(1)非线性物理： 非线性物理：形态发生形态发生 要干什么

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生 要干什么？

• 现在我们来处理最为困难的问题：形态发生。

• 形态是一个很难明确定义的术语，形态千姿百态、形形色色。

• 我们要面对的问题是回答千差万别的系统中为什么会产生能够稳 定演化的形态。

• 我们借助稳定性分析、随机模拟、元胞自动机、混沌和孤波物理 中的方法来处理，因此是非线性物理之集成问题。

• 通过一系列例子来说明形态发生研究的共性和特点。

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非线性物理：形态发生形态发生 可能的物理

• 我们研究的均匀物体其特征长度可视为无穷大，而扩散随机生长 过程产生的物理可视为没有特征长度。形态发生问题实质上就是 在这两者之间构建特征尺度有限的物体，即我们感兴趣的形态。

• 既然如此，构建一个特征长度一定是某种随机扩散过程与某种有 序过程的竞争，从而达到一种平衡balance，即存在特征尺度。

• 从非线性物理角度说，分形与混沌没有特征尺度，孤波的特征尺 度无限大，现在看看形态的特征尺度决定于什么。

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非线性物理：形态发生形态发生

反应-扩散系统：图灵形态

• 耗散系统自组织现象和研究已经成为一种公众的成词滥调！1945 年Ilya Prigogine就提出非平衡动力学系统总是取熵产生最小态为 选择态，1975年Rolf Landauer证明这一原理不充分。但是P大人 照样在1977年获得诺贝尔化学奖。

• 图灵形态发生针对的是化学系统，其中存在扩散和化学反应的交 互作用，而且必须是两种以上扩散和反应动力学都具有较大差别 的化学系统。产生的形态可以是稳态也可以是振荡态。

• 图灵形态因此可以认为是缓慢扩散和快速反应之间的一种非线性 竞争的结果。

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非线性物理：形态发生形态发生

• 其实化学反应系统中的扩散限制问题在1938年就由Nicolas

Rashevsky提出过，但是荣誉都被英国数学家和计算机学家图灵 捞取，因为后者在1952年建立了处理问题的数学模型。

• 图灵原意是处理生物学中的形态问题，但他建立数学模型时将生 物系统中的电学和力学效应一概去除，只剩下扩散和化学反应。

• 虽然有很多生物自组织现象可以由图灵形态动力学定性解释，但 是确定性的证据显得很不足。

• 一个故事是图灵1952年就提出的化学反应系统的形态发生问题直 到1990年由Patrick De Kepper的实验证实！

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非线性物理：形态发生形态发生

• 事实上，早在1950年代俄国生化学家 Boris Belousov就观察到化学反应中的振 荡问题，但他的论文无处发表，因为当时 此结果是不可思议的胡说，违反热力学第 二定律。

• 当然Belousov-Zhabotinsky反应形成的是 行波，而图灵形态是时间相关形态变化。

• Kepper的实验是含有chlorite亚氯酸盐离 子、iodide碘离子和malonic acid丙二酸的 化学反应(CIMA反应)。

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非线性物理：形态发生形态发生 Seashells: 形态问题

• 先不管三七二十一，来 enjoy一下海贝的美丽，排 除一下郁闷。

注意：我们南京有雨花石吧。

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非线性物理：形态发生形态发生

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非线性物理：形态发生形态发生 雨花石: 形态问题

• 转世石佛 玛瑙质，色普通，质精细，形端，纹路清晰，酷似人脸

，石之左眼及天顶有折光晃影，当转动此石时，左眼仿佛活的一 样，跟随着眼波流动，为此石奇妙之处。古之“活石”之谓盖有此 意耶？可惜其右眼不能流动，一憾。淘石坊藏。

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非线性物理：形态发生形态发生

• 神兽巡天 玛瑙质。内中图案似狗非狗，奇在耳鼻眼口腿尾俱全，

妙在身上还有一仿佛肚兜图案，足踩云端似巡狩之状。自然造物 之神奇，令人叹为观止。淘石坊藏。

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非线性物理：形态发生形态发生

• 山河守护神 玛瑙质，色普通，质完整，形状标准，纹路虚实相间

，中有一白羊栩栩如生，其侧一水牛相伴，水牛脊背上尚有一绿 身小鸟蹲于其上，石之上部呈天河之状，故命名为“山河守护神”

