平面圖形

平面圖形

1 平面幾何

n 幾何：源於”Geometry”一詞，原為測量之 意，明朝時利瑪竇與徐光啟翻譯歐基里德的著 作「幾何原本」後，正式成為數學學科的名稱 之一；「幾何學」主要在研究「空間」的各種 性質，如圖形的形狀、大小...等等的學 科。

n 平面幾何：專門討論在平面上的圖形所相關的 性質理論等知識的數學稱為平面幾何。

2 幾何基本元素

n 點：表示位置，沒有大小的分別。通常我們用 大寫英文字母來表示一個點。

【說明】A、B、C 三點各代表不同的位置。

n 線

1. 直線：以直尺畫出一條線通過平面上相異 兩個點，並向兩端無限延伸，這樣的圖形 稱為直線。

Ø 通過相異兩點的直線僅有一條。

2. 射線：以平面上一點為起點，用直尺畫出 一條線通過平面上另一個相異點並無限 延伸稱為射線。

3. 線段：以平面上一點為起點，另一個相異 點為終點，用直尺畫出一條連接兩點之間 的線稱為線段。

【說明】直線 AB 可記為 ⃖ ⃗ 或 ⃖ ⃗。

【說明】射線 AB 可記為 ⃗，但 不可記為 ⃗。

【說明】線段 AB 可記為AB 或BA 。 A

B

C

n 角：由兩條端點相同且不重疊的射線所形成的 圖形，共用的端點稱為該角的頂點。

1. 直角：一個角的度數等於 90^o，稱為直角。

2. 銳角：一個角的度數小於 90 ^o，稱為銳角。

3. 鈍角：一個角的度數大於 90 ^o，稱為鈍角。

4. 平角：一個角的度數等於 180^o，稱為平 角。

5. 周角：一個角的度數等於 360^o，稱為周 角。

【說明】右圖中，以頂點A 來來 表示這個角，可以記為

A

∠ ，也可以記為∠BA C 或 CAB∠ 。

n 角的關係

1. 餘角：兩個角的度數和等於 90^o，稱這兩 個角為互餘，這兩角互為餘角。

2. 補角：兩個角的度數和等於 180^o，稱這兩 個角互補，這兩角互為補角。

Ø 同角的餘角會相等，同角的補角會相等。

3. 對頂角：兩直線相交產生四個角，其中不 相鄰的兩個角，稱為對頂角。

4. 鄰角：兩直線相交產生四個角，其中相鄰 的兩個角，稱為鄰角。

Ø 兩直線相交，對頂角會相等，鄰角會互 補。

【說明】右圖中，AB 垂直BC ，所以

∠ABD +∠CBD=90^o，∠

ABD 和∠CBD 互餘，∠

ABD 是∠CBD 的餘角，

∠CBD 也是∠ABD 的餘角。

【說明】右圖中，A、B、C 成一直線，所以∠A CD +∠BCD=180

o，∠ACD 和∠BCD 互補，∠ACD 是

∠BCD 的補角，∠BCD 也是∠ACD 的 補角。

【說明】右圖中，∠1 和∠3 為一組對頂角，∠2 和

∠4 則也是一組對頂 角，而且∠1=∠3、∠2

=∠4。∠1 和∠4 為一組鄰角，∠3 和∠4 則也是一組鄰角，而且∠1 +∠4

=180^o，∠3 +∠4=180^o。

範 例 講 解

Ex1.已知∠x 與∠y 互餘：

(1).設∠x=35^o，求∠y=?

(2).設∠y=67.5^o，求∠x=?

(3).設∠x=a^o，求∠y=?

(4).設∠y=(90-b)^o，求∠x=?

Hw1.已知∠x 與∠y 互補：

(1).設∠x=35^o，求∠y=?

(2).設∠x=127^o，求∠y=?

(3).設∠y=a^o，求∠x=?

(4).設∠y=(90-b)^o，求∠x=?

Ans: 55,22.5,90-a,b Ans: 145,53,180-a,90+b

Ex2.

(1).∠A 的補角和∠B 的餘角度數相同，已知

∠A＝108°，求∠B。

(2).如圖，若∠1＋∠2＝

77^o，∠2＋∠3＝147^o， 則∠3＋∠4＝？

(3). 若∠1 與∠2 互為補角，若∠1＝

(8x+5)°，∠2＝(5x+45)°，則 x＝？

Hw2.

(1).∠1＝75°，∠1 與∠2 互餘，∠2 與∠3 互補，則∠3 的對頂角是多少度？

(2).已知∠A 與∠B 互補，∠B 與∠C 互餘，

求∠A－∠C。

(3).設∠A＝(56＋2m)°，若∠A 的補角是 24

°，則 m＝？

Ans: 18°;136°; 10 Ans: 165°; 90° ;50

Ex3.

