談「聯考試題」與「數學教育」

(1)

談「聯考試題」與「數學教育」

羅添壽

炎夏已至, 捎來了考季的訊息, 多少莘莘學子秉著「萬般皆下品, 唯有讀書高」的心志, 手不釋卷, 不眠不休的苦讀, 只為了七月考場中贏得勝仗, 踏上嚮往中的學府。然今聯考成績已揭曉, 數學科分數還是偏低, 這種成果是聯考試題有問題, 還是數學教育出了毛病呢?

今筆者先從數學試題談起

一 . 試題方面

(A) 自然組

1. 試題分佈尚合理, 理科數學共考 40 分, 杜絕學生投機取巧的心態。

由於 84 年聯考理科數學僅考 15 分, 造成今年考生專攻基礎數學, 其實今年理科數學考 40 分, 命題合理容易得分, 不投機的學生可考高分。

試題各冊配分如下:

冊別一二三四理科

₍

上

₎

理科

₍

下

₎

配分

₈ _{20 12 20} ₃₅ ₅

(

註

₎

計算題二題利用數學歸納法證明棣美弗定理

_,

內容安排在第一冊第

₂

章

_,

但要利用三角函數與複數解題

_,

故歸納為第二冊。

2. 命題靈活, 試題不但一題多解而且綜合各章節, 能測出學生的程度。 (以下為一題多解之試題, 提供給讀者參考)

題目:適當選數對 (h, k) 可使拋物線 y = x

²

+ hx + h − k

²

與 x 軸相切或無交點。

設 D 為所有此種數對 (h, k) 在平面上所對應的點所構成的區域。試問

(1) 區域 D 的邊界是何種圖形?

(A) 圓 (B) 橢圓 (C) 拋物線 (D) 雙曲線 (E) 兩條直線

(2) 在區域 D 中, 使得 2h − 3k 之值最大的點坐標 (h, k) 為何?

(A) (

² ₅

, −

³ 5

) (B) (2, 1)

(C) (

¹⁸ ₅

, −

³ ₅

) (D) (2, −1) (E) (0, −4) (3) 2h − 3k 在區域 D 上的最大值為何?

(A) 1 (B) 9 (C) 7 (D)

¹³ ₅

(E) 12 (4) 2h − 3k 在區域 D 上的最小值為何?

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) −1 (E) −2 解: (1) 依題意得 ∀x ∈ R,

∵

y = x

²

+ hx + (h − k

²

) ≥0 恆成立

∴

∆ = h

²

− 4(h − k

²

) ≤ 0

∴

h

²

− 4h + 4 + 4k

²

≤ 4

∴

D :

^(h−2) ₂

2 ² +

^k ₁

²2 ≤ 1 表一橢圓及其內部

∴

D 的邊界表一橢圓

77

(2)

... . ...y = 0

. . . . .. . . .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .

... . . . . . .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .

. y = x

²

+hx+h−k

²

(2) 令 Γ :

^(h−2) ₂

2 ²+

^k ₁

2² = 1, 其中 (h, k) ∈ Γ

... ...

.. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. ... .. .. . .. .. .. . .. .

x y

.. ...

... .

.. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .

0

k = 0 (2,1)

(2, −1) h = 2

(h, k) (4,0)

.. . . . . . .. . ...

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . . .. . .. . .. .. . . . .. . .. .. . .. . . . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. ..

取

( h = 2 + 2 cos θ

k = sin θ, , θ ∈ R

∴

2h − 3k = 2(2 + 2 cos θ − 3 sin θ)

= 4 + 4 cos θ − 3 sin θ

= 4 + 5(4

5cos θ − 3 5sin θ)

= 4 + 5 cos(θ + φ)

其中

( cos φ =

⁴ ₅

sin φ =

³ ₅

(i) 當 cos(θ + φ) = 1 時,

取 θ = 2kπ − φ, k ∈ Z

得

(cos θ = cos(2kπ−φ)=cos φ=

⁴ ₅

sin θ = sin(2kπ−φ)=− sin φ=−

³ 5

∴

(h = 2 + 2 ×

⁴ ₅

=

¹⁸ ₅

k = −

³ ₅

∴

當 (h, k) = (

¹⁸ ₅

, −

³ ₅

) 時得最大值為

4 + 5 × 1 = 9

(ii) 當 cos(θ + φ) = −1 時得最小值為 4 + 5 × (−1) = −1

∴

選 (1)B (2)C (3)B (4)D 另解: (利用判別式法求解)

. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . ..