。淘石坊藏。

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• 春山雾霭 玛瑙质，石形完美、端好，色彩有七色之多，意境雅致

，一幅庐山春天的早晨，雾霭漫遍丛林的感觉跃然石面，恍若人 工描绘，谁知天赐雨花？淘石坊藏。

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• 参考M. Ishikawa, K. Miyajima发表在ICIC International一文。

• 象海贝和雨花石这样的形态结构源于海贝生长和雨花石沉积过程 中的空时结构形成动力学，在生物世界中这是一类很有代表性的 形态发生过程。

• 在物理上表述，这类空时结构形成依赖于具有一定随机性的

activator-inhibitor耦合系统，其研究早期是完全确定性的微分 方程，现在可以考虑生长过程中的随机性。

• 针对海贝条纹空时形成动力学的特征，提出了四种模型：

stochastic activator-inhibitor systems without saturation and ones with saturation in time-invariant or time-variant domains respectively.

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非线性物理：形态发生形态发生

• Stochastic Activator-Inhibitor Systems without Saturation

• 我们考虑一维问题：设u(x, t)和v(x, t)分别为activator物质和 Inhibitor物质的空时浓度，则演化方程可以写成：

• d_u、d_v为u、v的扩散系数，为Laplace算符，(s₁, s₂)为(u, v)的产 率，(r_u, r_v)为(u, v)的removal rate，(b_u, b_v)为(u, v)的外部供应产 率， (0, T)是时域，GRⁿ是n维开放空域。

• 考虑两种情况：时域不变，即G为固定空域；另一种，G(t)~t。

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• 从演化方程可以看到，u本身有非线性自催化功能，它能提高自 身产率并提高inhibitor(v)的产率；而v升高反过来抑制u的产率；

因此，演化可能达到一个静态(steady state)，只是这个静态局域 不稳定，会因为u的自催化行为而失稳。

• 初始条件：

• 假定物流不会超出G的边界，因此边界条件：

• 这里/表示对于G的边界外法向导数。

非线性物理：

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• 实际的海贝演化过程伴随随机性，因此需要加随机项：

• 这里w(x, t)和r(x, t)表示互不关联的Wiener过程，其/t就是高斯 噪声。

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• 上述方程可以写成：

非线性物理：

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• 上述方程可以写成：

• 针对上述方程的边界条件保持不变。

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• Stochastic Activator-Inhibitor Systems with Saturation：

• 实验观测发现，在u很高时，因为类似催化剂的酵素(enzyme)缺 乏，导致系统u最终趋于饱和，因此更合理的演化方程为：

• 这里s_u为饱和系数，在u较低时s_uu²<<1。其它参数同前。

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• 积分方程变成：

非线性物理：

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• 模拟结果：

• 由于解析求解十分困难，这里只介绍数值计算结果。

• 对于无饱和限制情况，分两种情形考虑，1，G域不变的情况：

G=(0, 100)，其它参数如下：

非线性物理：

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• 模拟结果：

• 模拟结果与一种叫做Lyria Planicostana Taiwanica的海贝形态 非常类似。

非线性物理：

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• 如果在G(t)域中，G(t)=(−0.0006t, 20+0.0006t)，模拟结果：

• 三维模拟结果是：

非线性物理：

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非线性物理：

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• 针对u饱和的情况，设s_u=0.01，恒定G域(0, 1)模拟结果：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

• 针对u饱和的情况，设s_u=0.01，G(t)模拟结果：

非线性物理：

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• 针对u饱和的情况，设s_u=0.01，G(t)模拟结果：

