試算表 也可用來學微積分
陳俊生
一. 引言
回應本刊八十三年九月份 (十八卷三期) 楊維哲教授的呼籲「大學微積分的教學, 應從 三向 (Rule of Three): 圖像、 數值、 解析 的全方位來進行」, 筆者甚有同感。 筆者在此 願嚐試當為一個 「黑手 」, 以今日電腦上最方 便 (User Friendly) 的應用軟體 (不需程式 語言), 完全用數學觀念就可以著手進行數值 演算與繪製圖像的試算表 (Spread Sheets), 來達成此一有義意的工作。
在國內首創將試算表用在數學上者, 非 清華大學的全任重教授莫屬, 目前筆者不僅 用在微積分更頻頻應用在數值方法的教學上, 甚覺方便及實用, 在此嚐試以微積分導函數 的概念及其應用為例; 設計三向教學的範例 向讀者先進討教。
二. 導函數例子
(一) 目 的:
幫助學生
1. 建立差商及差商極限的觀念。
2. 理解導函數的意義。
3. 分析比較函數與其導函數間的關係。
4. 了解導函數能夠分析原函數行為的功能。
(二) 理 論:
1. 函數 f 在 x 點及 x 點的近傍 x + h 的 相關式子
f(x + h) − f (x) h
謂之 f 在 x 點的差商。
2. 函數 f 在 x 點的導函數 f′(x) 定義為差 商的極限
f′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f (x) h
3. 函數 f 在 x 點的導函數存在, 則謂函數 f 在 x 點可微分。
4. 函數 f 在其定義域裡每一點均可微分, 則謂 f 是為可微分函數。
三. 實驗設計:
(A)
導函數是差商的極限
:1. 首先將所給的函數以等間距 x 點表列成 表列式函數 ∀x → f (x)。
2. 依觀察點設定實驗區間 [A0, An] 及間距
∆x = An−An 0 大小。
3. 另外將近傍之大小也設定成可控制之變 數 h; 以便控制觀察變因。
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4. 在實驗區間內的每一 x 點建立函數及其 差商的對應關係:
∀x → f(x) → f(x + h) − f (x) h
5. 另外、 將函數的微分式子亦列表成表列式 函數, 以便與差商極限的逼近值做比較。
6. 控制並逼近 h 值趨近零, 以觀察比較函數 差商的變化與其微分式間的誤差關係 (逼 近程度)。
(B) 導函數可分析原函數的行為:
1. 繪製函數 f 及其導函數 f′ 的對應圖形, 並分析比較兩者間的變化行為。
2. 縮小 x 的間距大小, 進一步微觀各點近 傍的函數與導函數關係。
3. 變換實驗區間左端值 A0 以遍歷定義域 各子區間的函數與導函數關係。
四. 實驗布局: 在 LOTUS 1-2- 3 之試算表上
[註: 本文將用及如下幾則 Lotus 1-2-3 軟體上的術語]
工作底稿、 圖形幕、 儲存格、A 欄、 位址、
複寫、Graph Type、 X 坐標範圍、 A 圖坐標 範圍、 巨集鍵、 功能鍵; 詞意說明請參閱文後 附註。
(A) 導函數是差商的極限:
(A.1) 工作底稿 (參閱表 A1)
1. G 欄規劃為定義域; 儲存格 G1: 標記為 x。
2. I 欄規劃為 x之近傍; 儲存格 I1: 標記為 x+ h。
3. H 欄為函數 f 之值 (形式公式); 儲存格 H1: 標記為 f (x)。
4. E 欄為對應差商值; 儲存格 E1: 標記為 D.Q。
5. F 欄為式的值 (形式公式); 儲存格 F1:
標記為 f′(x)。
6. A 欄為實驗變數;
A1: 數值 A0; 定義域上實驗區域 [A0, An] 的左端值,
A2: 數值 ∆x ; x的間距大小,
A3: 數值 h; 依實驗之進行可從 0.1 逐漸 逼近於零, 如 0.01、0.001、...、0.00000001 等。
7. B 欄做為 A 欄各值的標記; B1:『:A0』、
B2:『:Step』、 B3:『:h』 。
8. 儲存格 G2: 直接用位址 A1 引入實驗區 域左端值 。
9. 儲存格 G3: 以 G2 為啟始點加上間距計 算下一 x 點的公式 (+G2+$A$2)。
