3 微分法則

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3 ^微分法則

3.2 _{函數相乘與分式的微分}

函數相乘的微分

函數相乘的微分

從加法與減法的經驗，或許我們會猜：函數相乘的微分等於 函數微分後再相乘。

不過這件事情是錯的，我們可以檢查一個簡單的例子：

令 f(x) = x 及 g(x) = x² ，直接計算得 f(x) = 1、 g(x) = 2x 但是 (fg)(x) = x³ ，微分得到 (fg)(x) = 3x² 。

因此 (fg)  fg 。

函數相乘的微分

正確的公式是由萊布尼茲所提出，一般稱為萊布尼茲法則 (Leibniz’s rule) 或乘法的微分法則 (product rule) 。

在實際介紹前，我們來看一下此法則直觀的意義：

假設 u = f(x) 與 v = g(x) 均為正可微函數。此時我們可以將 uv 視為一個矩形的面積，如下圖：

函數加上增量，相乘的示意圖

函數相乘的微分

假設 x 變化的增量為 x ，則應變量 u, v 的變化分別為

u = f(x + x) – f(x) v = g(x + x) – g(x)

相乘函數的值便是 (u + u)(v + v) ，在其值為正時，我們 剛好可以用前面圖一的矩形面積來表示。

此時矩形面積的變化即為：

(uv) = (u + u)(v + v) – uv = u v + v u + u v

= 分別為前述三塊塗色的區域面積

函數相乘的微分

除以 x ，有

令 x  0 ，依定義我們可以得到微分 (uv)’ ：

函數相乘的微分

我們得到下式：

(注意到由於 f 為連續，因此增量 u  0 當 x  0。)

另外雖然我們是從矩形面積開始考慮，但不管 u, v 或者他們 的增量符號為何，這個代數運算都是正確的。

函數相乘的微分

於是對任意可微的函數 f, g ，我們有對 fg 的乘法微分法則：

對兩個函數 fg 相乘微分，即先對 f 微分乘上 g 加上 f 乘上 g 的微分。

乘法微分法則 給定 f, g 可微函數，則

範例一

(a) 給定 f(x) = xe^x ，求 f(x).

(b) 求 n 階導數 f⁽ⁿ⁾(x).

解:

(a) 利用微分法則，我們可以直接計算：

範例一 / 解

(b) 先算二階導數，再利用一次乘法微分法則：

cont’d

範例一 / 解

繼續算下去….

f(x) = (x + 3)ex f⁽⁴⁾(x) = (x + 4)e^x

看起來我們似乎可以推得某種規律，也就是每次微分會多出 一個 e^x ，因此

f⁽ⁿ⁾(x) = (x + n)e^x

cont’d

函數分式的微分

分式的微分

與函數乘積的微分相同，我們可以推導函數分式的微分法則 如下：定義應變數 u,v 分別代表可微函數 u = f(x) 以及 v = g(x) 。

假設 x, u, v 的變化增量分別為 x, u 以及 v ，則此時分式 uv 所對應的變化為

分式的微分

因此

當 x  0 ，因為 g 為連續函數，有 v  0 ，分別分開取 極限，由於個別極限均存在，因此有

分式的微分

最後我們寫成一個定理，分式 f/g 的微分即為，f 微分乘上 g 減去 f 乘上 g 的微分，在共同除去 g 的平方：

分式微分法則 給定 f, g 為可微函數，則

範例四

假設 則我們可以計算 y 的微分：

基本的微分法則

以上是目前為止我們所推得的微分公式表。

微分公式表