(1)非线性物理： 非线性物理：分形物理分形物理 相变问题

非线性物理：

非线性物理：分形物理分形物理 相变问题：

• 经典统计物理关注的相变问题一般是针对具有平移对称性的物理 对象，在空间上具有整数维。典型的是Eden模型和Ising模型。

• Ising模型在d=1时无相变，d=2和3时有有限温度相变。模型哈密 顿可以写为：

1

, h

J )

( H H

i

i j

, i

j

i   







 



















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非线性物理：分形物理分形物理

• 在h=0时，如果d=1，T_c=0；如果d=2，T_c满足白银解：

c c

c ) 2 1, K J / kT K

2 exp(

: 2 d

For     

c c

c , K J / kT 2

1 ) 5

K 2 exp(

: 3 d

For  







• 在h=0时，如果d=2，还没有严格解，有人声称T_c满足黄金解：

• 在T_c附近，系统热力学量满足幂指数律，且有有限尺度标度：

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• 这些临界指数对于二级相变都有确定的数值：

• d=2时：=0, =1/8, =7/4, =15, =1/4, =1；

• d=3时：有人猜测=0, =3/8, =5/4, =13/3, =1/8, =2/3

• 二级相变有所谓如下普适关系：

1) - (

,

2

2

    



• 对分形物理来说，当空间维度d d   ^{时，相变行为如何？}

• 当空间本身就是一个确定的分形体(d_f)时，相变行为如何？

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Eden模型：

• Eden模型的要点是一个点阵 中颗粒随机加在一个已存在颗 粒的周边近邻位置上。

• 这种生长是平衡的，产生的团 簇cluster形态比较密实，具有 不很严格的拓扑形态。

• 右图就是一个在二维正方格点

产生的Eden团簇。 所谓的 -expansion 物理

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• 这一模型很简单，比较有意义的两个问题是：

(1) 是不是有严格的拓扑关系：分形维D_H=2.0？

(2) 团簇周边形态或者说几何涨落有多大？与团簇回转半径有什 么关系？

R H

D D

R R

R )

r ( N







• 式中R为团簇以中心为原点定义的半径，^{R是团簇边缘形状相对} 于回转半径R的涨落，这里两个R有不同，后一个R是回转半径。

• 后面会证明：在团簇足够大时，D_H~2.0，D_R~0.0。

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• 看看一个具有内部自由度的Eden模型，所谓magnetic Eden

model (MEM)。D=2时，模型将颗粒分成两类：向上spin和向下 spin (_i⁼^{1)，其哈密顿为：}

• 式中=1/kT、J是spin之间的交互作用、H是外场，<i,j>表示对最 近临求和。

• 这个模型事实上就是Ising模型，将其放在一个Eden集团上来研 究。

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• 当 ·J=0时，上述模型就回到了标准的Eden模型。它的内涵比 Eden模型要丰富得多。

• MEM模型在一维情况下有严格解，那是统计物理的任务，我们 这里就懒得麻烦了，后面看看基本结论。这里先看看二维情况。

• 该模型二维模拟的基本步骤是：

• 构造一个二维正方点阵，在中心点设置一个颗粒=1。

• 在中心点四周四个最近临位置任选一个，然后假定加上一个=1 或者=-1的颗粒，也是随机选择。

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• 计算(E)=(E)_after-(E)_before，计算：

• 这个颗粒是否稳定停留决定于概率p的大小，随机决定。

• 上述过程是Monte Carlo方法的基本步骤。

• 上述模拟也可以沿另外一个路径进行：

• 对中心点四周四个最近临位置的每一个都进行上述步骤，即假定 加上一个=1或者=-1的颗粒，随机选择。

 











 



 p p if ( E ) 0 0 )

E (

if 1 ) p

E (

exp

p  



 



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• MEM模型可以应用到磁学之外的很多系统：

• (1) spin可以是元素种类X和Y，这样可以应用到二元化学系统。

因此spin up和spin down的比例可以外部定义。

• (2) 材料中杂质与缺陷与晶格有很强的交互作用，可以研究材料 中杂质或者缺陷效应。

• (3) Salmonella细菌细胞也呈现两态行为：其中一些基因可以被“

开”和“关”。

 

   



i

i i

i R p , p , p , p

) E (

exp

) E (

p exp  



 