10. G4..G60 : 複寫自 G3 的步進 x 點計算 公式到整個觀察區間。
11. 儲存格 H2: 用位址 G2為其 x 值鍵入對 應函數形式公式。
12. H3..H60 : 複寫自 H2 的函數形式公式, 建立實驗區域的值域。
13. 儲存格 I2: 用位址 G2 為其 x 值 加上近傍 h 值, 建立近傍形式公式 (+G2+$A$3 ), 並複寫至 I3..I60。
14. J2..J60 : 以 I 欄上的對應值為自變數, 代入 H 欄的函數形式公式; 即只要複寫 自 H2 至 H3..H60可得。
15. 儲存格 E2: 對應於 G 欄位上每一 x 值建立差商公式, 先在儲存格 E2 鍵入 差商公式 (J2−H2)/$A$3, 然後複寫至 E3..E60。
16. 儲存格 F2: 本欄是導函數形式公式 (為 了區別之方便, 以下將改稱為微分公式) 欄, 先在此以位址 G2 為自變數 x 建立 微分公式, 然後複寫至 F3..F60。
17. 儲存格 D2: 本欄是展示導函數與差商間 的差距, 先在儲存格 D2鍵入x 值的導函 數與差商誤差的絕對值公式 @Abs(E2
−F2) 並複寫至 D3.D60。
(A.2) 圖形幕: 直觀分析比較導函數與原函數 間的關係之用
1. 將 Graphic Type 設定為 XY 坐標形。
2. 指定 X 坐標範圍; 設定在 G 欄位的 G2..G60。
3. 指定 Y 坐標範圍; 設有兩個, 其一 (A 圖) 是原函數在 H2..H60, 另一 ( B 圖 ) 是導函數在 F2..F60。
4. 功能鍵 [F10] 內定為工作底稿與圖形幕 間變換之用。
(A.3) 巨集鍵: 簡化更新函數用
1. [Alt]+[H]: Copy 自更新函數公式之儲 存格 H2 到 H3..H60。
2. [Alt]+[F]: Copy 自更新微分公式之儲 存格 F2 到 F3..F60。
(B) 導函數可分析原函數的行為:
(B.1) 工作底稿 : 除了可刪去微分公式欄 欄位 F 欄之外, 一切同 (A.1)。
(B.2) 圖形幕 : 同 (A.2)。
(B.3) 巨集鍵 : 同 (A.3)。
五. 示範例子:
(A) 認識導函數是函數之差商的極限
例A1: 試觀察函數 f (x) = x3+ x2+ x+ 1 在範圍 [−3, 3] 內各點近傍的各逼近 值 (h = 0.1、0.01、· · ·、0.00000001) 的差商 是如何在逼近成其導函數。
實驗進行: (參閱表 A1)
1. 在工作底稿上將函數 f (x) = x3+ x2+ x+ 1 布局成表列式函數。
2. 在工作底稿上將導函數 (為區別之方便後 文將改稱為微分公式) f′(x) = 3x2 + 2x + 1 亦布局成表列式函數。
3. 取 A0 = −3; ∆x = 0.1 觀察 [−3, 2.8]
區間, 各 x 值之差商的逼近情形。
4. 首先取 h = 0.1, 按巨集鍵 [Alt]+[H];
複寫 H 欄函數公式, 再按巨集鍵 [Alt]+
[F]; 複寫 F 欄的微分公式。
5. 這時觀察 D 欄之誤差在 0.08 < Error
<0.8 之範圍內。
6. 當取 h = 0.01 時誤差變為 0.001 < Er- ror < 0.095 之範圍。
7. 當取 h = 0.001 時誤差變為 0.002 <
Error < 0.009 之範圍。
8. 當取 h = 0.001 時誤差變為 0.00940 <
0.2680 之範圍 o
9. 當繼續縮小近傍的間距 h 至 h = 10−8 則誤差範圍亦相對的縮小到 7.150 × 10−11< Error < 3.309 × 10−7。
10. 繼續取 A0 = 2.8; ∆x = 0.1 再觀察 [2.8, 8.6] 區間, 各 x 值之差商的逼近情 形。
11. 當取 h = 0.1 時誤差為 0.95 < Error
<2.69 之範圍。
12. 當取 h = 0.001 時誤差為 0.00940 <
Error < 0.2680 之範圍。
13. 當繼續縮小近傍的間距 h 至 h = 10−8 則誤差範圍亦相對縮小到 2.9 × 10−8 <
Error < 2.128 × 10−5。
14. 同樣的將區間移至右翼, 取 A0 = −8.8;