• 与图灵形态发生类似，这也是一个化学反应与扩散耦合在一起的 动力学演化过程。

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非线性物理：形态发生形态发生 图灵形态

• 图灵形态的关键是化学反应物质的扩散系数有很大差别。而在扩 散驱动系统中扩散总是不稳定的根源。

• 考虑两个空间时间相关的化学浓度量U(x, t)和V(x, t)，其中x表示 n维空间的坐标变量，t为时间。图灵系统关注下面的方程：

• 式中D_U 和D_V 为扩散系数，f 和g实际上为两个扩散方程的耦合项

，由此产生图灵形态。

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

• 耦合函数f 和g 的形式决定了系统的动力学特征，著名的包括 Gray-Scott模型、Gierer-Meinhardt模型、Selkov模型、

Schnackenberg模型、Brysselator模型和Lengyel-Epstein模型。

• 图灵形态的静态解为(U_c, V_c)，对应于f(U_c, V_c)=g(U_c, V_c)=0。如果 没有扩散存在，那么围绕(U_c, V_c)进行的微小扰动都会导致系统 回到(U_c, V_c)态，但是如果存在扩散，那么系统动力学就不一样 了。

• 考虑一个最简单的图灵模型，由Barrio提出，只保留到三次项：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

• 式中u=U-U_c，v=V-V_c，静态解在(u=0, v=0)处；r₁, r₂,









，其中D1。进行无量纲处理后得到：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

式中C=r₂/(

















• 上述方程有静态解(u_c, v_c)=(0, 0)。h-1时存在另外两个静态解：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生 线性稳定性分析：

1. 线性稳定性分析针对的是静态附近的系统演化行为。先考虑无扩 散的情况：

式中f_u, f_v, g_u, g_v为相应偏导数，u_c和v_c由前面给出。矩阵A如下：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

2. 下面考虑有扩散的情形。假定在(u_c, v_c)附近有如下线性稳定性涨 落解，其中k为涨落的波数：

3. 将上述解的形式带入到线性化处理后的演化方程组中，得到如下 本征值方程：

式中A由原始定义给出，D₁₁=D_u, D₂₂=D_v, D₁₂=D₂₁=0。对无量纲 演化方程，我们有D₁₁=D和D₂₂=1。上式的代数表达式为：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

4. 上式中k²=k









非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

5. 上述方程只有一个解：

6. 图灵不稳定性发生在a<a_c的情况下，由此可以得到：

7. 数值计算和线性稳定性分析表明：h<-1时，(0, 0)不再稳定，其 它的静态将出现Hopf分叉，呈现阻尼的随时间振荡形态，没有 特征长度。如果h>-1，则将出现更为复杂的空间时间振荡特征。

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

8. 下面只讨论h=-1的情况，此时(0, 0)为唯一的静态解，这就是图 灵形态。此时图灵不稳定性只能出现在下面两式包围的区域：

9. 在整个动力系统区域，图灵形态发生事实上只能在一个很小的区 域内。其它区域对应的是稳态或者其它种类的不稳定性。

10. 求解色散关系，即本征值与波数的关系，可以判断初始线性失稳 区对应于哪些波数会失稳。那些本征值实部为正的波数将会长大

，而那些为负的波数将衰减下去。那些实部为零，虚部非零的则 是Hopf分叉，与图灵失稳不同。

非线性物理：

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非线性物理：形态发生形态发生 11. 色散关系举例：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生 12. 色散关系举例：

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非线性物理：形态发生形态发生 1. 两种形态：

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非线性物理：形态发生形态发生 非线性稳定性分析：

1. 分叉理论是非线性稳定性分析的有力数学工具，就图灵形态发生 而言，分叉分析将告诉我们在系统参数改变时不同的简单形态之 稳定性是如何变化的。

2. 当然，分叉分析在数学上很复杂，我们这里只是进行一些非常简 略的分析，很多数学推导就省去不提了。

3. 分叉分析的基本思路是得到空间浓度场中那些active的傅立叶模 式：

非线性物理：

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式中



非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

1. 分叉分析包括三个步骤：在特定对称性条件下推导振幅方程的一 般形式；决定振幅方程的参数值；最后借助对振幅方程系统的线 性稳定性分析，来判断不同形态的稳定性。

2. 关于形态发生的研究方法，我们前面已经提到对于无界面问题最 佳的分析方法就是振幅方程。图灵形态问题也是一个例子。

3. 一个动力学系统含有n个非稳的模式k_j(j=1,2,…,n)，其振幅为W_j

。关于W_j的振幅方程一般包括两项：前面线性稳定性分析给出 的具有正本征值的线性增长项和不同非稳定模式之间耦合导致的 非线性耦合项：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

