四技二專

四技二專

統一入學測驗

數學（Ｂ）

一、試題分析

1. 今年考題仍為偏易，且命題順序與四冊章節相同，讓考生在解題過程中，有集中思 考方向之優勢。

2. 考題著重各章節之基本定義及基礎概念之運算，對於不放棄的考生皆可獲得 60 分 以上的機會。

3. 此份考題部分強調幾何與代數的結合，如第 2、23 題，皆可用繪圖輕易求出。

4. (1) 計算型的題目：

答案皆調整為整數，大幅降低考生失誤率及提升信心，更能讓學生於計算後，

簡易的代回題目驗算確認。

如第 1、5、8、9、10、12、13、17、24、25 題。

其中，第 25 題：積分後的反導函數無分數計算。

(2) 答案為分數的題目：

為單獨計算或著重概念方向，降低大量化簡通分的運算時間。

第 3 題： A、 B 兩點坐標有分數及根號，但是 x 坐標皆相同，讓 AB 降為一維距 離計算。

第 6 題：分母為 100 跟 2，通分計算簡易。

第 19 題：誤差值不須計算，只須了解大於或小於原先誤差即可。

第 22 題： 所求距離（貫軸長及長軸長）皆為標準式中輕易得出，不須運用

2 2 2

a = b + 等換算其他長度。 c

5. 考題不再為死記型單一解法，對於仔細觀察題目式子之學生，可避免冗長之計算。

第 4 題：利用廣義角畫出三角形求其他三角函數值，易犯正負之錯誤。

第 7 題： 不利用乘法公式提出相同倍數，用常用對數值 0.3010、0.6990，雖可計算 出答案，但計算量大。

第 12 題：直接計算兩個三階行列式值會增加計算量。

第 24 題：選擇用微分定義也較不妥，式子偏冗長。

106 年

6. 對於數值範圍熟稔之同學，可輕易剔除部分選項。

第 4 題：sin θ > 、cos 0 θ < ，角度為第二象限。所求 tan 0 θ + sec θ < ，(C)(D)剔除。 0 第 6 題：

2 1

3

243

5

0.027 1 1 2 32

 

+     < + = ，(C)(D)剔除。

第 7 題： ( ^{log 2} )

²

+ log 2 log 5 log 5 1 1 1 3 × + < + + = ，(A)(B)剔除。

第 14 題：主菜有三種選擇非常容易，故答案應為 3 的倍數，(A)(B)剔除。

第 20 題： sin θ + 3 cos θ < + 1 3 ≈ 2.732 ， a < ，(A)(D)剔除。 3 值得一提，第 2 題：如果算出 a = ，則答案僅(A)符合。 3

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 1 不等式及其應用 1

三角函數 3 排列組合 2

向量 1 機率 2

指數與對數及其運算 2 統計 2

數列與級數 1 三角函數的應用 2

式的運算 2 二次曲線 2

方程式 2 微積分及其應用 2

數學 B 參考公式

1. 三角函數的和角公式： ^sin ( ^{α β +} ) ^{= sin cos α β + cos sin α β 。}

2. △ ABC 的餘弦定理： a

²

= b

²

+ c

²

− 2 bc cos A 。

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 在坐標平面上，若直線 L 通過兩點 ^A ( ) ^{2, a ， B a} ( ) ^,5 ，且直線 L 的斜率為 2 ， 則 a =

(A) 2 − (B)1 (C) 2 (D) 3。

( ) 2. 已知 y = 2sin x + ， 0 1 ≤ ≤ x 2 π 的圖形與水平線 y = 、 1 y = 、 0 y = − 的交點 1 個數分別為 a 、 b 、 c ，則下列何者正確？

(A) a = 、 3 b = 、 2 c = (B) 1 a = 、 2 b = 、 2 c = 2 (C) a = 、 2 b = 、 3 c = (D) 2 a = 、 1 b = 、 3 c = 。 1 ( ) 3. 已知 A 點坐標為 cos ,sin

6 6

π π

 

 

  ，B 點坐標為 11 11

cos , tan

6 6

π π

 

 