... ...

(2,0)

... .

...

t = 2h−3k

令 t = 2h − 3k ⇒ k =

^2h−t ₃

代入 h

²

− 4h + 4k

²

= 0 中

得 h

²

− 4h + 4 ×

^4h

²

^−4ht+t ₉

² = 0

∴

9h

²

− 36h + 16h

²

− 16ht + 4t

²

= 0

∴

25h

²

−4(4t+9)h+4t

²

= 0

∵

h ∈ R

^∴

判別式

D = 16(4t+9)

²

−16 × 25t

²

≥0

∴

t

²

− 8t − 9 ≤ 0

∴

(t−9)(t+1) ≤ 0,

^∴

−1 ≤ t ≤ 9

∴

2h − 3k 之最大值為 9, 最小值為 −1。

當 t = 9 代入

25h

²

− 4(4t + 9)h + 4t

²

= 0 中得 25h

²

− 180h + 324 = 0

∴

(5h − 18)

²

= 0

^∴

h =

¹⁸ ₅

代入 2h − 3k = 9 中得 k = −

³ 5

∴

最大值的點為 (

¹⁸ ₅

, −

³ ₅

) 另解:(此題亦可以用柯西不等式求解)

(3)

∵ ^(h−2)

2

² +

^k ₁

²2 = 1

∴

[(

^h ⁻² ₂

)+k

²

] · [4

²

+(−3)

²

]

≥[2(h−2)−3k]

²

⇒ 1 × 25 ≥ (2h − 3k − 4)

²

⇒ −5 ≤ 2h − 3k − 4 ≤ 5

∴

−1 ≤ 2h − 3k ≤ 9

∴

最大值為 9, 此時

^h ⁻² ₈

=

₋₃ ^k

且 2h − 3k = 9, 解得

(h, k) = (

¹⁸ ₅

, −

³ ₅

)。最小值為 −1。

題目:設 △ABC 的三邊長為 AB = 8, BC = 2√

13, CA = 4, 且 H 為 △ABC 的垂心, 若 −−→

AH = x−→

AB + y−→

AC, 則數對 (x, y) =

解:(1) 如圖 △ABE 與 △BCE 中

... .

.

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . ...

. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . . .. .. .

. ...

...

H A

B C

D E F

4 8

2 √ 13

. ...

. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . .

7

.

4

. ...

.. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

7 2

BE

²

= 8

²

−AE

²

= (2√

13)

²

−(4−AE)

²

∴

64 − AE

²

= 52 − 16 + 8AE − AE

²

∴

AE =

⁷ ₂ ^∴

AE : AC =

⁷ ₂

: 4 = 7 : 8 又 △ACF 與 △BCF 中

CF

²

= 4

²

−AF

²

= (2√

13)

²

−(8−AF )

²

∴

16−AF

²

= 52−64+16AF −AF

²

∴

AF =

⁷ ₄ ^∴

AF : AB =

⁷ ₄

: 8 = 7 : 32 (2)

^∵

−−→AH = x−→AB+y−→

AC = x ·

³² 7

−→AF+y−→AC

∵

F, H, C 共線

^∴ ³² ₇

x+y = 1

∴

32x + 7y = 7 ...1

又 −AH = x−→ −→AB + y−→AC = x−→

AB + y ×

8 7

−

→E

^∵

B, H, E 共線,

∴

x+

⁸ ₇

y = 1

^∴

7x+8y = 7 ...2 由 1, 2 得 x =

₂₀₇ ⁷

, y =

¹⁷⁵ ₂₀₇ ^∴

數對 (x, y) = (

₂₀₇ ⁷

,

¹⁷⁵ ₂₀₇

)

另解: (1) 先證明 −→

AB ·−→AC =−−→

AH ·−→AB =

−−→AH ·−→AC 成立

... .

. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . ...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .

...

