标度对称性：物理学实例

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非线性物理：

非线性物理：分形物理分形物理

标度对称性：分数维布朗运动

• 标度对称性是分形体重要的性质，它反映了分形结构的多尺度性和自相似性。通过一些熟悉的物理过程还可分析此标度对称性。

• 从随机布朗运动开始。分子平均位移方差和自相关系数：

• R()是指数函数，T为特征时间。R()的傅立叶变换就是布朗运动 的功率谱 S(f)：

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非线性物理：

• S(f)属于噪声宽带谱，所以布朗运动也是褐色噪声。

• 如果有一噪声信号 x(t)，其傅立叶变换为 ，则：

• 功率谱 S(f)就是其变换系数模的平方：

• 对布朗运动，指数 =2。上式微分一次得：

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非线性物理：

• 对应的功率谱 S(f)满足：

• 对另外一类布朗运动，S(f)~f ⁰，即白噪声，它可以产生于布朗运动微分。一般噪声的功率谱指数 [0, 2]。

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非线性物理：

• 如果我们将布朗运动普遍化，这就是分数维布朗运动：

• 标度指数 =1/2对应普通布朗运动。注意到量纲等价条件：

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非线性物理：

• 任意随机信号也可以表示为：

• 上式证明很简单，但是表示了将原有信号的自变量 t 改变  ^倍，

则对应的振幅也要改变 ^-^ 倍，则信号彼此在统计上没有差别。

这就是标度不变性和自相似性。

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非线性物理：

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非线性物理：

• 以普通布朗运动为例说明其分维：因为 x(t) 和 x(2t)/2^ 自相似，

对 t[0,1]区间，用尺度 r 去测量得到 N 个单元(N=1/r)。

• 现在用尺度 r/2 去测量t[0,1/2]区间内单元个数。因为指数标度的 缘故， t[0,1/2]区间内单元数变成t[0,1]区间内单元数的1/2^倍

，再用 r/2 的尺度去测量，就会测得 2N/2^个单元。

• 对t[1/2,1]区间也是一样，总共在t^{[0,1]区间测得2}^2-^^{N个单元。}

• 依此类推，用尺度 r/2^k 测量，得到(2^2-^)^kN个单元，维数D是：

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非线性物理：

标度对称性：物理学实例

• 临界现象中的标度不变性：

• 湍流体系中，相距为 r 的两点速度差 v(r) 是随机信号，

Kolmogorov证明：

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非线性物理：

• 对于湍流，标度不变性也是成立的：

• 对于双变量体系，幂指数标度不变性也成立。以布朗运动为例，

x(t)的概率分布满足：

• 作变换后得到：

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非线性物理：

• 上式说明标度变换能够保持体系许多本征性质不变。

• 再一个双变量体系是铁磁相变。自由能 f 是温度 t 和外场 h 的函 数，作如下变化可得到重整化标度不变性：

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非线性物理：

• 磁化强度m：物理上定义磁化强度m是 f 对 h 的导数：

• 在相变点附近：

• 还可以进一步得到磁化率和比热容：

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非线性物理：

• 变化指数等式关系得到：

• 以上是二级相变中临界指数的普适关系。

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非线性物理：

• 还可以讨论对流体系中的热传导和Navier-Stokes方程：

• T 温度,  热传导系数, v 速度向量,  密度, p 压力,  ^{粘性系数。}

• 对热传导方程作变换得到：

• 热传导方程的标度不变性因此得证。

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非线性物理：

• 讨论Navier-Stokes方程，作标度变换：

• 得到时空尺度变换后的标度关系：

• 速度场满足标度不变性，典型的分形特征。类似，对于湍流能量 耗散率(分形)有：

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非线性物理：

随机过程：

• 除了分数维布朗运动之外，还有很多随机行为也是分形体。讨论 一下正方晶格中的随机行走过程(random walk)。经过 n 步随机 行走后，粒子净位移为：

• e_i是第i步指向最近邻的单位向量。因为<e_i>=0，所以<r(n)>=0。

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非线性物理：

• 如果行走一步时间为 ，n 步行走时间 t=n^{，所以有均方位移：}

• 对于格子间距为 a、可能的行走方向为 2d，则单位时间行走方差 定义为扩散系数 K：

• 这就是布朗运动。对于d=1时推导行走位移的概率密度 P(r, t)。

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非线性物理：

• 首先，<x²(t)>满足：

• 如果 n 次行走有 m 次向右，(n-m) 次向左，则位移 x 表示为：

• 概率密度应该满足二项式分布，且 P=1/2：

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非线性物理：

• 注意到：

• 对上式右边两项：

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非线性物理：

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非线性物理：

• 另外：

• 所以：

• 从归一化角度，上式应该是：

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非线性物理：

• 上式是等步长随机行走扩散过程的概率分布，可以推广到高维。

• 但是，实际系统的随机扩散并非一定是等步长的，多尺度随机行走轨迹比比皆是。这样的多尺度行走就是典型的分形过程。

• 可以看到，这种分形随机行走将导致异常扩散行为。

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非线性物理：

长程相关与异常扩散：

• 对于分形随机行走，通常定义指数关系：

• D_w就是随机行走分形维，D_w=2对应于布朗运动， D_w2对应于异常扩散，如湍流：<r²>~t³  D_w=3/2。

• 异常扩散的物理在于长程指数相关性：

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非线性物理：

• 这种指数相关使得多尺度行走成为必然：

• 当  <1时，上式第二项占优势，所以有：

• 可以看到，行走的长程相关导致了扩散的异常，标度指数  ^比布 朗运动的1/2大，功率谱指数  ^{也大于布朗运动的} ^=2：

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非线性物理：

小结：

• 自然界的随机行走过程都是具有多尺度的，其行走轨迹某种意义上都是分形结构，满足标度不变性和具有分数指数维特征。

• 描述随机行走过程的微分方程都可以扩展到分形过程。

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