  ，則線段 AB 的

長度為何？

(A) 1 3

2 + 3 (B) 2 3

2 + 3 (C) 1 3

2 + 2 (D) 1 2 3 2 + 3 。 ( ) 4. 已知 7

sin θ = 25 ， 24

cos θ = ⁻ 25 ，則 tan θ + sec θ = (A) 4

3

− (B) 1 7

− (C) 1

7 (D) 4 3 。

( ) 5. 已知坐標平面上三點 ^A ( ) ^{1, a 、 B} ( ) ^{2,3 、 C} ( ) ^5,1 ，若向量內積 AB BC   ⋅ _的值為 1，則 a =

(A) 3 − (B) 1 − (C)1 (D) 2 。 ( ) 6. 求 ( )

1

2 5

3

243

0.027

32

 

+     的值。

總 分

106

學年度四 技二專統 一入學 測驗

數學(B)

(A) 3

32 (B) 159

100 (C) 12

5 (D) 81 32 。 ( ) 7. 求 ( ^{log 2} )

²

+ log 2 log 5 log 5 ⋅ + 的數值。

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D)1。

( ) 8. 若 a 為正整數，且1、 a 、 2a 為等比數列，則 a

²

+ = 1 (A)1 (B) 2 (C) 5 (D)10 。

( ) 9. 已知多項式 ^{f x} ( ) ^{= 2 x}

²

^{− 5 x + ， 2 g x} ( ) ^{= x}

³

^{− x}

²

^{+ ax + 。若 b f x} ( ) ^{+ g x} ( ) ^可以

被 x

²

+ 整除，則 a b 1 + = (A) 2 − (B) 0 (C)3 (D) 5 。

( ) 10. 已知 x − 為多項式 1 ^{f x} ( ) ^{= x}

²

^{+ ax + 的因式。若 b f x 除以} ( ) ^{x + 的餘式為 6 ， 1}

則 3 a + 2 b =

(A) 10 − (B) 5 − (C)1 (D) 5 。

( ) 11. 已知一元二次方程式 x

²

+ − = 有兩相異實根 a 、b ，若 a b x 5 0 < ，則b a − = (A)1 (B) 5 (C) 2 5 (D) 21 。

( ) 12. 若兩個三階行列式的和

3 2 1 3 2 1

2 2 2 2

4 2 3 4 2 3

a a

− +

−

之值為 20 ，則 a =

(A) 1

2 (B) 2 (C) 5

2 (D) 3。

( ) 13. 若一元二次不等式 x

²

− 2 x − < 的解為 a x b 3 0 < < ，則 a b + = (A) 3 − (B) 1 − (C) 2 (D) 3。

( ) 14. 某自助餐店提供 80 元的便當，便當中除了白米飯之外，還包含一種主菜以 及三種不同的配菜。若今日提供的主菜有雞腿、排骨、魚排 3種，另有 8 種 不同的配菜，則共可搭配出多少種不同組合的 80 元便當？

(A) 59 (B)112 (C)168 (D) 210 。

( ) 15. 某飲料店有 5 位假日工讀生，工作時間有週六的早班與晚班、週日的早班與 晚班等 4 個不同時段。一個時段排兩位工讀生上班，如果規定同一人不可以 連續排班，至少要隔一個時段上班，則共有幾種排班方式？

(A) 81 (B) 270 (C) 900 (D)1000 。

( ) 16. 同時投擲兩粒公正骰子，兩粒骰子點數之和為 5 的倍數之機率為何？

(A) 1

12 (B) 1

9 (C) 7

36 (D) 1 3 。

( ) 17. 已知一袋中有大小相同的球共 34 顆，每顆球上有一個號碼， 34 顆球的號碼

皆不同，分別是1至 34 號。今從袋中隨機取出一球，假設每顆球被取到的機

會均等，並規定：取出的球號是 5 的倍數時可得 51元，取出的球號是 7 的倍

數時可得 85 元，其他的情況時可得17 元，則自袋中任取一球，得款的期望

值為多少元？

(A) 31 (B) 26.5 (C) 20.5 (D)19 。

( ) 18. 某班有 40 位同學，第一次期中考數學成績的次數分配表及以下累積次數分 配表如表（一），求 a b c d + + + =

成績（分） 0～20 20～40 40～60 60～80 80～100

次數 4 a 10 12 c

以下累積次數 4 12 b 34 d

表（一）

(A) 50 (B) 64 (C) 70 (D) 76 。

( ) 19. 研究人員為了調查秋刀魚的長度（以公分計） ，隨機捕獲秋刀魚若干條，逐條 記錄長度，並據之求出秋刀魚長度的 95% 信賴區間為 [ 30 0.85,30 0.85 − + ] ， 若利用同樣數據計算出秋刀魚長度的 99% 信賴區間為 [ ^{a b a − , + ，則下列 b} ]