H A

B C

D E F

4 8

2 √ 13

∵

−→

AB ·−→

AC = (−−→

AH +−−→

HB) ·−→

AC

=−−→

AH ·−→AC +−−→

HB ·−→AC

=−−→

AH ·−→AC + 0

=−−→

AH ·−→

AC (

^∵

H 為垂心

^∴

−−→

HB ·−→AC = 0) 同理 −→AB ·−→AC =−−→

AH ·−→AB

∴

−→

AB ·−→AC =−−→

AH ·−→AB =−−→

AH ·−→AC (2)

^∵

−→

AB ·−→AC

= |−→

AB| · |−→

AC| cos A

= |−→

AB| · |−→

AC| ·

^| ^−→ ^AB ^|

²

_2| ^+| ^−→ _AB ^−→ ^AC _|·| ^| ^−→ _AC

²

^−| _| ^−−→ ^BC ^|

²

=

¹ ₂

(8

²

+ 4

²

− (2√

13)

²

) = 14

∴

−→

AB ·−→

AC =−−→

AH ·−→

AB

=−−→

AH ·−→AC = 14

(3)

^∵

−−→AH = x−→AB + y−→AC,

^∴

−−→

AH ·−→AB = x|−→

AB|

²

+ y−→

AC ·−→AB

(4)

∴

14 = 64x + 14y

∴

32x + 7y = 7...1 同理 −−→

AH ·−→AC = x−→

AB ·−→

AC+y|−→

AC|

²

,

∴

14 = 14x + 16y

∴

7x + 8y = 7...2 由 1, 2 得 x =

₂₀₇ ⁷

, y =

¹⁷⁵ ₂₀₇

題目:設拋物線 y = ax

²

+ bx + c 與直線 7x − y − 8 = 0 相切於點 (2, 6), 而且與直線 x − y + 1 = 0 相切, 試求 a, b, c 之值解:(1) 令 Γ : f (x) = ax

²

+ bx + c

∴

f

^′

(x) = 2ax + b

^∴

f

^′

(2) = 4a + b 又 7x − y − 8 = 0 之斜率為 7

∴

m = f

^′

(2)

∴

4a + b = 7 ...1 (2)

^∵

(2,6) 在 Γ 上

∴

4a + 2b + c = 6 ...2 (3)

( y = x + 1

y = ax

²

+ bx + c

⇒ ax

²

+(b−1)x+(c−1)=0 有重根

∴

∆ = (b−1)

²

−4a(c−1)=0 ...3 由 2 式−1 式得 b + c = −1

^∴

c =

−1 − b 又 b = 7 − 4a。

∴

c = −1 − 7 + 4a = −8 + 4a 代入 3 得 (6 − 4a)

²

− 4a(4a − 9) = 0

∴

−48a + 16a

²

− 16a

²

+ 36a = 0

∴

a = 3, b = −5, c = 4 另解: 令 Γ : y = ax

²

+ bx + c

(1) (2,6) 在 Γ 上,

^∴

4a + 2b + c = 6 ...1 (2) 將 y = 7x − 8 代入 Γ 得

7x − 8 = ax

²

+ bx + c

⇒ ax

²

+(b−7)x+(c+8)=0

∵

有重根

∴

判別式 (b−7)

²

−4a(c+8)=0 ...2 (3) 將 y = x + 1 代入 Γ 得

x + 1 = ax

²

+ bx + c

⇒ ax

²

+ (b − 1)x + (c − 1) = 0

∵

有重根

∴

判別式

(b − 1)

²

− 4a(c − 1) = 0...3 由 2 式−3式得 b = 4 − 3a ...4 將 4 代入 1 得 c = 2a − 2...5 4, 5 代入 3 得 a

²

− 6a + 9 = 0

∴

a = 3 代入 4, 5 得 b = −5, c = 4

∴

a = 3, b = −5, c = 4

題目: 設函數 f (x) 為一可微分函數, P 為 y = f (x) 圖形上距離原點 O 最近的一點, (1) 若 P 點的坐標為 (a, f (a)), 試證 a + f (a) · f

^′

(a) = 0

(2) 若 y = f (x) 之圖形不通過原點, 試利用第 (1) 小題之結果, 證明直線 OP 為 y = f (x) 之圖形上過 P 之法線

證: 如圖 OP

²

= a

²

+ (f (a))

²

,

... ...

.. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. ... . .. .. . .. . .. .. ..

... ..

..

... . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. ...

. .. ... . . . . .

y

x y = f (x)

O(0, 0) L

P (a, f (a))

令 g(a) = a

²

+ (f (a))

²

⇒ g

^′

(a) = 2a + 2f (a) · f

^′

(a)

(5)

(1)

^∵

OP 為最小,

^∴

OP

²

亦為最小,

∴

g

^′

(a) = 0

^∴

2a + 2f (a) · f

^′

(a) = 0

∴

a + f (a) · f

^′

(a) = 0 成立。

...

