第四节

第四节

• 基本积分法 : 直接积分法

;

换元积分法 ; 分部积分法

• 初等函数 求导

积分 初等函数

一、有理函数的积分

二、可化为有理函数的积分举例

有理函数的积分

本节内容 :

第四章

一、 有理函数的积分

) (

) ) (

( Q x

x x P

R  

n

n

a x a

x

a



  

m m

m

b x b

x

b



   有理函数 :

n

m  _{时 ,} R (x ) 为假分式 ; m  n _{时 ,} R (x ) _为真分式 有理函数

多项式 + 真分 式

分解

其中部分分式的形式为

k

k

x p x q

N x

M a

x A

)

; ( )

(

 



 ( k  N

, p

 4 q  0 )

若干部分分式之和

例 1. 将下列真分式分解为部分分式 : ) ;

1 (

) 1 1

(

 x

x ;

6 5

) 3 2

(





 x x

x .

) 1

)(

2 1

( ) 1 3

(

x x 

 解 : (1) 用拼凑法

2

2

( 1 )

) 1 (

1

 

 x x

x

x ( 1 )

1

 

x ( 1 )

1

 

x x

)

1 (

1

 

x  (  1 ) x

x )

1 (

1

 

x 1

1

 

x x

 1 )

1 ( 

 x x

) 1 ( 

 x

x

(2) 用赋值法

6 5

3

2

 

 x x

x

) 3 )(

2 (

3





 

x x

x

 2

 x A

 3

 x B

 原 原





 A (x 2 )

 2

x 3 2

3 



  x x

x   5

 原 原



 (x 3 )

B x  3 2 3

3 



  x x

x  6

故 2

5



  原 原 x

3 6

 

x

(3) 混合法

 

 2 )( 1 ) 1

(

1

x

x 

 x A

2

1 1 x

C Bx





 原 原



 ( 1 2 x ) A

21



x 

5

 4 原 原 原 原 原 原 原 原 原 x  0 , 1

 C

 5 1 4

2 15

4 6

1   B  C

5

 2

 B

5

 1 C 原式 =

x 2 1

4 5

1

 

  



 

1

1 2

x

x

例 2. 求 . ) 1

)(

2 1

(

d

 _{ x} ^x _{ x}

解 : 已知

) 1

)(

2 1

(

1

x

x 

   

5 1

x 2 1

4

 1

2 x x

 

 

 

1

1 x

 _ ^



 x

x 2 1

) 2 1

( d 5

原式 2 ^ ₅ ¹  ^{d (} ₁ ¹ _ ^ _x ^x

^{) } ₅ ¹  _{1 } ^{d x} _x

x 2 1

5 ln

2 

 ln ( 1 )

5

1

 x

  arctan x  C 5

1

例 3. 求 d . 3

2 2

2

x

x x

 _ x ^ _

解 : 原式 x

x

x d

3

2

2

 _{ }



( 2 x  2 )  3

 _ ^ _ ^

 2 3

) 3 2

d(

2 1

2 2

x x

x x

3 2

2 ln

1

 

 x x

 _{ } ^



) 2 (

) 1 (

) 1 3 d(

x

x

x   C

 2

arctan 1 2

3

例 4. 求 d . )

2 2

(

 _{x } ^x

_{x } ^x

解 : 原式 ^  ^{( x}

^{ x} _{( x} ²

_ ^ ₂ ^{2 )} _x ^{ x} _ ⁽ ₂ ² ₎

^{ 2 ) d x}

 _{ }

 ( 1 ) 1 d

x

x ^  ₍ ^d( _x

^x

_ ^ ₂ ² _x ^x _ ^ _{2 )} ²

⁾

) 1 arctan( 

 x

2 2

1

2

 

 x x  C

二 、可化为有理函数的积分举例

设 R (sin x , cos x ) 表示三角函数有理式 , x

x x

R (sin , cos ) d



令 t  tan

t

的有理函数的积分

三角函数有理式的积分

则

例 5. 求 d . )

cos 1

( sin

sin

 1 _x ^ _ ^x _x ^x 解 : 令 ,

tan 2 x

t  则

2 2 2

2 2 2

cos sin

cos sin

sin 2

x x

x x

x  

2 22

tan 1

tan 2

x x

 

1 2

t t

 

2 2 2

2 2 2

2 2

cos sin

sin cos cos

x x

x x

x 

 

2 2 2 2

tan 1

tan 1

x x



 

1 1

t t



 

 x

d t

t d 1

2



 _sin ¹ _x ^ _{( 1} ^sin _{ cos} ^x _{x )} ^{d x}





1 2

1

t t



2 t

t



( 1

)

1 1

t t





t

t ₂

d

1 2



t

t 1 t d 2 2

1 



 

 



  

 

  2

1

2

1 t  2 t  ln t     C

tan 2 4

1

x

  tan 2 x  x  C tan 2

2 ln

1

2.

