勾股定理證明-G195

(1)

勾股定理證明-G195

【作輔助圖】

1. 以CB 為邊長向內作正方形 CBDE , DE 交 AB 於 S 點。

2. 直線 BC 上取一點 M 使得 BM BAc，以 BM 為邊長向內作正方形 BMKH . 3. BH 上取一點 R 使得 DR ACb，以 DR 為邊長向內作正方形 DRFG .

4. 作直線 GB ，交 MK 於 L 點。

5. 過 M 點作垂直 BL 的直線，交 BL 於 N 點。

6. 過 H 點作垂直 BL 的直線，交 BL 於 O 點。

7. BL 上取一點Q 使得 BQ AE，過 Q 點作垂直 BL 的直線，交 BC 於 P 點。

8. 過 K 點作垂直直線 BL 的直線，交直線 BL 於T 點，連 KT , TL .

(2)

A B C H

K

D E

G

F R

N M

P Q

S

L T

O

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的 CB 為邊長向內作正方形 CBDE ，以 MB 為邊長向外作正方形 BMKH ，再以 DR 為邊長向外作正方形 DRFG ，證明正方形 BMKH 所切割出的所有區 塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 DRFG 的面積，最後推出勾股定理的關 係式。

1. 證明三角形 HBO 與三角形 GBD 全等：

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^y^ 90^。因為GDB90^ ACB, BD a BC, DG b CA，所以

GBD ABC

   (SAS 全等),

即 DBG  CBA y^, BG BAc。因為 HBO  GBD y^(對頂角相等), 90

HOB ^ GDB

    , BH  c BG，所以

(3)

HBO GBD

   (AAS 全等).

2. 證明四邊形 MNQP 面積等於四邊形 BCES 面積：

在 BMN 與 ABC 中，因為NBM 180^90^ GBD90^y^ x^ CAB, 90

BNM ^ ACB

    , BM  c AB, HK  c AB，所以 BMN ABC

   (AAS 全等).

又因為 PBQ  x^  SAE, PQB90^  SEA, BQ AE，所以 PQB SEA

   (ASA 全等)，故

MNQP BMN PQB

ABC SEA BCES

   



四邊形面積面積面積

面積面積四邊

形面積。

3. 證明三角形 LMN 與三角形 SBD 全等：

因為 BMN  ABC，所以 MN BC a BD，又因為LNM 90^  SDB,

90 90

LMN ^ NMB ^ CBA SBD

         ，所以

LMN SBD

   (ASA 全等).

4. 證明三角形 PQB 與三角形 LTK 全等：

因為 LMN  SBD，所以 LM SB，KLKM LM  c LM AB= SB AS，又因為KTL90^  SEA, KLT  NLM 90^ LMN90^x^  ESA，所以

LTK SEA

   (AAS 全等), 又 PQB  SEA，故

. PQB LTK

   5. 證明四邊形 KTOH 與四邊形 BRFG 全等：

四邊形 KTOH 與四邊形 BRFG 中，因為KTO90^  BRF, TOH 90^  RFG,

90 90

KHO ^ OHB ^ DGB BGF

         ，所以

KTOH BRFG

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

因為 GBD  ABC，所以 BGBA c KH，又因為 HBO  GBD，所以 HOGDGF，故

(4)

KTOH  BRFG

四邊形四邊形 .

6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

(

BMKH KLOH HBO LMN

MNQP PQB

KLOH PQB HBO

LMN MNQP

    

  

   

  

 四邊形

四邊形

正方形面積面積面積面積

面積面積

面積面積) 面積

四邊

面積面積

形

四邊形

( KLOH LTK GBD

SBD BCES

BRFG GBD SBD BCES

DRFG CBDE



   

  

    

 

四邊形

面積面積) 面積

面積面積

四邊形面積面積面四邊形

積面積

面

正方形積正方形面積，

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 18 日想到的。

2. 心得：此證明利用切割的方法，將正方形BMKH 切割成五個區塊，再證明這五個區 塊的面積等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 DRFG 的面積，就能得到三個 正方形的面積關係，進而推導出勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ● ●

4. 補充：

(1) 在魯米斯書中所繪的圖形並沒有T 點，有T 點是為了方便證明三角形 PQB 的 面積加上四邊形 KLOH 的面積等於四邊形 BRFG 的面積。先證明三角形 PQB 與三角形 LTK 全等，再證明四邊形 KTOH 與四邊形 BRFG 全等，就能證得三 角形PQB 的面積加上四邊形 KLOH 的面積等於四邊形 BRFG 的面積。

(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：

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