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . . . .. . .. .. .. ... . .. . .. .. .. . .. ..

..

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O x

y

y = f (x) p(a, f (a))

(2) (i) 當 a = 0 時, f (a) 6= 0, 則 ←OP 之斜率不存在,→ 又過 P 之切線斜率為 f

^′

(a) 且 a + f (a) · f

^′

(a) = 0,

由 a = 0, f (a) 6= 0 得 f

^′

(a) = 0

∴

←→OP 是過 P 之切線的法線。

(ii) 當 a 6= 0 時,

∵

m

OP

=

^f ^(a)−0 _a ₋₀

=

^f(a) _a

且 a + f (a) · f

^′

(a) = 0,

∴ ^f ^(a)

a

· f

^′

(a) =

^−a _a

= −1,

∴

←→OP 與過 P 之切線互相垂直,

∴

←→OP 是過 P 之切線的法線。

誤解:(1) 設 P (a, f (a)) 為 y = f (x) 圖形上一點, 且過 P 之切線為 L, 其切線斜率為 f

^′

(a)

(i) 若 a 6= 0, 則

^∵

P 距離原點 O 最近

∴

m

op

· m

^L

= −1

∴ ^f ^(a)−0

a −0

· f

^′

(a) = −1

∴

f (a) · f

^′

(a) = −a

∴

a + f (a) · f

^′

(a) = 0 (ii) 若 a = 0 則 f (a) 6= 0, 且 ←op 為鉛直線,→

^∴

L 為水平線

∴

f

^′

(a) = 0

^∴

a + f (a) · f

^′

(a) = 0 註:此種解法為一些考生之解法, 因此題不可用 (2) 來證明 (1)。

另解: (2) 過 P (a, f (a)) 之切線方程式為 L : y − f(a) = f

^′

(a)(x − a)

令 x = 0 得 y = (−a) · f

^′

(a) + f (a)

... ...

.. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. . .. .. .

..

... .

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . .. .. . .. ..

...

. .. .. . . .. . ...

y

x y = f (x)

O(0, 0) L

P (a, f (a)) Q (0, (−a) · f ^′ (a)+f (a))

(i) 當 a = 0 時, y = f (a) 6= 0 此時 P 點落在 y 軸上,

又 a + f (a) · f

^′

(a) = 0

∴

f

^′

(a) = 0, 切線為水平線,

∴

←→

OP ⊥ 切線 L,

∴

←→OP 是切線的法線。

(ii) 當 a 6= 0 時, 得 Q(0, (−a)f

^′

(a) + f (a))

(6)

∴

OQ = |(−a) · f

^′

(a) + f (a)|

∵

OP

²

+ P Q

²

= a

²

+ (f (a))

²

+ a

²

+ a

²

· (f

^′

(a))

²

= 2a

²

+ (f (a))

²

+ a

²

· (f

^′

(a))

²

∴

OQ

²

− (OP

²

+ P Q

²

)

= a

²

(f

^′

(a))

²

−2af

^′

(a) · f

^′

(a)+(f (a))

²

−2a

²

− (f(a))

²

− a

²

(f

^′

(a))

²

= −2a

²

− 2af(a)f

^′

(a)

= −2a(a + f(a) · f

^′

(a))

= (−2a) · 0 = 0

∴

△OP Q 為直角三角形,

^∴

←→

OP ⊥ L

∴

←→OP 為圖形上過 P 之法線另解: (2) (證明法線通過原點)

∵

圖形上過 P (a, f (a)) 之切線斜率為 f

^′

(a) (i) 若 a = 0, 則 f (a) 6= 0

∵

a + f (a) · f

^′

(a) = 0

^∴

f

^′

(a) = 0, 且 P 在 y 軸上,

^∴

法線過原點,

∴

←→OP 切線過 P 之法線 (ii) 若 a 6= 0, 則

∵

a + f (a) · f

^′

(a) = 0 成立,

∴

f

^′

(a) 6= 0,

∴

過 P 之法線方程式為 y − f(a) = −

f

^′

¹ (a)

(x − a)