敘述何者正確？

(A) a = 30 且 b > 0.85 (B) a = 30 且 b < 0.85 (C) a = 30 且 b = 0.85 (D) a ≠ 30 。

( ) 20. 已知 ^{sin θ + 3 cos θ = ⋅ a sin} ( ^{θ + b} ) ^{， a > ， 0 0 ≤ ≤ b 2 π ，則下列何者正確？}

(A) a = ， 4 b π 6

= (B) a = ， 2 b π 3

= (C) a = ， 2 4 b 3 π

= (D) a = ， 4 b π 3

= 。 ( ) 21. 已知 △ ABC 三內角 A ∠ 、 B ∠ 、 C ∠ 的對應邊長分別為 a、b、c。若 a = 2 ，

2

b = ， c = 3 1 − ，則最大內角的角度為何？

(A)105° (B)120° (C)135° (D)150° 。 ( ) 22. 已知雙曲線

2 2

: 1

25 16 x y

H − = 兩頂點的距離為 a ，橢圓 :

^{2 2}

1 16 25

x y

E + = 長軸長

為 b ，則 a b + =

(A)16 (B)18 (C) 20 (D) 22 。 ( ) 23. 已知橢圓

2 2

: 1

16 4 x y

E + = 與圓 C : x

²

+ y

²

− 8 x + 12 = ，則橢圓 E 與圓C 有多 0 少個交點？

(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。 ( ) 24. 求函數 ( )

²

^{2 2}

2

x x

f x x

+ +

= − 在 x = 的導數。 1 (A) 9 − (B) 8 − (C) 7 − (D) 6 − 。

( ) 25. 求定積分 _∫

²₀

^{6 x x} (

²

^{− 1} )

²

^{dx 之值。}

(A) 24 (B) 26 (C) 28 (D) 30 。

106 年統一入學測驗 數學(B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

利用直線上任兩點所構成的斜率即為此直線 的斜率，便可輕易求出。

( 1, 1)

A x y ，B x y( 2, 2)

⇒ ^{2 1}

2 1

AB

y y

m x x

= −

− （x₁≠ ） x₂

A 、 B 兩點在直線 L 上

⇒ m_AB=m_L

⇒ 5 2 2 a a

− =

− ⇒ 5− =a 2a− 4

⇒ 3a= ⇒ 9 a= 3

2. 〈法一〉

幾何求法：

需了解 sin x 圖形及上下伸縮、平移的概念，

繪出其函數圖形，方可輕易看出交點

由上圖可看出a= ，3 b= ，2 c= 1

〈法二〉

代數解法：

知(1)方程式的聯立解就是圖形的交點 (2) sin x 特殊值所換算的角度

若y=2sinx+ = 1 1

⇒ 2sinx= ⇒ sin0 x= 0

⇒ x= ，0 π ， 2π ⇒ a= 3 若y=2sinx+ = 1 0

⇒ 2sinx= − ⇒ 1 1 sinx= − 2

⇒ 7 x₌ 6π

，11 6

π _⇒ 2 b= 若y=2sinx+ = − 1 1

⇒ 2sinx= − ⇒ sin2 x= − 1

⇒ 3 x 2π

= ⇒ c= 1

3.

三角函數廣義角的換算及兩點的距離

cos11 cos 2 cos

6 6 6

π = ^ π−π ^= ^−π ^

   

cos 3 6 2

= π =

tan11 tan 2 tan

6 6 6

π = ^ π−π^= ^−π ^

tan 1

6 3

= − π = −

cos ,sin 3 1,

6 6 2 2

A π π  =  A^ ^

11 11 3 1

cos , tan ,

6 6 2 3

B π π  = B^ − ^

∴ 1 1 1 3

2 3 2 3

AB= − − = +

1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.B 7.D 8.C 9.D 10.B

11.D 12.B 13.C 14.C 15.B 16.C 17.A 18.D 19.A 20.B

21.C 22.C 23.B 24.A 25.C

4.

