107 年國中數學教育會考 數學科難題詳解

107 年國中數學教育會考 數學科難題詳解

21. 已知坐標平面上有一直線 L，其方程式為 y＋2＝0，且 L 與二次函數 y＝3x²＋a 的圖形相交於 A、

B 兩點；與二次函數 y＝－2x²＋b 的圖形相交於 C、D 兩點，其中 a、b 為整數。

若 AB ＝2， CD ＝4，則 a＋b 之值為何？

(A) 1 (B) 9 (C) 16 (D) 24 詳解：

已知 L：y+2＝0，可以寫為 y＝-2

設二次函數 f(x)＝y＝3x²+a、二次函數 g(x)＝y＝-2x²+b (1).

f(x)＝y＝3x²+a＝3(x-0)²+a，可知頂點為(0,a)，對稱軸為 x=0，開口向上

L 與 f(x)相交於 A、B 兩點，因為 L 上任意點的 y 坐標為-2，可設 A(m, -2)、B(n, -2)。

(其中 m<0、n>0)

由AB＝2，可得 n-m＝2…(ㄅ) 又 f(x)對稱軸為 x=0，即 0

2 m n

 …(ㄆ)

解(ㄅ)(ㄆ)得 m=-1、n＝1 → A(-1, -2)、B(1, -2)。

將 A(-1, -2)代入 f(x)＝y＝3x²+a

-2＝3×(-1) ²+a

-2＝3+a a＝-5

(2). L 與 g(x)相交於 C、D 兩點，因為 L 上任意點的 y 坐標為-2，可設 C(p, -2)、D(q, -2)。

(其中 p<0、q>0)

由 CD ＝4，可得 p-q＝4…(ㄇ) 又 g(x)對稱軸為 x=0，即 0

2

pq  …(ㄈ)

解(ㄇ)(ㄈ)得 p=-2、q＝2 → C(-2, -2)、D(2, -2)。

將 C(-2, -2)代入 f(x)＝y＝-2x²+b

-2＝-2×(-2) ²+b

-2＝-8+b b＝6

(3). a+b＝-5+6＝1，故選(A)

22. 如圖(十三)，兩圓外切於 P 點，且通過 P 點的公切線為 L。過 P 點作兩直線，兩直線與兩圓的 交點為 A、B、C、D，其位置如圖(十三)所示。若 AP ＝10， CP ＝9，則下列角度關係何者正 確？

(A) ∠PBD＞∠PAC (B) ∠PBD＜∠PAC (C) ∠PBD＞∠PDB (D) ∠PBD＜∠PDB

詳解：

(1). ∠1＝1 2

︵PC ＝∠PAC (弦切角的度數等於其所夾弧度數的一半)

∠2＝1 2

︵PD＝∠PBD (弦切角的度數等於其所夾弧度數的一半)

∠1＝∠2(對頂角相等)

→∠PAC＝∠PBD (遞移律) (2). 同理∠PCA＝∠PDB

(3). △PAC 中，AP10 9 CP，故∠PCA>∠PAC (大邊對大角) 大小關係為：∠PDB＝∠PCA >∠PAC＝∠PBD (遞移律)，故選(D)

23. 小柔想要搾果汁，她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數比為 9：7：6。小柔搾完果汁後，

蘋果、芭樂、柳丁的顆數比變為 6：3：4。已知小柔搾果汁時沒有使用柳丁，關於她搾果汁時 另外兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？

(A) 只使用蘋果 (B) 只使用芭樂

(C) 使用蘋果及芭樂，且使用的蘋果顆數比使用的芭樂顆數多 (D) 使用蘋果及芭樂，且使用的芭樂顆數比使用的蘋果顆數多 詳解：

榨果汁前，蘋果、芭樂、柳丁顆數比為 9：7：6 設顆數分別為 9r、7r、6r (r>0)