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• (4) 外场项可以表示外磁 场、外电场或者化学势、

压力等等，只要互作用的 形式是一样的就行。

• 我们略去外场项，只是研 究双态和交互作用行为。

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• 粗略一看，MEM在形态上与Eden标准模型没有什么不同：密实 形态，但是因为内部存在spin up和spin down，其内部具有新自 由度：内部团簇结构。

• J<0意味着负的耦合效应，团簇内自旋趋向于反铁磁分布，虽然 不是十分严格。

• J>0意味着正的耦合效应，团簇内自旋趋向于铁磁分布，是十分 严格的，决定于^{J的大小。}

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• 在MEM生长过程中存在着spin之间的竞争，这在Eden模型中是 没有的。

• 有意思的问题是什么情况下一种spin会占主导地位而另一种自旋 作用变弱或者消失？

• 可以定义体系磁化强度来表征：所有正负spin的代数和，其中<>

代表组态平均：

i J

N i

M 1











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• 一维MEM模型的严格解见：M. Ausloos, N. Vandewalle, and R.

Cloots, Europhys. Lett. 24, 629 (1993).

• 基本结论是存在一个临界(^J)_c，在(^J)<(^J)_c，体系的M=0。

• 在(J)_c处，体系发生一个相变，M>0。体系的主导spin状态由第 一个颗粒的spin来决定。

• 这个(J)_c与系统大小N有如下标度关系：

N ln

) J

( 



• 二维MEM动力学比一位MEM有趣得多！^_^

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J_J

更大将如何？ 更大将如何？

如果我们强制两种自 如果我们强制两种自 旋的比例不能变，一 旋的比例不能变，一 个 个

被拒紧接着它再 被拒紧接着它再

来，如何？

来，如何？

• 随J不断增大的结果！^_^注意所谓granular特征。

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• 第一个有趣的模拟事实如下：

• (1) 随着J的增加，存在一个所谓密实形态向分形形态再向颗粒 状形态转变：compact-fractal-granular transition，转变发生在 (^J)_c^处。

• (2) 我们就spin up颗粒和spin down颗粒分别定义分形维：









f f

D D

R

~ n

R

~ n

• 其中n⁺和n^-分别是spin up和spin down颗粒的数目。计算时以中心 点为原点测算。

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• (3) 上图是中心颗粒spin up的100次模拟平均结果，D_f^-具有很大的 统计误差，与J的关系难以确定。当中心颗粒是spin down时，

上面的结果刚好相反。

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• (4) 在^{J很小和很大时，D}_f⁺均接近2.0，是欧基里德维度。

• (5) 随^{J的增大，D}_f⁺的变化呈现一个V形，在^J=(^J)_c=1.20.1时 达到最小值(D_f⁺)_min=1.79 0.03。说明spin up的颗粒团簇是一个分 形，而spin down的团簇不是。

• (6) 在J<0时， D_f⁺和D_f^-都等于2.0，因为up和down都是均匀分布 的，不存在聚集特征。

• 第二个有趣的事实：对应于(D_f⁺)_min的(^J)_c与体系大小N有对数关 系，与一维情况一样。

N ln

) J

( 



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能不能验证一下这个关系有没有饱和的趋势？

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• 第三个有趣的模拟事实是表面形态：

• (1) 所谓“缺顶”位置就是体系表面位置最近临的空位置数目，被 体系颗粒总数目归一化：体系内平均每个spin的缺顶位数目l。

• (2) l与N的关系指数称为 “缺顶”幂指数(lacunarity power law exponent)，用^来表示。











 

 ^

clusters MEM

for 1.00

0.56

model Eden

for

01 . 0 56

. N 0

l ¹



 

• (3) 在(J)_c处我们观测到缺顶幂指数从0.56开始增大，在J=

2(J)_c处达到1.0。记住 非常接近0.5。

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• (4) ^具有关于^{J=0的对称性，在(}^J)_c=-1.2处开始增大到1.0。

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• 第四个有趣的模拟事实是磁化强度或者磁矩：铁磁转变在(J)_c处 开始发生。

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• 更多有趣的行为可以作：

• (1) 从相关函数的角度处理上述问题该是如何？

• (2) 如果有微小外场作用，上述行为该如何？如果是交变外场该 是如何？NEW！！

• (3) 在 J 与空间相关时上述性质仍然存在吗？New!