三角函數之商數關係及倒數關係 tan sin

cos θ θ

= θ 及 1

secθ cos

= θ

sin 1 sin 1 tan sec

cos cos cos

θ θ

θ θ

θ θ θ

+ = + = +

7 32

1 32 4

25 25

24 24 24 3 25 25

= − + = − = − = −

［另解］

sin 7 0

θ=25> ⇒ θ∈第一、二象限 cos 24 0

θ =⁻25 < ⇒ θ∈第二、三象限

∴ θ∈第二象限

故 7 25 32 4

tan sec

24 24 24 3 θ+ θ= + = − = −

− −

5.

兩點求向量，向量坐標表示法的內積運算 (1) A x y 、( 1, 1) B x y( 2, 2)

⇒ AB



=(x2−x y1, 2−y1)

(2)



a =(x y1, 1)_、



_{b =(x y2, 2)}

⇒

 

a ⋅ b =x x_{1 2}+y y_{1 2}

(^{2 1,3} ) (^1,3 )

AB



= − −a = −a

(^{5 2,1 3}) (^{3, 2})

BC



= − − = −

∵ AB BC

 

⋅ =1

⇒ ^{1 3}× + − × − = (^{3 a}) ( )^{2 1}

⇒ 3 6 2− + a= 1

⇒ 2a= 4

⇒ a= 2

6.

指數律基本運算

( )

^{an m =anm}

( )

1

2 5

3 243

0.027

32

  +  

 

2 1

3 5

27 243 1000 32

   

=  + 

2 1

3 3 5 5

3 5

3 3

10 2

   

=  + 

   

2 1

2 1

3 3 9 3 9 150 159 10 2 100 2 100 100 100

= + = + = + =

7.

知悉常用對數

( )

log 2 log 5+ =log 2 5× =log10 1=

(^{log 2})²+log 2 log 5 log 5⋅ +

( )

log 2 log 2 log 5 log 5

= + +

log 2 log10 log 5

= ⋅ +

log 2 log 5 log10 1

= + = =

8.

等比數列任一項除以前一項皆為公比

1 n

n

a r

a

+ =

1、 a 、 2a 為等比數列

⇒ 2

1

a a

r a

= = （ r 為公比）

⇒ a²= ×1 2a ⇒ a²=2a

∵ a 為正整數^同除⇒^a a= 2

∴ a²+ = 1 5

9.

(1) 多項式加法運算（同類項合併）

(2) 多項式直式除法（長除法）

(3) 整除 ⇒ 餘式為零

( ) ( ) ^{3 2} ( ⁵) ( ²)

f x +g x =x +x + a− x+ + b 利用直式除法

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 3 2

3 2

2

2

1

0 1 5 2

0

6 2

0 1

6 1

x

x x x x a x b

x x x

x a x b

x x

a x b

+

+ + + + − + +

+ +

+ − + +

+ +

− + +

因為整除 ⇒ 餘式為 0

⇒ a− = 且6 0 b+ = 1 0

⇒ a= ，6 b= − 1 故a+ = b 5

10.

(1) 餘式定理：

( )

f x 除以 ax b+ 之餘式 b f a

 

= − 

  (2) 因式定理：

( )

f x 有 ax b+ 之因式 ⇒ b 0 f a

− =

 

 

1

x− 為 ^{f x}( )^{=x2+ax b+ 因式}

⇒ ^f( )^{1 = ⇒ 10} + + =  ^{a b 0}

( )

f x 除以x+ 的餘式為 6 1

⇒ f( )− = ⇒ 11 6 − + =  a b 6

−

  得 2a= − ⇒ 6 a= − 3 代入得1 3− + = ⇒ b 0 b= 2

∴ ^3a+2b= × − + × = − ³ ( )^{3 2 2 5}

11.

一元二次方程式公式解：

2 0

ax +bx+ = ⇒ c ² 4 2

b b ac

x a

− ± −

=

利用公式解x²+ − = x 5 0

⇒ 1 1² 4 1 ( )5 x − ± − × × −2

=

⇒ 1 21

x=− −2 ， 1 21 2

− +

∵ a b< ⇒ 1 21

a=− −2 ， 1 21 b=− +2

⇒ b− =a 21

［另解］

利用根與係數求解

a 、 b 為x²+ − = 兩根 x 5 0

⇒

1 1 1 5 5 1 a b ab

 + = − = −

 −

 = = −



(b a− ) (²= b+a)²−4ab

( )^{1 2 4}( )^{5 21}

= − − − =

∵ a b<

⇒ b− =a 21

12.