∆x = 0.1 進一步觀察 [−8.8, −3] 區間 各 x 值之差商的逼近情形。
15. 當取 h = 0.1 時誤差為 0.79 < Error
<2.53 之範圍。
16. 當取 h = 0.01 時誤差為 0.079 < Error
<0.2539 之範圍。
17. 再繼續縮小近傍的間距 h 至 h = 10−8 則誤差範圍亦相對縮小到 4.39×10−8 <
Error < 1.2875 × 10−5。
18. 綜合上述三段範圍的實驗觀察得在區間 [−8.8, 2.8] 內, 當各 x 點之近傍從 h = 0.1 縮小至 h = 10−8 時 x 點的差商 與微分公式值間的誤差也是從 0.95 <
Error< 2.65 的範圍縮小到 4.39 × 10−8 < Error < 2.128 × 10−5 的範 圍。
表 A1
A B D E F G H I
1 −3.0000 :A0 Error D.Q f′(x) x f(x) x+ h
2 0.1000 :Step 0.7900 21.2100 22.0000 −3.0000 −20.0000 −2.9 3 0.1000 :h 0.7600 19.6700 20.4300 −2.9000 −17.8790 −2.8 4 0.7300 18.1900 18.9200 −2.8000 −15.9120 −2.7 5 0.7000 16.7700 17.4700 −2.7000 −14.0930 −2.6 6 0.6700 15.4100 16.0800 −2.6000 −12.4160 −2.5 7 0.6400 14.1100 14.7500 −2.5000 −10.8750 −2.4 8 0.6100 12.8700 13.4800 −2.4000 −9.4640 −2.3 9 0.5800 11.6900 12.2700 −2.3000 −8.1770 −2.2 10 0.5500 10.5700 11.1200 −2.2000 −7.0080 −2.1 11 0.5200 9.5100 10.0300 −2.1000 −5.9510 −2.0 12 0.4900 8.5100 9.0000 −2.0000 −5.0000 −1.9 13 0.4600 7.5700 8.0300 −1.9000 −4.1490 −1.8 14 0.4300 6.6900 7.1200 −1.8000 −3.3920 −1.7 15 0.4000 5.8700 6.2700 −1.7000 −2.7230 −1.6 16 0.3700 5.1100 5.4800 −1.6000 −2.1360 −1.5 17 0.3400 4.4100 4.7500 −1.5000 −1.6250 −1.4 18 0.3100 3.7700 4.0800 −1.4000 −1.1840 −1.3 19 0.2800 3.1900 3.4700 −1.3000 −0.8070 −1.2 20 0.2500 2.6700 2.9200 −1.2000 −0.4880 −1.1
圖 A2
例 A2: 試觀察函數 f (x) = esin x+cos x
−πx2+ 1 在範圍 [−π, π] 內各 x 近傍的各 逼近值 (h = 0.1、0.01、. . .、0.00000001) 的
差商是如何逼近成其導函數。 實驗進行: (參 閱圖 A2)
1. 取間距大小 Step=@pi/18 (∆ = 18π)。
2. 將函數 f (x) = esin x+cos x − πx2 + 1 布局成表列式函數: @exp(@Sin(G2) +@Cos(G2)) −@pi*G2ˆ2+1。
3. 亦將其函數的微分式子 f′(x) = esin x+cos x
(cos x − sin x) − 2πx 布局成 表列式函數: @exp(@Sin(G2)+@Cos(G2))
∗(@Cos(G2) −@Sin(G2))− 2 ∗@pi
∗G2。
4. 取 A0 = −π 先觀察 [−π, 0] 區間, 各 x 值之差商逼近其導函數值的情形。
5. 當近傍 h = 0.1 時差商誤差值在 0.207233 < Error < 0.328287 之範 圍內。