4. 对于线性项，可以根据失稳起始点处的本征态来描述，根据前面 的分析，就有：

非线性物理：

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这里参数R=



而非线性耦合项f(W₁,…,W_n)可以通过几何方法来讨论对称性而进 行处理。

5. 在二维扩散-反应系统中，典型的形态是条状和六角对称的点状

。而在三维情况下，可以是简单立方SC、体心立方BCC和面心 立方形态。

6. 下面我们讨论几种具体情况。

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生 二维六角点阵：

1. 二维六角点阵的波矢量有三个：k₁=k_c(1,0), k₂=k_c(-1/2,3/2)和 k₃=k_c(-1/2,- 3/2)，满足k_1,2,3=k_c。从矢量分析角度说，有k₃=- k₁-k₂，所以这三个矢量间存在共振模式。在推导振幅方程时必须 考虑这一因素。在其它对称性情况下，这种共振模式未必存在。

非线性物理：

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1. 由此可知，在振幅方程中f_j(W₁,W₂,W₃)(j=1,2,3)中存在平方项(- W*_j+1)(-W*_j+2)。其它的等价于k_j波矢组合包括：k_j-k_j+k_j, k_j+1- k_j+1+k_j, k_j+2-k_j+2+k_j。这些组合对f_j(W₁,W₂,W₃)的贡献变成-

W_j²W_j, -W_j+1²W_j, -W_j+2²W_j。

2. 我们假定只考虑到三次项后振幅方程演化达到饱和，更高项不再

考虑，则振幅方程就是：

非线性物理：

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式中系数、g和可以根据原始扩散反应方程来决定：

但是确定这些系数的数学十分复杂，本课程很难讲述明白。

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非线性物理：形态发生形态发生 三维立方点阵：

1. 三维简单立方点阵的波矢量有三个：k₁=k_c(1,0,0), k₂=k_c(0,1,0)和

k₃=k_c(0,0,1)，满足k_1,2,3=k_c。这些矢量是线性不相干的，所以 之间不存在共振模式。振幅方程为：

非线性物理：

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1. 三维体心立方点阵的波矢量有四个：k₁=k_c(1,1,1)/3, k₂=k_c(1,1,- 1)/3, k₃=k_c(1,-1,1)/3和k₄=k_c(1,-1,-1)/3，满足k_1,2,3,4=k_c。这四 个单位矢量并不是不相干的，因为k₂+k₃-k₄=k₁，所以存在立方共 振耦合项。振幅方程为：

非线性物理：

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中心流型梯减(CMR: central manifold reduction)：

1. CMR方法的根本目的是将浓度空间映射到高维等价的振幅波矢

空间。中心流型就是将波矢空间中稳定区与非稳定区分开的表面

。使用这一方法可以将振幅方程右边的各个系数推导出来。详细 的推导证明我们不再讲述。

2. 应用到二维六角点阵，可以得到：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生

对其它的点阵可以依此类推了。

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非线性物理：形态发生形态发生 1. 简单立方点阵：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生 2. 体心立方点阵：

非线性物理：

非线性物理：形态发生形态发生 图灵结构稳定性分析：

1. 在得到了振幅演化方程之后，我们再对振幅演化进行线性稳定性 分析。

2. 首先确定振幅系统的静态解W_c，这强烈依赖具体系统的对称性

。然后对振幅方程进行线性化处理。例如，对下面的二维六角点 阵振幅方程进行线性化处理：

非线性物理：

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可以得到相应的Jacobian线性矩阵A：

然后我们求线性化方程dW/dt=AW的本征值随参数C的变化来决 定振幅的稳定性。

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非线性物理：形态发生形态发生 二维六角点阵：

1. 二维六角点阵存在两种形态：条状和六角点状：W_c=(W₁^c,0,0)^T和 W_c=(W₁^c=W₂^c=W₃^c)^T。其振幅线性化方程中第一项指数项线性化 为一次项，这样，线性化方程变为：

非线性物理：

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其静态解由dW_j/dt=0决定：

非线性物理：

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1. 对条状形态，线性化处理的本征值为：

3. 下面可以计算这些本征值与参数C的关系了。那些为正的本征值 对应的振幅将消失，而那些本征值为负的振幅将保持稳定而被观 察到。

2. 对六角形态，线性化处理的本征值为：

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电影：

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作业：