简单无理函数的积分

, d ) ,

 ^R ( ^x

^{ax  b x 令 t }

^{a x  b} ,

d ) ,

 ^R ( ^x

^{x 令 t }

被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分 . 例如 :

, d ) ,

,

 ^R ( ^x

^{ax  b}

^{ax  b x}

p

a x b ,

t  

令 p 为 n m , 的最小公倍数 .

例 6. 求 . 2 1

d

 _{ x}

^x _

解 : 令 u  x

 2 , 则 x  u

 2 , d x  3 u

d u 原式 ^  ₁ ^3u _

_u ^{d u  3}  ^{( u}

₁ ^ _ ¹ _u ^{)  1 d u}

u u

u ) d

1 1 1

(

3   

 



 3

u

 u  ln 1  u  ^{ C}

3 2

23

(  2 )

 x  3

x  2

3

2

1 ln

3  

 x  C

例 7. 求 d .

 _{x  x} ^x

解 : 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 最小公倍数 6 , 的 x  t

, _则有

原式 ^  t

_ t

t t d 6

t t t

t ) d

1 1 1

(

6 

^{  } _





 6

t



t

 t  1 ln  t  ^{ C}

C x

x x

x     

 2 3

6

6 ln ( 1

)

令

例 8. 求 1 1 d .

 _x ^ _x ^{x x}

解 : 令 1 , x

t   x _则 ,

1 1

2



 t

x

) 1 (

d d 2



  t

t x t

原式 ^  ^{( t}

^{ 1 ) t } _{( t}

^ _ ² ₁ ^t ₎

^{d t}

t t

t d

2 

_ 1



   2 t

1 ln 1



 

t

t  C

x

 x



 1

2  ln 2 x  2 x x  1  1  C

内容小结

1.

可积函数的特殊类型 有理函数

分解

多项式及部分分式之和

三角函数有理式

万能代换

简单无理函数

根式代换 三角代换

2.

特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出 ,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算

简便 .

,

思考与练习

如何求下列积分更简便 ? ) 0 (

d .

1

2



 _a ^x  _x ^{x a 2 .}  _sin

^d _x ^x _{cos x}

解 : 1. ^{原式  1} ₃  _{( a}

₎

^d _ ^x

_{( x}

₎

^ _{6 6} ^ _a ¹ _a ¹

^{ln ln} _x ^x _x ^x

_ ^ _ ^{ a} _{a a} ^a

^{  C C}

2. 原式 ^  ^sin _sin

^x

^ _{x cos} ^cos

_x ^{x d x }  _{sin x} ^d _cos ^x _x ^  _sin ^cos

^x _x ^{d x}



 x

x tan

tan

d ^  ^d _sin ^sin

_x ^{x  ln tan x  1} _{2 sin} ¹

_x ^{ C}

ex 1. 求不定积分 解 ：

. ) d

1 (

1

2

 _x

_{ x} ^x

令 1 ,

t  x _则 1 ,

x  t t

x t 1 d

d  

^{, 故}

 

 _x

_{( 1} ¹ _x

₎ ^{d x}  ¹

6

1

t 1 )

1

( ₂

 t

t

t 1 ) d

( 

^{ }  _{1 } ^t

_t

^{d t}

 ^{  } _



 t

t t

t ) d

1 1 1

(

5

5 1 t





3 1 t

  t  arctan t  C x C x x

x    



 1

arctan 1

3 1 5

1

3 5

分母次数较高 , 宜使用倒代换 .

2. 求不定积 分

解 ：

. cos d

3

sin

 1 _ ^{ x} _x ^x 原式 =

tan

u  前式令

 _{3  cos} ¹ _x ^{d x }  _{3 } ^sin _cos ^x _x ^{d x}









2 2

1

3

1

u

u

u

u d 1

2





 _

 u

u d

2 1

2

arctan 2 2

1 u



 _ ^

 d ( 3 cos ) cos

3

1 x

x x

cos 3

ln 



; 后式配元

C x 



 ln 3 cos 2 )

2 tan arctan( 1

2

1 x

  ln 3  cos x  C