6. 當近傍 h = 0.01 時差商誤差值在 0.020609 < Error < 0.0315524 之範 圍內。
7. 當近傍 h = 0.001 時差商誤差值在 0.00206017 < Error < 0.00314295 之 範圍內。
8. 當近傍 h = 10−9時差商誤差值在 0.36×
10−8 <Error < 0.42861 × 10−5 之範 圍內。
9. 取 A0= 0 再觀察 [0, π] 區間上各 x 值 之差商的逼近情形 (表 1-2)。
10. 當近傍 h = 0.1 時差商誤差值在 0.205665 < Error < 0.602379 之範 圍內。
11. 當近傍 h = 0.01 時差商誤差值在 0.0209038 < Error < 0.0599666 之 範圍內。
12. 當近傍 h = 0.001 時差商誤差值在 0.002060023 < Error < 0.00599284 之範圍內。
13. 當近傍 h = 10−9 時差商誤差值在 0.9 × 10−9 <Error < 0.32857 × 10−5 之範 圍內。
14. 綜 合 上 述 二 段 的 實 驗 觀 察 得 在 區 間 [−π, π] 內, 當各 x 之近傍從 h = 0.1 縮小至 h = 10−9 時 x 點的函數 差商與其微分公式的實際值間誤差也從 0.207233 <Error< 0.602379 的範圍縮 小到 0.36 × 10−8<Error< 0.42861 × 10−5 的範圍。
(B) 理解導函數可分析原函數之行為
例B1: 試觀察函數 f (x) = x2+ x + 1 在範圍 [−3, −3] 內, 各 x 點所對應函數與 導數間行為的相應變化關係。
實驗進行: (參閱圖 B1)
圖 B1
1. 在 A1實驗布局中刪除或忽視本實驗不用 的欄位; D 誤差及 F 微分公式欄。 若重 新布局則先設定觀察區間 x 值範圍; 即 設定 A0 及 ∆x 值, 並表列函數 f (x) 及 其差商在工作底稿上即可。
2. 設定近傍 h = 0.000001 則依前例 A1 所做的實驗其導函數的誤差應會小於 0.000001。
3. 當取 A0 = −3 及 Step= 0.1 觀察並 比較工作底稿上的導函數 (E 欄) 及函數 (H欄)。
4. 在 x < −0.5; i.e [−3, −0.5] 範圍 內, 導函數值為負, 而在 x > −0.5; i.e [−0.5, 3] 範圍內, 導函數值為正。
5. 相應於上述兩區間的函數變化行為則有 在 [−3, −0.5] 範圍內, 函數值從 7 遞減 到 0.75, 但在 [−0.5, 3] 範圍內, 函數值 從 0.75 遞增到 13。
6. 也就是, 在點 x = −0.5 對函數及導函數 恰好都是分水嶺, 對函數而言, 這一點正 好是從減函數變換到增函數的變換點, 對 導函數而言, 這一點正好是從負值變換到 正值的轉換點。
7. 進一步的按一下 [F10]再看一看圖形, 顯 然的原函數是開口向上的拋物線, 最低點 正是在 x = −0.5 的地方。
8. 其次, 看一看導函數, 這是一條傾斜的直 線, 而正也是在 x = −0.5 的地方與 X 軸相交。
9. 比較函數與導函數兩者間行為變化的關 係, 發現以點 x = −0.5 為分水嶺。
在[−3, −0.5] 範圍, 函數是遞減而導函數 值則是負值, 在 [−0.5, 3] 範圍, 函數是遞 增而導函數值則是正值。
例B2: 試觀察函數 f (x) = esin x+cos x−πx2+ 1 在範圍 [−π, π] 內, 各 x 點所對應函數與 導函數間行為的相應變化關係。
實驗進行: (參閱圖 B2)
圖 B2
1. 在例 B2 的實驗布局上, 將函數 f (x) 更 改為 @exp(@Sin(E2) +@Cos(E2))
−@pi ∗E∧2 + 1 並 按 巨 集 鍵 [Alt]+[H]以完成表列式函數之布局。
2. 當取 A0= −@pi (i.e−π) 及 Step=@pi/30(i.e30π) 觀察並比較導函 數 (E 欄) 及函數 (H 欄)。
3. x 在 [π, 0.314159] 範圍內, 導函數值 是正數, 相對應的在 H 欄的原函數是從