(1).如圖，∠AOB是直角，問

∠AOB中共有幾個銳 角？

(2).如圖，直線 L₁、L₂、L₃ 相交於一點 M，

共可形成多少組對頂角？

Hw3.

(1).如圖，∠AOB 中共有 幾個銳角？

(2).五條直線相交於一

點，可形成幾組對頂角？

Ans: 9;6 Ans: 6;20

Ex4.在坐標平面上共有 5 個點，其中沒有任 3 點 共線，則此 5 點共可決定多少條直線？

Hw4.在一平面上有 5 條直線，若這 5 條直線最多 有 a 個交點，最少有 b 個交點，則 a＋b＝？

Ans: 10 Ans: 10

3 平面圖形

n 三角形：平面上不共線的相異三點，以線段依 次連接而成的圖形，內角和為 360^o。

1. 直角三角形：三角形中有一個內角為直角 的三角形。

2. 銳角三角形：三角形中所有內角都小於

【說明】如右圖，其中A、

B、C 為△ABC 的頂點，AB 、AC 、 BC 為△ABC 的

邊，∠A、∠B、∠C 為△ABC 的三個 內角。

【說明】如右圖，AB ⊥BC ，

∠B=90^o，△ABC 是一個直角三角 形。

【說明】如右圖，∠A、∠B、

90^o的三角形。

3. 鈍角三角形：三角形中有一個內角大於 90^o的三角形。

4. 等腰三角形：有兩個邊相等的三角形。

Ø 等腰三角形的底角相等。

5. 正三角形：三個邊都相等的三角形。

Ø 正三角形的三個內角都相等。

∠C 都小於 90^o，△ABC 是一個銳角三 角形。

【說明】如右圖，∠A 大於 90

o，△ABC 是一個鈍角 三角形。

【說明】如右圖，AB =AC ，△A BC 是一個等腰三角 形，而且∠B=∠C。

【說明】如右圖，AB =AC =BC ，

△ABC 是一個正三角 形，而且∠A=∠B=∠C

=60^o。

n 四邊形：平面上相異四點中沒有任三點共線，

以線段依次連接而成的圖形，內角和為 360^o。

1. 正方形：四邊等長且四個 角都是直角 的四邊形。

2. 矩 形 ： 四 個 角 都 是 直 角 的 四 邊 形 ， 也稱為長方形。

3. 平行四邊形：有兩組對邊平行的四邊形。

4. 梯形：有一組對邊平行的四邊形。

【說明】如右圖，四邊形ABCD 中，連接AC 、BD 是四 邊形的兩條對角線，而 且∠A+∠B+∠C+∠D

=360^o。

【說明】如右圖，正方形ABC D 中，AB =AD =BC = ，且∠A=∠B=∠CCD

=∠D=90^o。

【說明】如右圖，矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=

∠D=90^o，且AB =CD 、 AD =BC 。

【說明】如右圖，平行四邊形 A BCD 中，AD //BC 、AB //

，而且 ADDC =BC 、AB

=DC 。

【說明】如右圖，梯形ABCD

平行的兩邊分別稱為上底及下底，不平行 的兩邊稱為腰。

5. 菱形：四邊等長的四邊形。

6. 鳶形：兩組鄰邊分別等長的四邊形。

中，AD //BC ，AD 稱為上底，BC 為下底，

AB 、DC 為梯形的腰。

【說明】如右圖，菱形ABCD 中，AB =AD =BC =CD ， 且∠A=∠C、∠B=∠

D。

【說明】如右圖，鳶形ABCD 中，AB =AD 、BC =CD ， 且∠A=∠C、∠B=∠

D。

n 多邊形

1. 凸多邊形：多邊形的所有對角線都在圖形 內部，這樣的多邊形稱為凸多邊形。

2. 凹多邊形：多邊形的對角線有任何一條在 圖形外部，這樣的多邊形稱為凹多邊形。

3. 正多邊形：多邊形的各邊都相等，每個內 角也都相等，這樣的多邊形稱為正多邊 形。

【說明】下列三個多邊形都是正凸多邊形。

下列是一個凹多邊形。

n 圓形與扇形

1. 圓：平面上到一固定點等距離的所有點所 形成的圖形，這個固定點稱為圓心，圓通 常以圓心來命名。

Ø 弦：連接圓上任意兩點所成的線段稱 為圓的弦。

