1-3 正 弦 定 理 ､ 餘 弦 定 理

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1-3 正 弦 定 理 ､ 餘 弦 定 理

1. 在ABC中﹐CAB120 ﹐AB12﹐AC ﹐試問 ABC6  的面積 為

(1) 18 (2)18 3 (3) 36 (4) 36 3 ﹒ 解： 由面積公式﹐

1 sin120 18 3 2AB AC

 ． ．  

 ﹐故選(2)﹒

2. 在ABC中﹐已知   ﹐A 45    ﹐且外接圓半徑為 2﹐試問 BCB 60 的長為

(1) 2 (2) 2 2 (3) 2 3 (4) 6 2﹒ 解： 由正弦定理

2 4 sin 45 sin 60 sin 75

BC AC AB

   R

   ﹐

4 sin 45 2 2

BC ．   ﹐故選(2)﹒

3. 在ABC中﹐已知AB ﹐8 AC ﹐3   ﹐試問 BC 的長為(1) 5 A 60 (2) 6 (3) 7 (4) 8﹒

解： 由餘弦定理

2 2 2

2 cos

BC b c  bc A ^{2 2} 1 3 8 2 3 8 49

   ．．．2 ﹐ 得BC ﹐故選(3)﹒ 7

4. 在ABC中﹐AB ﹐5 BC ﹐7 CA ﹐試求： 8 (1)ABC的面積﹒ (2)ABC的內切圓半徑﹒

解： 因s10﹐

(1) 10 3 2 5．． ． 10 3﹒

(2) ．r s﹐ 10 3 ． ﹐得r 10 r 3﹒

5. 在ABC中﹐若AB ﹐6 BC  ﹐5 CA 17 ﹐且M 為 BC 的中點﹐

試求 BC 邊上中線AM 的長﹒

解： 由平行四邊形定理

2 2 2

(2AM)2BC 2(AB AC )﹐ 4AM2252(36 17) ﹐

2

4AM2 81﹐ 2AM  ﹐得9 9 AM  ﹒ 2

6. 在ABC中﹐ A 120 ﹐AC ﹐6 A的角平分線AD4﹐試求：

(1)AB的長﹒ (2)ABC的面積﹒

解： (1)ABCABDACD﹐ 1 6 sin120

2． ． ．AB  1 1

4 sin 60 6 4 sin 60

2 AB 2

 ． ． ．   ．． ． ﹐ 2AB24﹐得AB12﹒

(2)ABC的面積 1

sin120 18 3 2 AB AC

 ． ． ．   ﹒

1. 在ABC中﹐若AB ﹐5 AC ﹐7 M 為 BC 的中點且AM 4﹐試求 BC 的長﹒

解： 由平行四邊形定理(2AM)²BC²2(AB²AC²)﹐ 64BC2 148﹐BC²84﹐得BC2 21﹒

2. 在ABC中﹐AB17﹐BC10﹐CA ﹐試求： 9 (1)ABC的面積﹒ (2)ABC的外接圓半徑﹒

解： 因s18﹐

(1) 18 8 9 1．． ． 36﹒ (2) 10 9 17 85

4 4 36 8

R abc  

  



． ﹒

3. 設圓內接四邊形 ABCD 中﹐BAC ﹐30 ACD  ﹐45 BC ﹐試2 求：(1)此圓的半徑﹒ (2)AD的長﹒

解： 由正弦定理﹐

(1)ABC中﹐ 2

sin 30 2R

 ﹐得R ﹐ 2 (2)ACD中﹐ 2 4

sin 45

AD  R

 ﹐得AD4 sin 45．  2 2﹒

4. 在ABC中﹐若D點在 BC 邊上﹐且AB ﹐7 AC ﹐13 BD ﹐7 CD ﹐試求：(1)8 B﹒ (2)AD﹒

解： 由餘弦定理﹐

(1)

