1-1 銳 角 的 正 弦 ､ 餘 弦 及 正 切

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1-1 銳 角 的 正 弦 ､ 餘 弦 及 正 切

1. 右圖是由兩個直角三角形堆疊而成﹐且OC ﹐試問8 AB的 長為

(1) 3 (2) 2 (3) 2 3 (4) 4﹒

解： 直角OBC中﹐因OBOCcos 60  ﹐ 4 直角OAB中﹐因ABOBsin 30  ﹐ 2

2. 有一等腰三角形底邊 BC 的長為 10﹐頂角為 72 ﹐試問 ABC 的 高AH長為

(1) 5sin 36 (2) 5sin 54 (3) 5tan 36 (4) 5tan 54 ﹒ 解： 直角ABH中﹐BAH   ﹐36 ABH   ﹐ 54

tan 54

5 AH AH BH

   ﹐得AH 5 tan 54 ﹐

3. 已知0  45   90﹐試問下列何者正確？

(1)sin sin (2)cos cos (3) sin





(2) cos 隨 增大而減少﹐知 cos cos﹒ (3)(4) 0      ﹐知 45  90 2

0 sin sin 1

 2 

    ﹐ 2

0 cos cos 1

 2 

    ﹐得

sin 2 cos

  2  且 2

sin cos

  2  ﹒

4. 試求下列銳角



(1) sin





解： (1) cos 41 cos(90   49 ) sin 49 ﹐得 49 ﹒ (2) sin 37 sin(90   53 ) cos 53 ﹐得 53 ﹒ 5. 請用右圖﹐求得 tan15 與 tan 75 的值﹒

解： 直角PBC中﹐令BC 3﹐BP ﹐2 PC ﹐ 1 等腰PAB中﹐ABBP ﹐ 2

2

2 3 ACABBC  ﹐

得 1

tan15 2 3

2 3

   

 ﹐又APC75 ﹐得 tan 75 AC 2 3

  PC   ﹒ 6. 請用右圖﹐求得 tan 22.5與 tan 67.5 的值﹒

解： 直角PBC中﹐令BC ﹐1 BP 2﹐PC ﹐ 1

等腰PAB中﹐ABBP 2﹐ACABBC 2 ﹐ 1

得 1

tan 22.5 2 1

2 1

   

 ﹐

又APC67.5 ﹐得 tan 67.5 AC 2 1 PC

    ﹒

1. 試求下列各式的值：

(1)cos 41²  cos 49² ﹒ (2)sin 15²  sin 35²  sin 55²  sin 75² ﹒ 解： (1)cos 41²  cos 49²  cos 41²  sin 41²   ﹒ 1

(2)sin 15²  sin 35²  sin 55²  sin 75² 

2 2 2 2

sin 15 sin 35 cos 35 cos 15 2

         ﹒

2. 在ABC中﹐AC 17﹐tan ⁸

A15﹐tan ⁴

B3﹐ CD AB﹐試求AB的長﹒

解：tan ⁸

A15﹐知 8

sinA17﹐得AD15﹐CD ﹐ 8

由 4

tanB ﹐得3 BD ﹐故6 ABADBD21﹒

3. 設一圓的半徑為 1﹐試問其外接正八邊形的周長﹒

（已知 tan 22.5  2 1 ﹐ tan 67.5  2 1 ） 解： OAB 中﹐ OPAB﹐AOB45 ﹐

1

OP ﹐AOP22.5 ﹐ tan 22.5

1 AP AP OP

   ﹐ 得AP 2 ﹐1 AB2( 2 1) ﹐

故正八邊形周長為 8AB16( 2 1) ﹒

4. 已知( 6 2)²  8 4 3﹐利用右圖﹐試求：

(1)AP的長﹒

(2) sin15 與 cos15 的值﹒

3 解： (1)ACABBCBPBC 2 3﹐

2 2 2

AP AC CP (2 3)²  1² 8 4 3( 6 2)²﹐ 得AP 6 2﹒

(2) 1 6 2

sin15

6 2 4

   