Ø 直徑：如果一弦通過圓心，此弦稱為 圓的直徑，直徑將圓分為兩個半圓，

是圓 O 中最大的弦。

Ø 半徑：圓心到圓周上任一點所連成的 線段，稱為圓的半徑。

Ø 弧：一弦將圓周分成兩部分，這兩部

【說明】如右圖，AB 是圓 O 的一 條弦，EF 是直徑是圓 O 中最大的弦，OE =OF 都 是半徑。

【說明】如右圖，弦AB 將圓周分 為兩個弧，這兩個弧有

分都稱為弧，小於半圓的弧稱為劣 弧，大於半圓的弧稱為優弧。

2. 弓形：圓上一弦與其所對的弧所圍成的圖 形。

3. 扇形：圓的兩半徑及一弧所圍成的圖形。

Ø 圓心角：扇形中兩半徑的夾角稱為圓 心角。

相同的端點。劣弧以︵

AB表示，而優弧則 在其上多取一點C，以 ︵

ACB表示。

【說明】如右圖，一弦將圓分成 兩個弓形。

【說明】如右圖，圓心角∠AOB=60

o，AO =10 扇形面積=

×π×6²

= ×π×36=6π AB =

×2π×6 Ø 扇形面積= ^{圓心角的度數} ×圓的面積

=^{圓心角的度數} ×π×半徑² Ø 所對弧長= ^{圓心角的度數} ×圓的周長

=^{圓心角的度數} ×2π×半徑

= ×2π×6=2π

範 例 講 解

Ex5.如圖，A、B、C 三點在同一 直線上，D、B、E 三點也在 同一直線上，且∠ADC 和∠

ECD 都是直角，∠DBC 為鈍

角，以 A、B、C、D、E 五點為頂點，所構 成的三角形中，哪些是直角三角形？哪些是鈍 角三角形？哪些是銳角三角形？

Hw5.圖為一中間橋墩垂直地面，兩 旁鋼索均等距的斜張橋，請問 圖中共有那些銳角三角形？

Ans: △ADC、△ECD 為直角三角形，△BD C 為鈍角三角形，△ABD、△EBC 為銳 角三角形

Ans: △ACE、△ABF、△ABE、△ACF

Ex6.以平面上相異四點為三角形的頂點，最多可 以構成多少個三角形？

Hw6.如圖中，共有多少個三角 形？

Ans: 4

Ans: 8

Ex7.△ABC 中，若∠B＝∠C－∠A，則△ABC 為何種三角形？

Hw7.△ABC 中，∠A 及∠B 均為銳角，則下列敘 述何者正確？ (A)△ABC 為銳角三角形 (B)△ABC 為直角三角形(C)△ABC 為鈍角三 角形(D)以上皆有可能。

Ans: 直角三角形 Ans: D

Ex8.

(1).等腰△ABC之頂角∠C=40^。，求∠A=？

(2).等腰直角三角形之底角的外角為多少 度？

(3).等腰三角形中一內角為80^。，則底角的度 數為多少度？

Hw8.

(1).等腰△ABC 之底角∠A=50^。，求∠C=？

(2).直角三角形之一內角為 30^。，則另一內角 的外角為多少度？

(3).△ABC 中∠A=∠B+∠C，求∠A 是多少 度？

Ans: 70;135;80 或 50 Ans: 80;1120;90

Ex9.如圖， ￣AD 與 ￣BC 相 交於 O 點，∠OAB＝

67°，∠AOB＝27°，

∠ODC＝43°，求∠B 及∠C。

Hw9.如圖，若∠A=60^。，∠B=55^。，∠C=70^。， 求∠D=？

Ans: 86,110 Ans: 45

Ex10.如圖中，共有多少個 平行四邊形？

Hw10.如圖為方格紙的一部分，則其中 大、小正方形的個數共有幾個？

Ans: 36 個 Ans: 30

Ex11.求六邊形的內外角和及對角線個數？ Hw11.求九邊形的內外角和及對角線個數？

Ans: 720,360,9 Ans: 1260,360,54

Ex12.請根據如表回答下列問題：

A.四邊等長 B.兩組對邊等長 C.兩組鄰邊等長 D.兩組對邊平行 E.只有一組對邊平行 F.四個直角 (1).正方形具備的性質有:【 】。

(2).長方形具備的性質有:【 】。

Hw12.就各種四邊形的性質回答下列問題：

甲：長方形 乙：正方形

丙：平行四邊形 丁：菱形 戊：鳶形 (1).哪些四邊形的對邊等長,且平行?

(2).哪些四邊形的對邊不等長也不平行?

