12 12 2 x  3

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：107.09.21 範

圍數與數線(B) 班級一年____班姓座號名

一、填充題(每題 10 分) 1. 化簡5 3 5 3

5 3 5 3

 

 

  . 解答 28

11 。

解析原式 ⁽⁵ ³⁾⁽⁵ ³⁾ ⁽⁵ ³⁾⁽⁵ ³⁾ ^{28 10 3} ^{28 10 3} ⁵⁶ ²⁸

22 22 22 11

(5 3)(5 3) (5 3)(5 3)

     

     

    .

2. 設 4112 5 xy, 其中 x 為正整數, 0 y1, 則     y y

x 1

4

1 . 解答 2

解析 _{41 12 5}  _{41 2 36 5}   ₃₆ _{5 6}  _{5 3.} x3, y(6 5) 3 3   5, y

y

x 1

4 1 

 2

5 3

1 4

1 5

6 

 



  .

3. 若函數f ( n )表“⁴

7化成小數, 小數點後第 n 位數字”, 則 f ( 1 )＋f ( 2 )＋f ( 3 )＋…＋f ( 123 )＝ . 解答 553

解析 0.571428 74  ,

f ( 1 )＋f ( 2 )＋f ( 3 )＋ f ( 4 )＋ f ( 5 )＋ f ( 6 )＝5＋7＋1＋4＋2＋8＝27, f ( 7 )＋f ( 8 )＋f ( 9 )＋f ( 10 )＋f ( 11 )＋f ( 12 )＝5＋7＋1＋4＋2＋8＝27, .

. .

f ( 115 )＋f ( 116 )＋f ( 117 )＋f ( 118 )＋f ( 119 )＋f ( 120 )＝5＋7＋1＋4＋2＋8＝27, f ( 121 )＋f ( 122 )＋f ( 123 )＝5＋7＋1＝13,

∴f ( 1 )＋f ( 2 )＋f ( 3 )＋…＋f ( 123 )＝27 × 20＋13＝553.

4.若 a 為 1 到 9 的正整數且^{745 1} 84

a 可化為有限小數, 則 a = . 解答 7 。

解析 84 = 2² × 3 × 7, 故 3 × 7 可整除 745a1, 則 a = 7.

4. (1)設 12 6 3  a b，其中a、b 均為正整數，求 a＋b＝ . (2)若 11 4 7  x y ，其中x、y 均為正整數，求 x＋y＝ . 解答 (1) 6 (2) 9 。

解析 (1) 12 6 3  12 2 27  ( 9 3)²  9 3 3  3，a＝3，b＝3，則 a＋b＝6.

(2) 11 4 7  11 2 28  ( 7 4)²  7 4 7 2 ，x＝7，y＝2，則 x＋y＝9.

5. 設x＝ 5 ＋ 3 ，y＝ 6 ＋ 2 ；試比較 x，y 的大小關係為 . 解答 x ＞ y 。

解析 x＞0 且 x²＝8＋2 15 ，y＞0 且 y²＝8＋2 12 ；8＋2 15 ＞8＋2 12 ，∴x²＞y² x＞y.

6. 設a＞0，b＞0，|

(1)若 a＋b＝9，則 ab 的最大值為 .

(2)

解答 (1)⁸¹

4 (2) 6 。

解析 ∵a＞0，b＞0，由算幾不等式

2

a b  ab知，

(1)⁹

2 ab  ⁸¹

4 ab，∴ab 的最大值為⁸¹ 4 .

(2) 9

2

a b   3

2

a b   a＋b≧6，∴a＋b 的最小值為 6.

7. 一農夫想用66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃, 並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的出入口, 如下圖所示. 此農夫所能圍成的最大面積為 _ 平方公尺.

解答 289

解析設長為x 公尺, 寬為y公尺,

則x(x2)2y66 x y34,

因 

2

＋y

x xy 得xy  ) 289 2

(34 ²  ,所以所能圍成的最大面積為 289 平方公尺.

8. 設－5 < a <1 且－2 < b <3, 化簡 a² a4 4+ b²  b6 9= . 解答 －a+b+5 。

解析原式 (a2)²  (b3)²  |a 2 | | b        3 | 2 a b 3 a b 5 ∵－5 < a < 1, －2< b < 3,

∴    7 a 2 1, 1  b 3 6即a－2 < 0, b+3 >0, ∴原式=－(a－2)+(b+3)=－a+b+5.