∴

y − f(a) + 1

f

^′

(a)(x − a) = 0 將 (0,0) 代入上式得

−f(a) + −a

f

^′

(a) = −f(a) · f

^′

(a) − a f

^′

(a) = 0

∴

原點在法線上

∴

OP 為切線過 P 之法線。

(B) 社會組

1. 試題分佈均勻中稍重第三冊, 然為漂亮配分

試題各冊配分如下:

冊別一二三四

配分 20.4 19.2 38.4 22

註:試題雖偏重第三冊然皆為綜合性試題, 包括各章節。

2. 試題安排欠妥當, 影響學生解題情緒。

題目:研究十位學生某次段考甲、乙兩學科測驗成績的相關性, 設其相關係數為 r,

若 r = 1 表完全正相關, r = −1 表完全負相關 0.7 ≤ |r| < 1 表高度相關, 0.3 ≤ |r| < 0.7 表中度相關 0 < |r| < 0.3 表低度相關, r = 0 表零相關。

已知此十位學生的成績如下:

學生代號

A B C D E F G H I J

總計甲科測驗

3 4 8 9 5 6 7 7 6 5 60

乙科測驗

9 8 5 6 7 6 5 7 8 9 70

則此次甲、乙兩科學科測驗成績之相關程度為

(A) 高度相關 (B) 中度相關 (C) 低度相關 (D) 完全正相關 (E) 完全負相關

(7)

註:此題不宜安排在選擇題第一題, 學生在患得患失心情未平靜的環境下, 又要製表, 又怕公式背錯, 結果不錯誤才怪, 希望以後命題教授能注意改進。

3. 試題命題經精心設計, 然對社會組學生是叫好不叫座。

今年社會組試題有創造性, 夠水準, 幾乎每一題皆需熟練的數學知識, 敏捷的思考能力與快準的計算, 才能善盡其功, 否則一籌莫展, 今將容易錯誤的試題, 提出探討;

題目:設平面 x + y + z = 1 與球面 x

²

+ y

²

+ z

²

= 4 相交部分為圓 S, 已知平面 2x + 2y + z = 1 與圓 S 交於 P, Q 兩點, 則 P Q 之長為。

解:(1) 設圓心 H(a, b, c), 則 −−→OH//−→

N 其中 −→

N = (1, 1, 1),

∴

−−→OH = t−→

N , t ∈ R,

∴

(a − 1, b − 1, c − 1) = t(1, 1, 1),

∴











a − 1 = t b − 1 = t c − 1 = t

∴











a = 1 + t b = 1 + t c = 1 + t

∵

H 在平面上

∴

(1+t)+(1+t)+(1+t) = 1

^∴

t = −

² ₃

∴

H(

¹ ₃

,

¹ ₃

,

¹ ₃

)

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. ...

... ... .

. . . . . . . . .

... . . . . . . .. . ..

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .

... .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. ... .. .. . .. .. .. . .. .

O(0, 0, 0)

1

√3

H(

¹₃

,

¹3

,

¹3

) A

2 −

→ N = (1, 1, 1)

x +y +z −1 = 0

.. .. . . .. . .. . .. . .. . . . . .. . . .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. .. . .. . .. . .. ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

其中 OH =q

(

¹ ₃

)

²

+ (

¹ ₃

)

²

+ (

¹ ₃

)

²

=q

1 3

=

^√ ¹ ₃

又 OA = 2, AH = q

4 −

¹ 3

= q

11

3

= HP (如下圖)

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ...

... ... .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

H(

¹3

,

¹3

,

¹3

)

√6 3

q

11 3

R (t, −t, 1)

P Q

(2)

←→ P Q :

(

x + y + z = 1...1 2x + 2y + z = 1...2

2

式

₋₁

式得

x + y = 0

代入

1

得

z = 1

∴

8

>

<

>

:

x = t y = −t z = 1

∴ R (t, −t, 1)

∴ _HR =

q

(t−

¹3

)

²

+(−t−

¹3

)

²

+(1−

¹3

)

²

=

q

2t

²

+

⁶₉

≥

√6

3

∴ P Q= 2P R = 2

r

(

q

11

3

)

²

−(

^√63

)

²

= 2

q

11

3

−

²3

= 2 √

3

另解:(以下為誤解)

(8)

. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . ...

... ...

... . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . . ...

. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

2x + 2y + z − 1 = −0 H(

¹3

,

¹3

,

¹3

)

q

11 3

P M Q

2 9 .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . .

∵

HM =|

² ₃

+

² ₃

+

¹ ₃

−1|

3 =2

9

(錯誤, 因 HM ⊥ 平面, 2x+2y+z−−1 =0 但 M 6∈ P Q 請注意),

∴

P Q = 2MP

= 2r 11 3 − 4

81

= 2r 293 81

=2 9

√293

註:有許多考生用此法解, 這是誤解, 請改進。

題目: 下圖所示為一含有斜線的棋盤形街道圖, 今某人欲從 A 取捷徑走到 B, 共有

種走法。

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .

...

.. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .

...

.. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

... .

A

B

解:(1) 如圖 A − P − Q − B

得

^4!

2!2!

× 1 ×

^3! 2!

= 18.

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. ..

...

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

...

.. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. ..

... .

A

B P

R

Q

S

. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .

...

... .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) 如圖 A − R − S − B 得

^4!

3!

× 1 ×

^3! 2!

= 12

∴

18 + 12 = 30 種。

另解:由加法原理得共 30 種

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . ..

...

. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . ..

...

. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . ..

... .

A

B P

R

Q S

. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . ..

...

... .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 1 1 1

1

1 3 6 6

6 16 30 10 14

4 4 4

3 2

... .

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . ...

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

...

. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

...

. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .

... .

A

B P

R

Q

S

C

D

F

.

E

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

... ...

... .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

註一些考生除以上方法外再考慮 (1) A − C − B

(2) A − D − B (3) A − E − B

(4) A − F − B 然後相加, 這是錯誤,

(9)

請注意。

題目:設 f (x) 與 g(x) 為實係數多項式, 以 x

²

− 3x + 2 除 f(x) 得餘式 3x − 4, 以 x − 1 除 g(x) 得餘式 5, 且 g(2) = −3 (1) 試求以 x − 1 除 f(x) + g(x) 的餘式。

(2) 試證 f (x) · g(x) = 0 在 1 與 2 之間有實根。

解:(1) 設 f (x) = (x

²

−3x+2)q(x)+3x−4

= (x − 1)(x − 2)q(x) + 3x − 4

∴

f (1) = −1, 又 g(1) = 5,

∴

f (x) + g(x) 除以 x − 1 的餘式為 f (1) + g(1) = −1 + 5 = 4...答 (2)

^∵

g(1) = 5, g(2) = −3

∴

g(1) · g(2) = −15 < 0

∴

g(x) = 0 在 1 與 2 之間有實根

∴

f (x) · g(x) = 0 在 1 與 2 之間有實根。

註:(i) 此題亦可由

∵

f (1) = −1, f(2) = 2,

∴

f (1) · f(2) = −2 < 0

∴

f (x) · g(x) = 0 在 1 與 2 之間有實根。

(ii) f (x) · g(x) = 0 表 f(x) = 0 或 g(x) = 0 非 f (x) = 0 且 g(x) = 0。考

生可能誤解為 [f (1) · g(1)] × [f(2) · g(2)] = (−1) · 5 · 2 · (−3) = 30 > 0 而無法得證, 請注意。

二 . 建議

1. 請命題教授命題時以考慮提高學生們的學習興趣為原則。

近 10年來聯考高標平均分數自然組 46.8 分, 社會組 47.6 分, 低標平均分數自然組 31.5 分, 社會組 31.4 分。又 (84) (85) 年分數偏低, 教師在此情況下, 很難說服學生安心學習, 故請命題教授能體諒高中數學教師的苦心。以下為新教材實施後共 10 年來各組高低標分數表, 供參考。

2. 請聯招會慎重甄選試考考生

試考考生該以科為原則, 試考數學科的考生以高三應屆考生, 已甄選保送者為對象, 如此才能測出試題的合理性。

3. 請命題教授對試題的安排由淺入深普遍合理化, 尤其社會組的考題, 如此才能真正測出學生的程度。

4. 請考生安心學習, 多思考, 多演練, 一分努力, 一分收獲, 祝學習數學愉快。

近10年第一類組數學高低標分數表

年度 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 平均高標 44 32 49 70 52 48 55 50 36 40 47.6 低標 29 21 34 49 34 31 37 33 21 25 31.4

近10年第二, 三, 四類組數學高低標分數表

(10)

年度 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 平均高標 45 43 48 46 42 45 52 57 45 45 46.8 低標 32 28 33 32 26 29 33 39 31 32 31.5

—本文作者任教於台南縣新化高中—

談 「聯考試題」 與 「數學教育」