(3).平行四邊形具備的性質有:【 】。

(4).鳶形具備的性質有:【 】。

(5).菱形具備的性質有:【 】。

(6).梯形具備的性質有:【 】。

Ans: A、B、C、D、F; B、D、F; B、D; C;

A、B、C、D; E

Ans: 甲、乙、丙、丁;戊

Ex13. 在一圓上，任意取相異 5 點，則此 5 點共 可決定幾條弦？

Hw13.一圓有相異 5 點，問此 5 點共可連成幾個 弧?

Ans: 10 Ans: 20

Ex13.

(1).如圖，有一扇形， OA ＝8 公 分，∠AOB＝135°，則 ︵ AB 為多少公分？

(2).有一扇形，已知其半徑為 15 公分，弧長 為 12π公分，求其圓心角及此扇形的面積。

(3).已知圓 O 上 A、B 兩點將圓分成優、劣兩 弧。若兩弧的度數比為 8：1，則劣弧所對 圓心角∠AOB＝？

Hw12.

(1).半徑為 10 公分的扇形，面積是 10π平方 公分，那麼它的圓心角是多少度？

(2).有一個鐘擺的擺長為 9 公分，鐘擺從最左 端擺到最右端，經過的面積為 18π平方公 分。那麼鐘擺在最左端與在最右端所夾的 角度是多少度？

(3).設 A、B 兩點把圓 O 分成大、小兩弧，若 大弧的度數比小弧度數的 3 倍多 60°，則

∠AOB＝？

Ans: 144,90π; 6π;40° Ans: 36; 80°;75°

Ex14.鐘面上，在 10 點 30 分時，分針和時針的 夾角是多少度？

Hw14.有一個鐘擺的擺長為 9 公分，鐘擺從最左 端擺到最右端，經過的面積為 18π平方公 分。那麼鐘擺在最左端與在最右端所夾的角 度是多少度？

Ans: 135° Ans: 80°

綜 合 應 用

Ex15. 如圖，∠1＋∠2＋∠3

＋∠4＋∠5＝？

Hw15. 如圖，求∠A+∠B+∠C+

∠D+∠E+∠F=？

Ans: 180° Ans: 360

Ex16.如圖，ABCD 為正方形，

邊長 AB＝8 公分，且灰色̅ 區域為兩扇形重疊之部 分，請計算灰色區域的面 積與周長。

Hw16.如圖，長方形長為 8 公 分，寬為 6 公分，圖中 扇形是以 A 為圓心，

AP 為半徑，則斜線部¯¯

分面積為多少平方公 分？

Ans: 32π-64,8π Ans: 48-9π

Ex17.如圖，有一半徑為 2 公分的圓 形時鐘圖片，其中每個刻度間的 弧長均相等。若小明依鐘面 11

時和 1 時的位置，畫一直線，則斜線區域面 積為多少平方公分？

Hw17.正方形 ABCD 每邊長為 2，以 A 為圓心， ¯¯AB 為半 徑在正方形 ABCD 內部畫

一弧 BD，則此弧與對角線 ¯¯BD 所定的弓形 面積為何？

Ans:

3

2

π-

Ans: π-2

Ex18.如圖，有一個邊長為 6 公分的正方形

ABCD，在此正方形的 兩邊上放置兩個邊長 為 6 公分的正三角形

（△ADE 與△FDC）。請問當△ADE 以 D 為 圓心順時針旋轉至與△FDC 完全重合時，E 點所經過的路線長為多少？

Hw18.如圖，有一個邊長為 24 公分的正△

ABC，在△ABC 的兩 邊上放置兩個邊長為

24 公分的正方形（ABDE 與 AFGC）。請 問當正方形 ABDE 以 A 為圓心順時針轉 至與 AFGC 完全重合時，B 點所經過的路 線長為多少公分？

Ans: 7π Ans:

Ex19.如圖，︵ AB、︵

BC、︵ DE、︵

EF、

AGD、︵ ︵

BGE、︵

BHE、︵ CHF

皆為直徑為 2 的半圓，求灰色部分的面積為 何？

Hw19.在正方形內作四個弓形如 圖，弧度為 90°，半徑長 為 4，以各邊為弦，則四個 弓形面積和為多少平方公

分?四個弓形的弧長和為多少平方公分?

Ans: 8 Ans:

Ex20.如右圖，草地上有一堵高 牆，一條牛拴在Ｂ點，繩子 長12 公尺，問這條牛能吃到 草的面積共有多少平方公 尺？

Ex20.如右圖，草地上有一封閉的 正方體高牆（內部不能進 去），一條牛拴在正方體一

邊的中點上，已知正方體的邊長６公尺，拴 牛的繩子長12 公尺，問這條牛能吃到草的 面積有多少平方公尺？

Ans: 42π Ans: 117π