幾何計量的基本工具
張海潮
畢氏定理和相似形比例關係是處理幾何計量問題的兩大支柱。 從這兩大支柱又演化出正弦 定律和餘弦定律, 應用起來更具威力。 然而眾所周知, 在利用正、 餘弦定律解題的時候, 由於經 常涉及三角恆等式, 因此代數的操作稍重。 本文嘗試只利用畢氏定理和相似形比例關係說明如 何將三角形的高、 中線、 分角線和外接圓半徑的長度一一表示成三角形邊長的函數, 藉以突顯 這兩大支柱在幾何計量的核心地位。 為了方便解釋, 我們只談銳角三角形; 文末並附上以正、 餘 弦定律處理相同問題的簡要說明, 供讀者比較。
一. 求三角形高的長度
如圖一
圖一
根據畢氏定理, 有 b2− x2 = c2− (a − x)2, 因此解出 x = a2+ b2− c2/2a[註一]。 又由 h2 = b2− x2, 得到
h2 = b2−a2+ b2− c2 2a
2
= 1
4a2(a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(b + c − a) [註二]
36
二. 求三角形中線的長度
如圖二
圖二 根據畢氏定理,
m2= h2+a 2 − x2
= h2+ x2− ax + a2 4
= b2+a2
4 − a · x
= b2+a2
4 − a2+ b2 − c2 2
=2b2+ 2c2 − a2 4
三. 求三角形分角線的長度
如圖三 [註三]
圖三
根據畢氏定理
l2= h2+ ab
b + c − x2
= h2+ x2+ a2b2
(b + c)2 − 2ab b + cx
= b2+ a2b2
(b + c)2 − 2ab b + c
a2+ b2− c2 2a
= b2+ a2b2
(b + c)2 − b
b + c(a2+ b2− c2),
化簡得
l2 = bc(b + c + a)(b + c − a) (b + c)2
[註四]
四. 求外接圓半徑
如圖四
圖四
圖中, 點 O 為外接圓圓心, OB = OA = R, 並且 ∠BOE = ∠C[註五], 所以 △BOE ∼
△ACD。 由相似形比例關係:
R/b = c
2/h, 得出 R = bc/2h 或者 R = abc/2ha 亦即
R = abc/4△[註六]
五. 利用正、 餘弦定律解題
如圖五
圖五
圖中, AD 是高, AE 是中線, AF 是分角線, AO = R 是外接圓半徑。
(一) AD = b sin C, AD2 = b2sin2C = b2(1 − cos2C) 再利用餘弦定律將 cos C 以 a, b, c 的函數代入。
(二) 根據餘弦定律,
AE2 = b2+a 2
2
− ab cos C 再將 cos C 以 a, b, c 的函數代入。
(三) 根據正弦定律
c/ sin ∠AF B = BF / sin1 2A b/ sin ∠AF C = CF / sin1
2A 所以
c/b = BF / CF [註七] 因此
CF = b b + c · a 根據餘弦定律
AF2 = b2 + CF2− 2bCF cos C 再將 cos C 及 CF 以 a, b, c 的函數代入。
(四) 根據正弦定律
c/ sin C = 2R abc/ab sin C = 2R 所以
R = abc/4△
附註
註一: 此式相當於餘弦定律 c2 = a2+ b2− 2ax。
註二: 從此式立即導出海龍 (Heron) 公式:
△2 = (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(b + c − a) 16
註三: 此處用到角平分線把底邊分成二段, 其比值等於 c b。
註四: 不難發現, 在 a 邊上的中線或分角線的長度公式中, b, c 以對稱的角色出現。
註五: ∠BOA = 2∠BOE 是外接圓的一個圓心角, ∠C 是相關的圓周角。
註六: △ 代表三角形的面積, 請見註二。
註七: 同註三。
—本文作者為台大數學系退休教授—
2008 數學學術研討會暨中華民國數學年會
時間: 12月19日 (五) 至12月21日 (日) 報到地點: 國立清華大學綜合三館一樓大廳
會中將有多種領域之演講 (數論與代數、 分析、 幾何、 動態系統與生物數學、 偏 微分方程、 離散數學、 計算數學、 機率與統計、 數學教育、 微積分論壇)
* 參加會議者請務必上網註冊 (12 月 1 日截止)
* 發表演講者請務必上網投稿 (11 月 10 日截止)
* 大會其他詳細資訊請見 http://www.math.nthu.edu.tw/∼amms2008/
∼∼ 歡迎對數學有興趣的人士, 踴躍報名參加 ∼∼