10. 設 x= 74 3, y= 74 3 , 則 x³+y³= . 解答 52 。

解析 x 7 2 12  (2 3)² = 2 + 3 7 2 12 (2 3)2

y    = 2－ 3 x+y=4, xy=1,

∴x³+y³=(x+y)³－3x²y－3xy²=(x+y)³－3xy(x+y)=4³－314=52.

11. 設 a＝

29 19 ，b＝

49 39，c＝

69

59；試比較a，b，c 的大小關係為 . 解答 a＜b＜c 。

解析 19 10

29 1 29

a   ， ³⁹ 1 ¹⁰

49 49

b   ， ⁵⁹ 1 ¹⁰

69 69

c   ，

∵¹⁰ ¹⁰ ¹⁰

29 4969  ¹⁰ ¹⁰ ¹⁰ 29 49 69

      1 ¹⁰ 1 ¹⁰ 1 ¹⁰

29 49 69

     ，故a＜b＜c.

12. 設 x, y 為有理數, 已知(3－ 2 )x+(2+2 2 )y=12+4 2 則數對(x, y)= . 解答 (2, 3) 。

解析 3x－ 2 x+2y+2 2 y = 12+4 2 ,

(3x+2y)+(－x+2y) 2 =12+4 2 3 2 12 2 4 x y

x y

 

   x= 2, y= 3.

13. 設 a, b 為有理數, 若 3 2 2

(3 2 2) ( 5 5 2) 2

2 2 3 a b

      

 , 則數對(a, b) = . 解答 (－19, －5) 。

解析 3 2 2

(3 2 2) ( 5 5 2)

2 2 3

     



(3)

,

則a＝－19, b＝－5, 故數對(a, b)＝(－19, －5).

14. 化簡 















15) 1 15 ( 3 ) 1 15 ( 2 ) 1 15 (

13) 1 13 ( 3 ) 1 13 ( 2 ) 1 13 (

.（化為最簡分數）

解答 261

20

解析

15 16 17 26

... 15 16 17 26 2 3 4 15

2 3 4 13 ... ...

17 18 19 ... 30 2 3 4 13 17 18 19 30

2 3 4 15

   

       

   

^{15 16} ^{14 15} ²⁰ 1 27 28 29 30 261

 

  

   .

15. 計算( 5 +2)⁵¹( 5 －2)⁵³= . 解答 9 4 5 。

解析 ( 5 +2)⁵¹( 5 －2)⁵³

=[( 5 +2)( 5 －2)]⁵¹( 5 －2)² =[( 5 )²－2²]⁵¹( 5 －2)²

=1( 5 －2)² =5－4 5 +4 = 9－4 5 . 16. 不等式│x－2│＜3 的解為 .

解答 －1＜x＜5 。

解析 │x－2│＜3 －3＜x－2＜3 －1＜x＜5.

17. 數線上 A，B 兩點，其坐標分別為－5，3；點 P 在AB上，且AP：BP＝3：2，求 P 點的坐標為 .

解答 1

5 。

解析設P(x)，由分點公式可得 ^{3 3 2 ( 5)} ¹

3 2 5

x      

 .

18. 試解下列不等式：

(1) | x + 1 | >－2： . (2) | x－1 | > | x + 2 |： . (3) 3 ≤ | 2x－1 | ≤ 6： . 解答 (1)任意實數 (2) ¹

x 2 (3) ⁵ 1 2 ⁷

2 x x 2

    或   。

解析 (1) | x + 1 |的幾何意義為在數線上 P(x)和 A(－1)的距離, 則| x + 1 | ≥ 0, 即對所有實數 x, | x + 1 | >－2, 故 x 為任意實數.

(2)討論

(1)當 x ≥1 時：x－1 > x + 2  0 > 3 x 無解

(4)

(2)當－2 ≤ x＜1 時：－(x－1) > x + 2  2x <－1  ¹

x 2, 2 ¹ x 2

    (3)當 x＜－2 時：－(x－1) >－( x + 2)  恆成立 x＜－2

由(1)(2)(3)知, ¹ x 2.

