3 更多的微分公式

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3 ^{更多的微分公式}

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3.6 ^{對數函數的導數}

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對數函數的導數

我們想用隱函數微分法計算更多函數的導數，其中一個例子 便是利用對數函數 y = log_ax ，尤其是自然對數， y = ln x 。當然我們可能要先問：對數函數是否可微分？直觀上，對數函數是指數的反函數，其圖形看起來也滿足每一點都可以做切線逼近。於是在實際證明之前，我們先把對數函數當作可微分的，其微分如後所述。

圖十二

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對數函數的導數

利用連鎖率，我們可以推廣這個公式：

或

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範例二

試求 ln(sin x).

解:

利用連鎖率，我們有

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對數微分法

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對數微分法

如果目標函數是由複雜的項相乘除所組成，此時使用微分乘積公式會多出很多項。這個時候我們便可以考慮利用對數將乘積拆開變成加總。

接下來的這個範例我們稱為對數微分法 (logarithmic differentiation) ，是一個可以簡化計算的技巧。

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範例十五

微分解:

我們對等式兩邊同取對數，將乘積化成加總如下

ln y = ln x + ln(x² + 1) – 5 ln(3x + 2) 接著對 x 微分，

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範例十五 / 解

移項解得 dy/dx ，

最後帶入 y(x) ，寫成 x 的表示式：

cont’d

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對數微分法

取對數簡化微分的步驟：

對具有複雜乘積的函數表示式，兩邊同取對數，簡化成各項相加。

對等式做隱函數微分移項解得 y‘

再一個實際的例子是，對數微分法可以幫助我們處理任意實數指數函數的微分：

冪函數微分給定 n 為任意實數，且 f(x) = xⁿ ，則

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以極限計算自然底數 e

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以極限計算 e

考慮對數 f(x) = ln x ，其微分 f

(x) = 1/x ，因此 f (1) = 1 。

我們想利用這個數值來計算自然底數 e 。

根據導數的定義：

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以極限計算 e

由於 f

(1) = 1 ，最後我們可知極限值為

利用指數函數是連續的，可知

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14

以極限計算 e

y = (1 + x)^1/x 的圖如下，另外我們可利用電腦計算在 x 夠靠近 0 時， y(x) 的數值：

e  2.7182818

圖四

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以極限計算 e

由於函數的極限存在，因此特別的我們可以挑選 x 逼近 0 的方式是取數列 x_n = 1/n 。

此時我們可以將這個極限寫成離散型的極限如下。

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