行列式：

a x P d a x d a P d

b y Q e b y e b Q e

c z R f c z f c R f

+

+ = +

+

( ) ( )

3 2 1 3 2 1 3 2 2 1

2 2 2 2 2 2

4 2 3 4 2 3 4 2 2 3

a a a a

− + −

+ = +

− + −

( )

3 0 1 3 0 1

2 2 2 2 1 1 2 9 4 10 4 0 3 4 0 3

a a a a a

= = = − =

依題知10a=20 ⇒ a= 2

［另解］

原式 ⇒

( ) ( )

3 2 2 1

2 2 20

4 2 2 3 a a + −

+ =

+ −

⇒

3 0 1 2 2 2 20 4 0 3

a =

由第 2 行展開得 2 3 1 20

4 3

a× =

( )

2a× −9 4 =20

⇒ 10a=20

∴ a= 2

13.

(1) 一元二次不等式求解（含一元二次因式分 解）

(2) 若α β> ，(x−α)(x−β)< ， 0 則β< < x α

2 2 3 0

x − x− <

⇒ (x−3)(x+ < 1) 0

⇒ 1− < < x 3

依題 a< < ⇒ x b a= − 及1 b= 3

∴ a+ = b 2

14.

(1) 從 n 個相異物中選 m 個之方法數=Cⁿ_m (2) 計數之乘法原理

主菜：雞腿、排骨、魚排，3 選1之方法數為

3

1 3

C =

配菜 8 種選 3 種之方法數為 ⁸₃ 8 7 6 3! 56 C = × × = 由乘法原理知：

便當組合共有 3 56 168× = （種）

15.

(1) C 之組合數運算 ⁿ_m

(2) 將時段分順序依序選取下一時段之方法 數

有一、二、三、四，共 4 個時段 第一時段從 5 人中選 2 人

⇒ ⁵₂ 5 4 2! 10 C = × =

第二時段從剩下 3 人中（第一時段選中 2 人 不可連續）選 2 人 ⇒ C³₂= 3

同第二時段之選取方式 ⇒ 第三時段及第 四時段皆為 3 種

故全部有10 3 3 3 270× × × = 種排班方式

一 二 三 四 ↑ ↑ ↑ ↑

5

C2×C³₂×C³₂×C³₂ =270

第三時段剩的1人再加 第二時段 2 人，共 3 人 第二時段剩的1人再加第一時 段 2 人，共 3 人

16.

(1) 列舉所求之所有情況

(2) 古典機率之算法 ( ) ( ) ( )

P A n A

=n S 兩粒骰子擲出點數 a 點、 b 點 記為序對( )a b ,

{

( )^{a b a b, + =5或a b+ =10}

}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

4,1 , 3, 2 , 2,3 , 1, 4 , 6, 4 , 5,5 , 4, 6

}

=

⇒ 7 種

樣本空間^{n S}( )^{= × =6 6 36}

∴ 所求 7

=36

［另解］

點數和 5 10

個數 4 3

故所求 4 3 7 6 6 36

P +

= =

×

17.

期望值

1 n

i i

i

E m p

=

=

∑

× ^{（m 為發生事件機率i pi} 的報酬）

1～ 34 號中

5 的倍數有 5 、10、15、20、25、30

⇒ 共 6 種

7 的倍數有 7 、14、21、28 ⇒ 共 4 種 不是 5 也不是 7 的倍數有 34 6 4 24− − = （種）

期望值 6 4 24

51 85 17

34 34 34

E= × + × + ×

1054 31

= 34 = （元）

18.

了解以下累積次數的計數意義即可

全班 40 人，故100 分以下累積次數 40 d= = 40 分以下人數

=20分以下人數⁺(^20～40)^分人數

⇒ 12 4 a= + ⇒ a= 8 60 分以下人數

=40分以下人數⁺(^40～60)^分人數

⇒ b=12 10+ ⇒ b=22 100 分以下人數

=80分以下人數⁺(^80～100)^分人數

⇒ 40 34 c= + ⇒ c= 6 8 22 6 40 76 a+ + + = +b c d + + =

19.

信心水準與信賴區間的意義，並了解增加誤 差可擴大信賴區間 ⇒ 提高其信心水準

95% 信賴區間為

[

30 0.85,30 0.85− +

]

⇒ 此調查之統計數值 30= ，誤差 0.85= 同樣數據之統計數值相同 ⇒ a=30

95% 增加至 99% 之信賴區間，在樣本相同下

⇒ 須擴大誤差 ⇒ b>0.85

20.

