110 學年度指定科目考試數學乙考科非選擇題參考答案

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110 學年度指定科目考試數學乙考科非選擇題參考答案

數學乙的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。

數學科非選擇題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請參見本中心將於 9 月 15 日出刊的《選才電子報》。

110 學年度指定科目考試數學乙考科非選擇題各大題的參考答案說明如下：

第一題

第(1)小題

因為A B, 兩點的坐標分別為( 3,4) 和(3,2)，

AB(6, 2) ，故^AB^n (6, 2) (4, 3)         6 4 ( 2) ( 3) 30

第(2)小題

解法一：距離公式

直線L 的法向量為 (4, 3) ，令直線 L 的方程式為 4x3y k  。 0 因為A 點到 L 的距離為 B 點到 L 的距離的 5 倍，我們有

4 ( 3) 3 4 5

    k 4 3 3 2

5 5

   k

  ，

因為A B, 兩點在L 的兩側，去掉絕對值後（k24和6 k 異號），我們會有 (k 24) 5(6 k)

    。

可解出k  ，即直線 L 的方程式為 41 x3y  。 1 0

(2)

令直線L 和AB

交於一點C。

因為A 點到 L 的距離為 B 點到 L 的距離的 5 倍，由比例性質，我們有AC BC: 5:1 因為A B, 兩點在L 的兩側，C 點會落在 AB 上。由分點公式，C 點的坐標為

¹( 3, 4) ⁵(3, 2) (2, )⁷ 6  6  3 因為直線L 的法向量為 (4, 3) ，其斜率為⁴

3，而 (2, )⁷

C 3 為L 上一點，

可得L 的方程式為 ⁷ ⁴( 2) 3 3

y  x ，即4x3y  1 0

(3)

3

第(3)小題

解法一：參數式

由(2)，直線 L 的方程式為 4x3y ，可知 L 的參數式為1 _: ^{1 3} _, 1 4

x t

L t

y t

  

   

 。

令P 點的坐標為 (1 3 , 1 4 ) t  t ，因為PA PB ，我們有



(1 3 ) ( 3) t  

 

² (1 4 ) 4 t 



² 



(1 3 ) 3 t 

 

² (1 4 ) 2 t 



² ，可解出t  。故 P 點的坐標為 ( 2, 3)1   。

註：直線L 的參數式有很多種不同的型式，如： : 4 1 3 x t

L t

y

 

 

 

 ；

3 1

: 4

x t L

y t

  



 



。

解法二：兩點距離

令P 點的坐標為 ( , )x y 。因為 PA PB ，我們有

2 2 2 2

(x3) (y4)  (x3) (y2)

即3x y   。又因為3 P在L上，我們有4x3y 。 1 解聯立，得P點的坐標為( 2, 3)  。

解法三：中垂線

因為PA PB ，P 點落在 AB 的垂直平分線上。

因為A B, 兩點的坐標分別為( 3,4) 和(3,2) ， ,A B 中點D的坐標為(0,3) ，且 AB 的垂直

平分線的法向量為(3, 1) 。故 AB 的垂直平分線的方程式為 :3L x y   。由此，3 L和 L的交點P坐標為( 2, 3)  。

解法四：中垂線以參數式表示 AB 中點P(0,3)，得中垂線 :

3 3 L x t

y t

 

    。令P點坐標為( ,3 3 )t  t 代入直線L x: 4  3y 1

中，可得t  ，解得2 P點的坐標為( 2, 3)  。

(4)

第(1)小題

甲型車和乙型車的售價分別為56 26 48 ( ) 2

x y  x y 、40 20 56 ( ) 2

x y  x y ，經化簡

可得80x50y與68x48y。因為x y,  ，甲車售價 800  x50y68x48y乙車售價

（或甲－乙＝12x2y ）。 0 第(2)小題

指出可行解區域是由

8 5 2

1 1

0 2 x x

y y

 

  

 

 

所繪出的梯形區域，如下圖。

(5)

5

第(3)小題

解法一：頂點法

甲乙兩型車的售價差所對應的目標函數為P x y( , ) 12 x2y，我們要在限制條件下，

求P x y 的最大值。將四個頂點( , ) (1,1), (1, 2), (¹⁵,1), ( , 2)⁵

8 4 分別代入目標函數得下表。

最大值發生在(¹⁵,1)

8 這個點。故當 ¹⁵, 1

x 8 y 時，甲乙兩型車的售價差距最大。

此時，兩型車的售價差距為24.5 萬元。

解法二：平行線法

甲乙兩型車的售價差所對應的目標函數為P x y( , ) 12 x2y 我們要在限制條件下，求P x y 的最大值。 ( , )

求出正確的(¹⁵,1)

8 ，並以下列理由之一說明。

(1) 8x5y20這條直線的斜率為 ⁸

5，而12x2y k 這些平行直線的斜率為 6 。因為 6 ⁸

  5，當12x2y k 這些平行直線於可行解區域平行移動時，最後通過可行解區域的點為(¹⁵,1)

8 。

(2) 畫出一條過(¹⁵,1)

8 且與直線12x2y k 平行的直線，如下圖。

( , )x y (1,1) (1,2) ₍¹⁵_,1) 8

( , 2)5 4 ( , ) 12 2

P x y  x y 14 16 ⁴⁹

2 19

(6)

最大值發生在(¹⁵,1)

8 這個點。故當 ¹⁵, 1

x 8 y 時，甲乙兩型車的售價差距最大。

此時，兩型車的售價差距為24.5 萬元。

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