2 2 2

7 15 13 1 cosB 2 7 15   2

． ． ﹐得 B 60 ﹒

(2)AD²7²7²2 7 7 cos 60． ． ．  49﹐得AD ﹒ 7

3 5. 已知四邊形 ABCD 中﹐AB ﹐8 CD ﹐8 AD ﹐3 ABC  ADC ﹐且 BC AD60  ﹐試

求：(1) AC 的長﹒ (2) BC 的長﹒

解： 由餘弦定理﹐

(1)AC²DA²DC²2DA DC． ．cos 60 1 9 64 2 3 8 49

   ．．．2 ﹐得AC ﹒ 7 (2)設 BC ﹐得x AC² AB²BC²2AB BC． ．cos 60﹐

得x²8x15 ﹐得0 x ﹐5﹐又 BC AD3  ﹐故BC ﹒ 5

6. 已知 ABCD 為內接四邊形﹐若DBC  ﹐30 ABD  ﹐45 CD ﹐6 試求：

(1)DAC﹐ ACD ﹒ (2)AD﹒

解： (1)DAC DBC  ﹐ 30 ACD ABD45 ﹒ (2)由正弦定理

sin 45 sin 30 AD  CD

 ﹐ 得 6

sin 45 6 2 sin 30

AD   

 ﹒

7. 在ABC中﹐AB ﹐6 AC ﹐4 BC ﹐且5 AK 4﹐ 試求：

(1) cos B ﹒ (2)BK﹒ 解： 由餘弦定理﹐

(1)

2 2 2

6 5 4 3 cosB 2 6 5  4

． ． ﹒

(2)設 BK ﹐x 6^{2 2} 4² cos 2 6

B x

x

 

 ． ． ﹐

得x²9x20 ﹐知0 x （因 BK BC4  ）﹒

8. 正ABC的內部有一點P﹐且AP ﹐5 P對AB﹐ AC 的對 稱點為點Q﹐R﹐試求：

(1)QAR﹒ (2)QR﹒

解： (1)QAB PAB﹐ RAC  PAC﹐QAR 2 BAC120 ﹒ (2)AQAP ﹐5 ARAP ﹐ 5

由餘弦定理 QR²5²5²2 5 5 cos120．．．  75﹐故QR5 3﹒

9. 若三角形 ABC 的AB ﹐8 AC4 5及 1

cosBAC 5﹐則 sin ACB  4

5 ﹒ 解： 由餘弦定理知

2 2 2

2 cos

BC AB AC  AB AC． ． BAC

64 80 2 8 4 5 1 80

   ．． ． 5  ﹐得BC4 5﹐

4

由正弦定理知 4 5 sin sin

AB

ACB BAC

  ﹐而 2

sinBAC 5 ﹐得 4 sinACB ﹒ 5

1. 假設甲､乙､丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里﹐兩條筆直的公路交於丁鎮﹐其中之一通 過甲､乙兩鎮而另一通過丙鎮﹐今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45﹐則丙､

丁兩鎮間的距離約為

(1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里﹒

解： 在ACD中﹐DAC120 ﹐ D 45 ﹐DCA  ﹐ 15

由正弦定理知 20 2

sin120 sin 45

CD AC

 

  ﹐

20 2 3 10 6 24.5

CD  2   （公里）﹒

2. 平面上有A﹐B﹐ C 三點﹒已知B﹐ C 之間的距離是 200 公尺﹐B﹐A之間的距離是 1500 公尺﹐ACB ﹒請問60 A﹐ C 之間距離的最佳近似值為

(1) 1500 公尺 (2) 1600 公尺 (3) 1700 公尺 (4) 1800 公尺﹒

解： 設AC100x公尺﹐由餘弦定理知

2 2 2

2 cos 60 AB AC BC  AC BC． ． ﹐ 整理得 (x x2)221﹐

因 15 13 195  ﹐ 16 14 224  ﹐17 15 255  ﹐18 16 288  ﹐知x16； 即AC1600（公尺）﹒

3. 在與水平面成10 的東西向山坡上﹐鉛直（即與水平面垂直）立 起一根旗竿﹒當陽光從正西方以俯角 60 平行投射在山坡上時﹐

旗竿的影子長為 11 公尺﹐如右圖所示（其中箭頭表示陽光投射 的方向﹐而粗黑線段表示旗竿的影子）﹒試問旗竿的長度最接近 以下哪一選項？

(1) 19.1 公尺 (2) 19.8 公尺 (3) 20.7 公尺 (4) 21.1 公尺 (5) 21.7 公尺﹒

參考數值：

sin10 0.174﹐ sin 20 0.342﹐ cos10 0.985﹐ cos 20 0.940﹐ 3 1.732 ﹒ 解： 依題意﹐ABC中﹐AB ﹐11  B 70 ﹐   ﹐ C 30

由正弦定理

sin 30 sin 70 AB  AC

 ﹐即 11

sin 30 cos 20

 AC

 ﹐ 1 11 cos 20 10.34

2AC ．   ﹐ 知AC20.6820.7（公尺）﹒