教師可透過以下活動引入三 邊測量

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三邊測量和全球定位系統

學習階段： 4

學習範疇： 度量、圖形與空間

學習單位： 直線方程及圓方程

目標： 運用數學知識解現實生活的問題

先備知識： (i) 理解圓方程

(ii) 求兩圓交點的坐標 (iii) 理解餘弦公式

在 STEM 教育中與其他學習領域的聯繫：

全球定位系統可作為高中選修科物理課程中探究研習的一個課題。

背景資料：

全球定位系統（GPS）是由二十多顆人造衞星組成的衞星導航系統。每顆人造衞星傳 送特定的訊號和軌道資料，讓 GPS 裝置（如流動電話、手錶和汽車）計算它們的精 確位置。每部 GPS 接收器使用這些資訊和三邊測量技術，計算接收器與數顆人造衞 星的距離，從而確定使用者的位置。

活動詳情：

活動 1 三邊測量

以 GPS 進行定位涉及稱為三邊測量的數學原理的應用。教師可透過以下活動引入三 邊測量。

1. 學生須解以下應用題：

有三個基站可以傳送及接收流動電話 P 的訊號。假設三個基站 A、B 和 C 在直 角坐標系的坐標分別為 (0,0)、(36,0) 和 (16,32)（1 單位代表 1 km）。已知 P 至三個基站 A、B 和 C 的距離分別為 29 km、25 km 和 13 km。假設 A、B、C 和 P 在同一水平面上，求 P 點的坐標。

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2. 教師可引導學生使用 GeoGebra 或 圖表紙繪畫點 A、B、C，和以 A 及 B 為圓心的兩個圓。以 A 和 B 為圓 心的圓的半徑分別為 29 單位和 25 單位（參圖 1）。由於兩圓相交於 兩點 P1和 P2，須利用第三已知條件 來決定 P 的準確位置。

圖 1

3. 當完成繪畫以 C 為圓心及半徑為 13 單位的第三個圓後，P 的位置可 被確定，即三個圓的交點。學生可 從 圖 中 閱 讀 到 P 的 坐 標 大 概 為 (21,20)（參圖 2）。

圖 2

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4. 除了使用圖解法外，教師可引導學生使用代數方法求 P 的坐標。設 P 的坐標為 (x,y)，可建立三條方程。

𝑥²+ 𝑦² = 29² (𝑥 − 36)²+ 𝑦² = 25² (𝑥 − 16)²+ (𝑦 − 32)² = 13²

解方程後，𝑥 = 21, 𝑦 = 20。P 的坐標為 (21,20)。

教師注意事項：

1. 教師可向學生解釋在現實情況下問題中的 A、B 和 C 其實代表 GPS人造衞星。

一夥 GPS 人造衞星和一部流動電話的距離可從訊號傳送的速度（即光速）乘以 訊號的傳送時間而求得。

2. 教師應提醒學生此方法乃 GPS 使用「三邊測量」的簡易版，原因是只考慮二維 空間上的圓來決定位置。在三維空間中，須使用四個球形來決定空間內一點的 位置。教師可進入以下網頁參看進一步解釋（只有英文版）。

http://gisgeography.com/trilateration-triangulation-gps/

3. 學生可透過以下網頁觀看短片 “How GPS Works 2003” 和 “How Do Global Positioning Systems Work? 2005”，進一步了解 GPS 和三邊測量。

http://www.gps.gov/multimedia/videos/

4. 教師可與學生討論 GPS 的廣泛應用，包括記錄跑步路線、量度跑步速度，和尋 找遺失的流動電話等。

5. 教師可使用以下的另一例子作為演示或活動：

若 A = (0,0)、B = (21,0)、C = (9,15)、PA = 13、PB = 20 和 PC = 5，經計算後 P 的坐標為 (5,12)。此例子顯示 P 點可以在ABC 以外。

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活動 2 三邊測量定位

1. 此活動可在學校的籃球場進行，並需要兩個排球（或籃球）和量度距離工具。

2. 標示籃球場為 ABCD（參圖 3）。教師要 求學生量度球場的長度和闊度。教師在球 場上記下三點 A、P 和 Q。為了簡化情況，

A 作為原點，而 P 及 Q 在 A 的對邊且接 近球場兩邊的中點，其坐標分別為 (p, r) 和 (q, s)。p、q、r 和 s 的數值可透過量度 度求得。

圖 3

3. 兩個排球 V₁ 和 V₂ 被放在籃球場之內。（若排球被放在APQ 之內則更佳。）

4. 學生須要在不能進入籃球場範圍內求兩個排球之間的距離。他們只能量度 A、P、

Q 及排球之間的距離。

教師注意事項：

1. 學生可使用量度距離 apps 或鐳射量度裝置量度兩個位置之間的距離，例如 AB、

AP 及 AV1等。

2. 在現實情況下，由於量度會有誤差，從而產生不一致的聯立方程。在求其中一 個排球的坐標時，教師可引導學生首先解以 A、P 和 Q 其中兩點為圓心的圓方 程。隨後，學生將經計算而得的兩交點的坐標代入以餘下的點為圓心的圓方程，

來決定哪一個坐標才是排球的正確位置。

参考資料：

1. http://electronics.howstuffworks.com/gadgets/travel/gps.htm 2. https://www.lelandwest.com/car-accessories-the-gps-device.cfm