榨果汁後，蘋果、芭樂、柳丁顆數比為 6：3：4 設顆數分別為 6s、3s、4s (s>0)

因為沒有使用柳丁，所以 6r＝4s、r：s＝4：6＝2：3 設 r＝2t、s＝3t (t>0)

榨果汁前的顆數為 18t、14t、12t 榨果汁後的顆數為 18t、9t、12t

可看出蘋果維持 18t 未使用，只使用芭樂，故選(B)

24. 如圖(十四)，△ABC、△FGH 中，D、E 兩點分別在 AB 、 AC 上，F 點在 DE 上，G、H 兩點 在 BC 上，且 DE // BC ， FG // AB ， FH // AC 。若 BG ： GH ： HC ＝4：6：5，則△ADE 與△FGH 的面積比為何？

圖(十四)

(A) 2：1 (B) 3：2 (C) 5：2 (D) 9：4 詳解：

(1). BG GH HC : : 4 : 6 : 5

設BG4 ,r GH 6 ,r HC5r (r 0)

(2). 四邊形 BDFG 為平行四邊形(DE/ /BC FG, / /AB ) 4

DF BG r

(3). 四邊形 FECH 為平行四邊形(DE/ /BC FH, / /AC ) 5

FEHC r

4 5 9 DEDFFE r r r (4). △ADE 和△FGH 中

∠ADE＝∠ABC＝∠FGH (同位角相等)

∠AED＝∠ACB＝∠FHG (同位角相等)

△ADE 與△FGH 相似(根據 AA 相似) (5). 相似三角形面積比＝邊長比

△ADE：△FGH

＝DE²:GH ²

＝(9r) ²：(6r)²

＝81r²：36r²

＝9：4 故選(D)

25. 某商店將巧克力包裝成方形、圓形禮盒出售，且每盒方形禮盒的價錢相同，每盒圓形禮盒的價錢 相同。阿郁原先想購買 3 盒方形禮盒和 7 盒圓形禮盒，但他身上的錢會不足 240 元，如果改成購 買 7 盒方形禮盒和 3 盒圓形禮盒，他身上的錢會剩下 240 元。若阿郁最後購買 10 盒方形禮盒，則 他身上的錢會剩下多少元？

(A) 360 (B) 480 (C) 600 (D) 720 詳解：

設 1 盒方形禮盒 x 元，1 盒圓形禮盒 y 元

(1). 依題意，買 3 盒方形和 7 盒圓形會不足 240 元 身上的錢＝(3x+7y-240)元

(2). 依題意，買 7 盒方形和 3 盒圓形會剩下 240 元 身上的錢＝(7x+3y+240)元

(3). 列式

3x+7y-240＝7x+3y+240

-480＝4x-4y x-y＝-120

(4). 買 10 盒方形禮盒

剩下的錢＝身上的錢－用掉的錢 (3x+7y - 240) - 10x

＝-7x+7y - 240

＝-7(x-y) - 240

＝(-7)×(-120)-240

＝840-240

＝600 故選(C)

26. 如圖(十五)，坐標平面上，A、B 兩點分別為圓 P 與 x 軸、y 軸的交點，有一直線 L 通過 P 點且 與 AB 垂直，C 點為 L 與 y 軸的交點。若 A、B、C 的坐標分別為(a , 0)、(0 , 4)、(0 , －5)，其 中 a＜0，則 a 的值為何？

圖(十五)

(A) －2 14 (B) －2 5 (C) －8 (D) －7 詳解：

(1). 已知 B(0,4)、C(0, -5)，故 CB ＝4-(-5)＝9 連接 A、C

9

CACB (中垂線上任一點到此線段的兩端等距離) (2). 已知 A(a,0)

在直角△OAC 中，

2 2 2

CA OC OA 9²＝5²+|a|²

|a|²＝56 a＝± 56

a＝± 2 14 (A 在 x 軸負向，a 取負)

a＝-2 14 故選(A)