−29.6383 遞增到 4.215617。
4. 同樣在這 x 的範圍內, 另外看到導函數 是從 19.37132 遞減到 0.289705, 所以 進一步的按功能鍵 [F10]看一看圖形, 在 這兒可以看到由於其變化率的遞減而原 函數圖形的凹性向下行為。
5. 更且, 其導函數並不若例 A1 二次錐線的 導函數是為直線, 而有點彎彎曲曲, 所以 原函數圖形雖然看起來很像拋物線, 但實 際上不是, 尤其在範圍 [−1, 0] 的區間, 導函數的遞減程度是緩慢下來, 而原函數 的陡峭也就緩和下來, 在這兒曲線似乎沒 有如拋物線的穩定爬升。
6. x 在 [0, π] 的範圍內, 導函數值則從正 數遂漸減少經點 x = 0.314159 轉變 成負數, 相對於在 H 欄的原函數是慢 慢增大跨過最大值 4.215617再慢慢減小 成零, 再一路快速遞減到 x = π 時的
−29.6383。
7. 同樣在這 x 的範圍內, 另外看到導函數 是從 2.71828遞減到零, 再繼續快速減少 到最右端時的 −20.1070。
8. 另一面, 進一步按功能鍵 [F10]看一看圖 形, 這一段範圍的導函數圖形是向右傾斜 向下是彎彎曲曲近似於直線的曲線, 這表 示導函數的遞減率是在急速減少, 所以原 函數圖形正也表現出凹性向下之行為。
例 B3: 試觀察函數 f (x) = x3 −5x − 20 在範圍 [−3, 3] 內, 各 x 點所對函數與導函 數間行為的相應變化關係。
實驗進行: (參閱圖 B3)
圖 B3
1. 同在例 B1 工作底稿的實驗布局上, 將函 數 f (x) 更改為 G2∧ 3−5∗G2−20 並 按巨集健 [Alt]+[H]以完成表列式函數 之布局。
2. 當取 A0= −3 及 Step= 0.1 的情況下, 觀察並比較工作底稿 E 及 H 兩欄的關 係。
3. x 在 [−3, −1.3] 範圍內, 導函數是正數, 相應的在 H 欄上的原函數值是從 −32 遞增到 −15.697。
4. x 在 [−1.2, 1.2] 的範圍內, 導函數是 負數, 相應的在 H 欄上的函數值是從
−15.728 遞減到 −24.272。
5. x 在 [1.3, 3] 的範圍內, 導函數是正數, 相 應的在 H 欄的函數值是從 −24.303 遞 增到 −8。
6. 另一方面, 按功能鍵 [F10]看一看圖形幕, 相同於 3◦,4◦,5◦在 [−3, −1.3] 區間, 導 函數圖形在 X 軸上方, 而原函數圖形則 是遞增, 在 [−1.2, 1.2] 區間, 導函數圖形 在 X 軸的下面, 而原函數圖形則是遞減, 在 [1.3, 3] 區間, 導函數圖形在 X 軸上 方, 而 原函數圖形則是遞增。
7. 對於導函數圖形與 X 軸有兩交點, 其一 在 x = −1.3, 另一在 x = 1.3, 這 兩點從工作底稿的函數表列上, 看到其函 數值 f (−1.3) = −15.697 較其近傍 大, 而 f (1.3) = −24.303 則較其近 傍小, 在圖形幕上的圖形也正具相同的特 徵; 點 (−1.3, −15.697) 是相對極大, 而 點 (1.3, −24.303) 則是相對極小。
8. 再看一看導函數圖形, 在 [−3, 0] 範圍 內, 導函數圖形是遞減, 相應的函數的彎 曲程度, 從左端點開始向右逐漸變小, 而 在 [0, 3] 的範圍內, 導函數圖形是遞增, 相應的函數圖形的彎曲程度, 從 Y軸的交
點開始向右逐漸變大, 而最特別的是在 Y 軸上, 導函數圖形恰是從遞減變成遞加的 變換點, 相應的函數圖形在這一點恰是凹 性向下的圖形轉變成凹性向上的圖形。
六. 實驗結果:
(A) 函數是差商的極限:
1. 這裡所舉的兩例是一般的連續函數; 其一 是多項函數, 另一是超越函數。
2. 在指定區間上各 x 點, 雖然是取間距點 而非連續, 但在 x 間的間距 ∆x 大小是 為實驗變數; 可任意變換所以並不失去連 續的一般性而可繼續追蹤。
3. 在這實驗裡各 x 點的近傍 h 雖用十分逼 法, 但這也是實驗變數, 故可選用任意的 逼近數值來趨近, 其結果一樣也不失其一 般性。
4. 在這實驗所看到現象正如理論所言 「函數 f 在 x 點的導函數恰為此點上的差商在 其近傍逼近零時的極限值」。
