對微積分教學的一些小意見
楊維哲
現代科技對於教育的衝擊, 主要來自電 腦, 照道理首當其衝的應該是大學裡的微積 分教學; 但是在台灣卻似乎沒這回事, 這倒是 很需要我們數學教職者好好思考檢討的。
我們看到, 在美國, 相當具有代表性的微 積分 (教學) 改進方案, 正由他們的國家科學 基金會支持, 以哈佛大學為中心 (連同七間學 校,) 要設計一套新微積分課程。 這套新課程 的指導原則是“三向” (Rule of Three): 任 何題材都應該從三個角度 (方向) 來教: 圖像 地, 數值地 (而不止是) 解析地, 教材的設計 要使三者得到平衡, 而且學生的學習任何觀 念, 將因而很完整。
在大學初級課 (乃至於任何階段的課 程? ), 視覺化, (圖像化,) 永遠是“理解”的一 大部份; 而一個學生若心中缺少這種圖像化, 就談不上真正的學習!
現在的教學 (與學習) 的一個很大的缺 失就在於: 學生認為微積分乃是一大堆算則, (「公式」), (連鎖規則, L’Hospital,. . .) 而學 習的要務, 就是要在腦中建立一套檢索系統, 以便 「遇到這種題型, 就代這種公式;」 這種 現象, 在全世界都普遍如此, 只是在台灣, 由 於考試升學制度的配合心理, 變得尤其嚴重,
從上初中一直到升大學, 心態上已經定型, 因 此在大學裡的學習效果就無法改善了。
數學的要務, 毫無疑問, 是在 「概念的建 立」, 所有的教師, 不論優劣, 都強調這一點, 因此這真是一個大大的諷刺! 學生們認為的 概念建構, 是一種形而上的工作, (「白手的」!
) 而不是計算數值, 點描畫圖的這種形而下的 (黑手的) 工作; 就因為如此, 他們永遠建構不 了正確有用的概念, 於是唯一的解題策略, 只 有 「建立題型庫檢索系統」 而已。
我們數學教師, 從中學的一直到大學的, 當然都有責任。 我們什麼時候 「黑手地」 來教 學? 計算函數值, 點描曲線? 即使是四十 幾年前, 微積分的教授, 面對著電機系的大一 生, 也不使用計算尺的。(教授不一定會使用計 算尺!) 而我們當然有我們的理由 (=藉口,):
概念才重要, 何況, 內容那麼多, 已經教不完 了, 黑手的例題, 講一題就耗掉一節課了!
隨著科技進步, 資源增多, 狀況改變了, 藉口不應該再繼續成立了!
電腦的普及, 可以使得從前的 「事百功 厘」 的工作, 效率提高萬倍, 因此, 「三向」 指 導原則, 絕對是行得通的。
具體地談微積分的教學, 我提出以下幾 點意見。
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數學傳播 十八卷三期 民83
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月1.函數概念的複習與整理, 是微積分課 程的第零章; 而從一開始, 就要讓學生習慣於 數值的, 以及圖形的觀點。 說得更清楚些, 要 以一些表列的數值來陳現函數, 而不是以解 析的式子, 然後表現為 (螢幕上的) 曲線。
2.學生的學習, 各科之間都有關聯, 教師 必須有這種整體性的考量, 而不是採取割裂 式的本位主義, 選擇“最方便交代”的路徑就 好了。
因此, 微積分雖然是科目的名稱, 但我 們的立場不應該那麼狹隘; 不應該說:“這是 數值分析的事”; “這是物理學的事”; “這是電 腦概論的事”. . .微積分固然是通俗名稱, 但是 最好採取“普通數學”的解釋。 只要學生, 整體 而言, 學得更有效率, 更多, 那就合乎教育的 理念了, 所以我倒是同意: 微積分的課程, 因 為講授了別的相關題材, 把“真正微積分”的 題材扣減了一些。
就因為這緣故, 我想, 在複習函數時, 多變元函數就應該補充, 加強, 因為這是最 有用而且學生通常又相當弱的題材! 而且這 是應該配合數值化, 圖像化來教的; 我馬 上連想到: 地圖上的人口密度, 以及化學裡 的2s, 2p, 3d, . . .軌域。
3.函數的觀察與思考, 例如: 限界, “截 距”, 增減變化, 以及 (最重要的!) 對稱性 (各式各樣: 奇偶性,. . .以及週期性, 都包括在 內,) 當然這也應該配合了圖像的, 以及數值 的, 兩種角度。
4.寫書來說的最方便捷徑, 不 一 定 是,(常常不是!) 學習上最方便的。 其實, 「迴 旋而升」, 反倒是比 「割成一塊一塊依序處理 乾淨」, 效果更好。
那麼, 例如極值問題, 有許多是在 pre- calculus 就該先討論!
同樣地, 錐線的切線原則 (我是說, 把 x2 用 x0X 代替, 把xy用(x0y + y0x)/2代 替, 這個處方,) 可以在微分法之前就處理,(它 本身已是微分法了!) 至於圓的切線, 反倒是 可以做為基礎。 由此再討論正餘弦之微導, 乃 至於√
a2− x
2之導微; 當然, 以 「微積分不 可避開運動學」 的觀點, 此時該配合單頻 (簡 諧) 振動來講授。
5.微積分課程的理論嚴謹性, 應該用什 麼標準?
我們以為這不是太大的困擾。
定義與定理都必須嚴謹; 但都是先有物 理的 「引起動機」 ; 然後, 對於難證的, 就略 過證明, 以說明代替證明! 容易證明的就清楚 地證明。
我想微積分課在大學裡倒是具有非常獨 特的教學上的地位: 它是數理方法的第一步;
因此, 論理學的推演, 一點都不能忽視! 我想, 自 Rolle 氏定理出發, 得到平均變化率的定 理, 這確是很容易又是絕頂重要的經驗! (不 用說, 它也有視覺圖像上的配合。)
學生會不會欣賞、 領會? 我不能保證, 但作為一個大學教授, 我卻有這點堅持。
6.依我個人的經驗, 先教 (定) 積分, 再 教微分, 大概是好主意! (並不只是由於歷史 的理由!) 這是比較容易, 比較自然, 「引入極 限概念」 的切入點。 大概在高中已有阿基米德 的拋物線求積術的介紹, 那麼就不妨介紹立 方, 更高次方單項式之定積分; 順便就複習數 學歸納法 (!), 並且介紹簡單的差和分法!
對微積分教學的一些小意見
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我已經強調了數值觀點的重要性, 因此 離散的思考本來就非提不可。
當然又可以介紹等比分割, 以及x−1的 積分。(從1 到 6—如此才可以證明它是log 2+
log 3 。)
7.最後該回到電腦與電算器的使用這個 老問題了。
(顯然這是因校而異,—而我對台大相當 失望。) 我打算從今年起, 要求學生, 上課時 最少有計算器 (含有三角函數、 對數指數函數 者)。
在電腦方面, 微積分課應該考慮三件事:
(a) 微積分題材, 在電腦上的動畫示範。
(b) 數值的習題, 由學生利用現成的軟 體做答。
(c) 一些習題甚至考試, 由學生寫程式 做答, 語言不拘, 但是限定為程序性的通用語 言。
我想每個學校的數學系都應該正視這個 問題。
—本文作者任教於台灣大學數學系—
