123lim357 nnn  ＋＋＋＋ lim235  a lim(223)3 nannn  a  a b 7lim425 anbnn  a b      

高師大附中101學年度第二學期第一次期中考高三數學科試題(社會組:孝和)

1、 多重選擇題（每題6分，錯一個選項得3分，錯兩個選項以上不得分；不作答不得分。

共24分）

1. 設^{n N} ﹐則下列選項何者正確？

(1) 1

0.1 (1) 10









n 　(2)

lim( 1)2ⁿ n 

不存在　(3)

lim ( 1) 0 1

n n^ n

 

 　(4) 0.9 1

　 (5) ^lim(2 ¹⁾ⁿ ⁰

n x

﹐其中^{0 x 1}。 2. 下列各無窮級數﹐何者收斂？　

(1) ^{n1 3}





　(2) ¹





n

　(3) ¹ 2 3

5







n 　(4) ^{1 2}

 1

 



3 2









n

n

n 。

3. 關於極限的性質﹐下列哪些選項是正確的？

(1) 若數列〈^an〉收斂﹐則^{lim(n anan1) 0} (2) 若

lim _n 0

n a

 

﹐則^{n 1an}





收斂

(3) 若數列〈^an〉收斂﹐則其偶數項構成的數列〈^a2n〉：^{a2, a4, a6⋯}也收斂 (4) 設〈^an〉為無窮數列﹐若^{lim |} _n^{| 0}

n a ﹐則^lim _n ⁰

n a

(5) 若〈^an〉為無窮數列﹐並且對於每一自然數ⁿ都有^{an1an 0}﹐則^{limnan }。 4.關於極限的性質﹐下列哪些選項是正確的？

(1) 若^lim _n 

n a 且^lim _n⁰

n b ﹐則^lim _{n n}⁰

n a b

(2) 已知二數列〈^an〉及〈^bn〉﹐若^{nlim( an bn) 0} ﹐則^{nliman nlimbn} (3) 若數列〈anbn〉^, 〈an bn〉均收斂，則〈bn〉也是收斂數列

(4) 設〈^an〉及〈^bn〉為二收斂數列且^{limnan}﹐^{limnbn} ﹐若對每一自然數ⁿ都有^anbn

﹐ 則^{ }

(5) 若對所有自然數ⁿ﹐恆有^{anbn cn}﹐並且〈^an〉及〈^cn〉均是收斂數列﹐則〈^bn〉也 是收斂數列。

2 填充題（每格5分，共60分。全對才得分）

1. 數列〈^an〉中，已知^a12，^a21，且^{an an1an1} (^n2)，則^{nliman } 。 2. 若數列〈

an

〉滿足

1 1 a 

﹐

1 2 3

n n

a _  a 

﹐則^lim2

n n n

a

 

。 3.

2 2 2 2

3

1 2 3 lim 3 5 7

n

n

n n





 

＋

＋

＋

＋

＝ 。 4.

2 2 1

lim 2^{n n} 3 ⁿ 5ⁿ

n



   

。 5. 已知

a

為實數且

2 2

lim( 2 2 3) 3

n n an n n

      

﹐則 a

。 6. 已知

a

﹐ b

為實數﹐且滿足

3 2

2

lim 7 4

2 5

n

an bn n



  

 ﹐則數對(

a

﹐ b

)＝ 。

7. 已知

2

lim 2 1

4 3 1900



 

 ⁿ

n

n a

n n ﹐則^{lim 2}

n n

a n



。 8. 若數列〈

an

〉滿足

4 3

lim 2

5 1

n

n n

a a



 

 ﹐則

lim _n

n a



＝ 。

9. ^{2 2 2 2 2}

1 1 1 1 1

lim( )

9 1 9 2 9 3 9 2 1 9 2

n^ n  n  n   n n  n n 

   ⋯   

。 10. 無窮級數_n 1( 1)!

n n





 



11. 無窮等比數列  中﹐任一項的值恰等於該項之後各項和的四倍﹐即bn b_n 4(b_n1b_n2…)

，則此數列的公比為 。

12. 在坐標平面上﹐一個質點從原點^O出發﹐依序向右、上、左、下、右、上、左、下…輪 流移動﹐且移動的長度為無窮等比數列1﹐

2 3﹐

2 2

( )3 ﹐…﹐如圖所示

，則質點終極位置的坐標為 。

3 計算證明題（１6分）

１. (1) 試證：2ⁿ n²，對任何大於3之自然數 n 恆成立。（6分）

(2) 試利用(1)的結果﹐試求^nlim2ⁿ n

 。（5分）

(3) 試求無窮級數_n 12ⁿ

 n



之值。（5分）

高師大附中101學年度第二學期第一次期中考高三數學科試題(社會組) 答案卷

高三 班 座號： 姓名：

1 多重選擇題（每題6分，錯一個選項得3分，錯兩個選項以上不得分；不作答不得分。

共24分）

1. 2. 3. 4.

2 填充題（每格5分，共60分。全對才得分）

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

3 計算證明題（１6分）

１. (1) 試證：2ⁿ n²，對任何大於3之自然數 n 恆成立。（6分）

(2) 試利用(1)的結果﹐求^nlim2ⁿ n

 。（5分）

(3) 試求無窮級數_n 12ⁿ

 n



高師大附中101學年度第二學期第一次期中考高三數學科試題(社會組) 答案卷

高三 班 座號： 姓名：

一、多重選擇題（每題6分，錯一個選項得3分，錯兩個選項以上不得分；不作答不得分。共 24分）

1.

135

2.

34

3.

134

4.

3

二、填充題（每格5分，共60分。全對才得分）

1.

0

2.

1 3.

1 9

4.

9 5.

8

6.

(0,8)

7.

3 8.

1

6 9.

2 3

10.

1 11.

1 5

12.

(9 6, ) 13 13 三、計算證明題（１6分）

１. (1) 試證：2ⁿ n²，對任何大於3之自然數 n 恆成立。（6分）

(2) 試利用(1)的結果﹐求^nlim2ⁿ n

 。（5分）

(3) 試求無窮級數_n 12ⁿ

 n



之值。（5分）

[解]

(1) 略 (2) 0 (3) 2