疊合公式：

sin cos a θ+b θ

2 2

2a 2sin 2b 2cos

a b

a b a b

θ θ

 

= +  + 

+ +

 

( )

2 2 cos sin sin cos

a b φ θ φ θ

= + +

( )

2 2

sin

a b θ φ

= + +

其中cos 2a 2

a b φ=

+ ，

2 2

sin b a b φ=

+

利用疊合公式

( )

sin sin 3 cos a⋅ θ+b = θ+ θ

1 3

2 sin cos

2 θ 2 θ

 

=  + 

2 cos sin sin cos

3 3

π θ π θ

 

=  + 

2 sin cos cos sin

3 3

π π

θ θ

 

=  + 

2sin 3 θ π

 

=  + 

∴ a= ，2 b₌ π3

21.

(1) 餘弦定理：

2 2 2

cos 2

a c b

B ac

= + −

(2) 三角函數特殊角在廣義角的值

∵ b a c> > ⇒ ∠ 為最大內角 B

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2 3 1 22

cos 2 2 2 3 1

a c b

B ac

+ − −

= + − =

−

( ) ( )

2 4 2 3 4 2 2 3 2 2 3 1 2 2 3 1

+ − − −

= =

− −

( )

( )

2 1 3 1

2 2 3 1 2

= − = −

−

又 0° < ∠ <B 180° ⇒ ∠ =B 135°

22.

知悉橢圓及雙曲線的標準式，並能區分標準 式中每個數字所代表之中文意義

雙曲線兩頂點距離即為貫軸長

⇒ ^{2 2} 1 25 16

x − y = 之貫軸長 2= × 25=10

又

2 2

16 25 1

x + y = 之長軸長 2= × 25=10

∴ a+ =b 20

23.

化為標準式，簡略繪出圖形，即可觀察得知 利用幾何圖解

圓C : x²+y²−8x+12= 0

⇒ (^x−4)^{2+y2= 22}

由圖可知交於 2 點

［另解］

利用代數求解

2 2

2 2

16 4 1

8 12 0 x y

x y x

 + =



 + − + =









 由得

2

2 4

4

y = −x ，代入得

2

2 4 8 12 0

4

x + −x − x+ =

⇒ 4x²+16−x²−32x+48= 0

⇒ 3x²−32x+64= 0

( ³²)^{2 4 3 64 0}

D= − − × × >

故 x 有二實數解 ⇒ 有 2 交點

24.

微分公式：

( ) ( ) ( )

f x h x

= g x

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ²

g x h x g x h x f x

g x

′ − ′

′ =

 

 

利用微分公式

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( )

( )

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

x x x x x x

f x

x

′ ′

− + + − − + +

′ =

−

( )( )

( )

( )

2

2

2 2 2 1 2 2

2

x x x x

x

− + − × + +

= −

( ) ( )( ) ( ) ( )²

1 4 1 5 9

1 9

1 1

f′ = − − × =− = −

−

［另解］

( ) ( ) ( )

1

1 lim 1

1

x

f x f

f ^→ x

′ = −

−

2 ( )

1

2 2 2 5 lim^x 1

x x

x

→ x

+ + − −

= −

−

2

1

2 2 5 10 lim 2

1

x

x x x

x

→ x

+ + + −

= −

−

( )( )

2

1

7 8 lim^x 2 1

x x

x x

→

+ −

= − −

( )( )

( )( )

1

8 1

lim^x 2 1

x x

x x

→

+ −

= − −

1

lim 8 9 2

x

x

→ x

= + = −

−

25.

(1) 1 ¹

1

n n

x dx x c

n

= + +

∫

+

(2) 積分之代數變換

令u=x²− ⇒ 1 du 2 dx= x

⇒ 1

xdx= 2du 當x= 時，2 u=2²− = 1 3 當x= 時，0 u=0²− = − 1 1

故原式 ^{3 2}

1

6 1

u 2du

=

∫

− × ×

3 2 33

1 1

3 3 1

u du 3u

− −

=

∫

= ×

^{= − −33} ( )^{1 3=27 1+ =28}

［另解］

( )

2 2 2

06x x −1 dx

∫

( )

2 4 2

06x x 2x 1 dx

=

∫

− +

( )

2 5 3

0 6x 12x 6x dx

=

∫

− +

(

^{x6 3x4 3x2}

)

²₀

= − +

6 4 2

2 3 2 3 2

= − × + ×

=28