(3) 3 ≤ | 2x－1 | ≤ 6 兩邊同除以 2, 得³ ¹ 3

2  x 2 , 則 ⁵ 1 2 x

    或2 ⁷ x 2

  .

19. 不等式│x－1│＋│x＋4│＞5 的解為 . 解答 x＜－4 或 x＞1 。

解析 (1)當 x≧1 時，(x－1)＋(x＋4)＞5  x ＞1，

(2)當－4≦x＜1 時，(－x＋1)＋(x＋4)＞5 5＞5（不合） x 無解，

(3)當 x＜－4 時，(－x＋1)＋(－x－4)＞5 x＜－4，

由(1)(2)(3)可得，x＜－4 或 x＞1.

20. 設 x 為實數, 若 | x＋2 |＋| x－3 |  k 無解, 則 k 的範圍為 . 解答 k＜5

解析 | x＋2 |＋| x－3 |＝| x＋2 |＋| 3－x |  | x＋2＋3－x |＝| 5 |＝5, 即5  | x＋2 |＋| x＋3 |  k 必須不成立, 故 5  k 的否定為 k＜5.

21. 已知 A, B, P 為數線上三相異點, 且坐標分別為－6, 8 , x, 若AP：BP＝5：2, 試求 P 之坐標為 . 解答

3 52或4

解析 AP：BP＝| x＋6 |：| x－8 |＝5：2  5 | x－8 |＝2 | x＋6 | (1) 5 ( x－8 )＝2 ( x＋6 )  3x＝52  x＝

3 52 (2) 5 ( x－8 )＝－2 ( x＋6 )  7x＝28  x＝4

∴ P 之坐標為 3 52或4.

22. 聯立不等式 2 3 1 1 x

x

  



   其解為 . 解答 －1＜x＜0 。

解析

由(1)，－3＜x－2＜3 －1＜x＜5…(3)，

由(2)，－1＜x＋1＜1 －2＜x＜0…(4)，

由圖可知，－1＜x＜0.

23. 方程式 | x＋2 |＝| 2x－5 | 之解為 . 解答 x＝1 或 7

解析 (1)當 x ≥⁵時：x＋2＝2x－5  x＝7

(5)

(2)當－2 ≤ x＜

2

5時：x＋2＝5－2x  3x＝3  x＝1 (3)當 x＜－2 時：－x－2＝5－2x  x＝7 不合 由(1)(2)(3)知, x＝1 或 7.

24. 若 | ax＋3 |  b 的解為－2  x  5, 則實數對( a, b )＝ . 解答 (－2, 7 )

解析 2 5 | 3| 7

2 2

x x

      , 同乘 2 即  |－2x＋3 | 7, 故 a＝－2, b＝7.

25. 若方程式│x－3│+│x－9│=k 有解, 則 k 的條件為 . 解答 k 。6

解析 │x－3│+│x－9│=│3－x│+│x－9│ │3－x+x－9│=6, 即│x－3│+│x－9│的最小值為 6,

∴方程式│x－3│+│x－9│= k 欲有解的條件為 k ≥ 6 26. 若2ax a0的解為

2

1



x 則ax a4 0之解為 . 解答 x＞4 。

解析 2 1 0

2

1  



 x

x

 與a(2x1)0同義, 故a0,

ax4a0a(x4)0但a0, x40,x4為所求.

27. 不等式 | x＋2 |＋| x－1 |＋| x＋3 |＜9 之解為何？

解答－ 3

13＜x＜

3 5

解析

(1)當 x ≥ 1 時：x＋2＋x－1＋x＋3＜9  3x＜5  x＜

3

5, ∴ 1 ≤ x＜

3 5 (2)當－2 ≤ x＜1 時：x＋2－x＋1＋x＋3＜9  x＜3, ∴－2 ≤ x＜1

(3)當－3 ≤ x＜－2 時：－x－2－x＋1＋x＋3＜9  x＞－7, ∴－3 ≤ x＜－2 (4)當 x＜－3 時：－x－2－x＋1－x－3＜9  3x＞－13  x＞

3

13

, ∴－

3

13＜x＜－3

由(1)～(4)知,－

3

13＜x＜

3 5.