• (4) 如果J 是随机场会如何？

• (5) 在什么情况下体系内部spin团簇会发生渗流？Percolation

• (6) 如果存在表面扩散该是如何？

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分形上的 _Ising模型 (PRL 45, 855 (1980))：

• 与Eden模型比较，一个fractal不再满足平移对称性，而具有标度 不变性。描述一个fractal有不同变量d_f：the topological

dimensionality, the order of ramification, the connectivity, the lacunarity等。

• 我们从最简单的Koch分形开始(左边不分叉，右边分叉)。

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• 我们有d_f=ln4/ln3，即b=1/=3, N=4。再定义R (the order of

ramification)为格点分叉数目，R=2表示不分叉，即连接每个格点 都是左右两个键，无分叉发生。

• 上述Koch曲线每个格点赋一个spin，构成Ising模型。这里为了处 理方便，我们给spin b-d之间，spin a-f之间加上交互作用。

• 利用重整化处理步骤，对Koch曲线上的spin交互作用进行计算，

而b-d和a-f之间则在重整化计算之外。得到递推关系(recursion relation)为：













 



kT /

J K

, K tanh

) 1

/(

) 1

( x

x x

3 3

4









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• 这个递推关系让我们可以进行稳定性分析。

• 定常态为 K=0 (T)和 K (T=0)：没有T >0相变，呵呵！

• 对T=0附近作线性稳定性分析：











 



f y

d ln4/ln3

1/

y

exp(-2K) t t

b

t



• 类似的递推关系可延伸到N>4：y=lnN/lnb。对所有R=2的系统，

都没有非零的相变。













 



kT /

J K

, K tanh

) 1

/(

) 1

( x

x x

3 3

N









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• 下面来看具有分叉行为的分形，如图所示。显然，分形从R变化 的角度已经不再均匀：

• d_f=ln5/ln3 ln7/ln3 2

• 对(b), (c), (d)均有y=1/=ln2/ln3~0.63。

• 以Sierpinski gasket为例分析：d_f=ln3/ln2~1.585, R=3 or 4，递推 关系为：

3 )

K 4 exp(

) K 8 exp(

4 )

K 4 exp(

3 )

K 12 ) exp(

K 4

exp(  



 



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• 在T0时有：

K)) exp(4exp(4

~

,

, 0 y

...

t 4 t

) t

( ²   ²  ⁴   





• 因此，对所有Koch分形，只要R是有限的，则T_c=0。

• 再看另类的分形Sierpinski carpet：R=, b=7, l=3，其构造方法是 将正方形分为b²个小正方形，然后挖去其中的l²个小正方形。

• 维数d_f=ln(b²-l²)/lnb，关联度Q=ln(b-l)/lnb。

SC_a(7, 3) SC_b(7, 3)

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• 我们在这个点阵中每个格点上放入一个自旋，构成一分形点阵。

• 考虑最近邻交互作用的Ising模型。

• 在T0时，通过重整化群计算，配分函数为：

• 其中E₀是基态、而6K表示最低激发态，表征被挖区域(这里的格 点的自旋只有3个近邻格点自旋)边界格点自旋发生翻转所需的能 量。

• 所谓的多数规则(majority rule)重整化群分析得到新的配分函数：

...) )

K 6 exp(

g 1

)(

E exp(

Z   ₀  ₁  

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• 这里m>6。

• 同样，这里T0和T 也都是稳定点。

• 但上述配分函数至少存在一个非稳定的非零定点：T_c>0，对应的 著名迭代关系为：

(m/6)K K

0, T

at

...) )

K m exp(

g 1

)(

E exp(

A Z

Z _{0 1}

 



 

 

 



 



] K /

K ) b

[(

tanh

] K /

K ) l

b [(

tanh K

tanh

) bK (

tanh ]

K K

) l

b [(

tanh K

tanh

w b

w l

w

b w

l















 







 





2 1

2 2

1

2 1

1

1

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• 只要是m>6，必然有T_c>0。

• 结论：对于分形体，只要R，必然有T_c>0。

b=7 and l=5 b=7 and l=3

=tanhK, _w=tanhK_w

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本节作业(选)：尝试模拟Sierpinski Carpet或者干脆在一个 DLA上的Ising模型相变：

• SC构造如下(举例)，而d_f=ln(b²-c²)/lnb，d_f=ln(l²(b²-c²))/ln(lb)：

• SC_a(b=5, c=3) SC_b(5, 3) SC_c(3, 1, l=2)

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• 构造分形；

• 模拟其M、^、、C等与温度的关系，特别是在T_c附近；

• 尝试在Tc附近进行临界指数和有限尺寸效应的分析；

• 验证超级标度关系：d_f=2/+/^。