 ﹐ 2 3 6 2

cos15

6 2 4

 

  

 ﹒

5. 長方形 ABCD 中﹐PQD90﹐PQ3﹐QD5﹐BPQ ﹐若 sin cos

CDa





AQD中﹐ AQD  ﹐ QA5cos﹐

因CDABBQQA3sin5cos ﹐得a ﹐3 b ﹒ 5

6. 設



  5﹐試求下列各式的值：

(1) sin cos

 



解： (1)因 ² 1

(sin cos ) 1 2sin cos

     25﹐ 得 12

sin cos

  25﹒

(2) ² 49

(sin cos ) 1 2sin cos

^  ^{ }  ^ 25^﹐知sin cos ⁷

^  ^{ ﹐（}5 ⁷

 不合） 5

又 1

sin cos

  ﹐得5 4 sin  ﹒ 5

7. 試問sin 10²  sin 20²  sin 30²  sin 40²  sin 50²  sin 60²  sin 70²  sin 80² 的和﹒

解： 由餘角關係式 sin(90 )cos﹐

sin 80 cos10 ﹐ sin 70 cos 20 ﹐ sin 60 cos 30 ﹐ sin 50 cos 40 ﹐

原式(sin 10²  sin 80 )²  (sin 20²  sin 70 )²  (sin 30²  sin 60 )²  (sin 40²  sin 50 )²  (sin 10²  cos 10 )²  (sin 20²  cos 20 )²  (sin 30²  cos 30 )²  (sin 40²  cos 40 )²   ﹒ 4

8. 等腰ABC中﹐AB ﹐5 AC ﹐5 BC  ﹐試求各式的值： 6 (1) tan B ﹒ (2) tan A ﹒

解： (1)因BC ﹐知6 BH  ﹐3 AH  ﹐ 故4 4 tanB ﹒ 3

(2)ABC的面積 1

2 BC AH 12

    ﹐

1

2 AC BD

  

 ﹐ 1

12 5

2 BD

   ﹐ 24

BD 5 ﹐ 直角ABD中﹐AB ﹐5 24

BD 5 ﹐得 7

AD ﹐故5 24 tanA 7 ﹒

4

9. 已知











解： (1) sin  2 2 cos﹐兩邊平方得sin² (2 2cos ) ²﹐ 代入sin²cos²  ﹐得1 5cos²8cos  ﹐3 0 3

cos  或 1（不合）﹒ 5

(2) 4

sin 2 2cos

   ﹒ 5

1. 大明以 6 張同樣大小的正五邊形紙片在平面上拼成一朵花﹐已知正 五邊形的邊長為 1﹐則兩片花瓣間的距離 FG 5 1

2

　  　　﹒

（sin18 ^{5 1} 4

   ）

解： 因正五邊形的每一內角為 108 ﹐知FAG  ﹒ 36 由AG ﹐1 GAM   ﹐ 18

得FG2GM 2．AG．sin18 5 1 2

  ﹒

2. 將一長為 8 公尺的竹竿﹐斜靠在垂直地面高為 3 公尺的牆頭﹐有部分 伸出牆外﹒假設竹竿與地面成夾角 30 ﹐竹竿伸出牆外部分﹐於日正 當中時﹐在地面的投影為 3 ﹒

解：ABP中﹐BP ﹐得3 AB3 3﹐

ACQ中﹐AQ ﹐得8 AC4 3﹐ 投影 BCACAB 4 33 3 3﹒

3. 在半徑為 1 的半圓內作一矩形 ABCD ﹐且一邊AB落在直徑上﹐已知矩 形 ABCD 的周長為 4﹐試求矩形 ABCD 的面積﹒

解：OC ﹐得1 OBcos ﹐BCsin ﹐ 得矩形周長為 2sin 4 cos  ﹐ 4 即 sin2 cos  ﹐得2 3

cos ﹐5 4 sin ﹐ 5

矩形 ABCD 的面積為 24

2cos sin

AB BC．  ．  25﹒