是糾纏在一起 的。 他認為要給學生的是對數學專業的感覺, 他們對數學的經驗應該和數學家做數學的方 法一致。 數學哲學家現在已漸接受 Polya 對 數學的觀點: 數學作為一種實務, 學習數學和 做數學的經驗界定數學哲學的主題。 實際上, 這點思考上的啟迪, 正是 Polya 對數學哲學 界最大的貢獻。
註一: 所謂的 Descartes 模式, 指的是 他在 「法則」 中所提出解題的通用方法。 簡單
而言, 分為三個步驟。 第一, 將任何種類的問 題化歸為數學問題; 第二, 將將任何種類的數 學問題化歸為代數問題; 第三, 將任何代數問 題化歸為單個方程的求解。
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36. Polya, G. 1990a, 「Mathematics and Plausible Reasoning Vol.1」, Princetion:
Princetion University Press.
37. Polya, G. 1990b, 「Mathematics and Plausible Reasoning Vol.2」, Princetion:
Princetion University Press.
—本文作者任教於竹北高中—