5. 在這實驗裡對每次的實驗變數變換均可 看到差商在於逼近其微分公式值間的誤 差逼近程度。
(B) 導函數可分析原函數的行為
1. 這裡所舉的例 B2 是同為 (A) 所舉之例 A2 是為超越函數。
2. 不論原函數是多項函數或超越函數, 從數 值表列導函數的符號變化均可以推測原 函數的增減函數關係。
3. 同樣的, 這三種函數從函數圖形上, 更清 楚的可以看出當導函數圖是在 X 軸以下 部分的區間, 原函數圖必是從左到右之遞 減曲線, 也就是減函數圖形。
4. 導函數變號的交換點, 顯然是原函數的遞 增與遞減或遞減與遞增的交接點, 所以在 圖形上所看到的這些點必定是相對極點 (Relative Extreme Point)。
5. 另外, 在例 B3 看到了導函數值是零的點 並不一定是相對極點, 這是當導函數值, 從正變零而不進入負值又變回正值時, 或 從負變零而不進入正值又變回負值的情 況, 這正是反曲點 (Inflection Point) 的 現象。
6. 同時, 在例 B3 的圖形上也看到了反曲點 的兩翼, 其曲線的凹向性恰好是相反。
七. 結論
從上述的設計例子, 以今日電腦科技, 要 達成微積分三向方式的教學, 在工具方面己 唾手可得, 所缺的應只是有心的 「黑手」。 然 而較為讓人所擔心的是目前所盛行的 CAI 方式。 這方式的設計若不小心, 那麼學生學 到的將是欠缺數學思考的速查電子解答習慣, 這對微積分三向教學並無助益。 使用的軟體 方面, 當然也可以用程式語言來設計, 但這 將花費相當的時間、 勞力及精力, 因而降低 了學習的效力。 況且數學觀念的學習, 絕大 部分可透過函數觀念獲得的, 所以電子試算 表不失為一個相當理想的輔助工具。 今日的 電子試算表在市面上不只是 LOTUS1-2-3, 其他尚有 Excel、 Symphony、 Quattro、
Karuku(日文) 等多種, 也都是非常簡單好 用。 筆者在此拋磚引玉, 配合楊教授的呼籲與 各位讀者先進, 不恥隨時降格為 「黑手」, 來 推展這一有意義之教學方法。
附註 :
工作底稿 : 一張具有橫寬 256 行, 縱長 8192 列的電子試算表。
圖形幕:可將工作底稿上的資料表成 XY 坐 標或統計圖形的電子幕。
儲存格 : 工作底稿上所規劃出來的格子, 共 有 256×8192 格, 是存放及顯示資料的單位 格子; 本文的敘述是以這格子為單位, 放入了 各變數值及公式。
A 欄 :工作底稿上的 256 行的各行是用英文 字母 A..Z、AA..IV 來表示, 所以第一行的整 行叫做 A 欄、 第二行叫 B 欄等等。
位址:各儲存格位置的形式表示法, 以各欄位 的第幾個格子來表示, 如 B 欄位的第三個格 子表之以 B3。
複寫(Copy):這是 Lotus 1-2-3 試算表所提 供之功能指令, 選用這一指令可將某一儲存 格上的公式, 依相對的變數位址複寫到指定 的儲存格範圍內。
Graph Type : Lotus 1-2-3 所提供可在圖 形幕上展現的圖形; 有統計上的折線圖、 長條 圖、 疊積圖、 圓形圖及本文所用的 XY 坐標 圖。
X 坐標範圍 :圖形幕是基於展現在工作底稿 上的資料來繒製的, 所以要求繒圖之預前工 作除指定 Graph Type 之外, 還要指定橫坐 標的資料在工作底稿上的所在範圍。
A 坐標範圍 :圖形幕上在同一 X 坐標範圍下 可指定 A、B、C、D、E、F 之六個圖形; 因此在 繒圖之預前工作, 也須指定工作底稿上縱坐 標資料之所在範圍。
巨集鍵: 使用者依自已之須要設定的按健, 在 本軟體規定使用 [Alt] 及另一個英文字母同 時並用, 這是替代一群指令的組合, 只用一次 簡單的按健就可完成; 如本文用了兩個巨集 健, 其中 [Alt]+[H]定義為將位址 H2 上的 函數公式複寫到 H3..H62 及 J2..J60 以便 更新指定範圍內的表列式原函數及近傍函數, 另一 [Alt]+[F]定義為將位址 F2上的微分公 式複寫到 F3..F62 以便更新微分式子。
功能鍵:這是鍵盤上 F1..F12 的特殊功能鍵, Lotus 1-2-3 定義 [F10] 做為工作底稿與圖 形幕間兩者變換的開關。
