變形式定圓運動 求最值動中取靜
張小川
定角對定邊類問題在各地的中考試題中屢見不鮮, 且多以壓軸題的形式出現, 在此基礎上, 進一步思考: 當問題中出現“定角定高”、“定角定中線”、 “定角定角平分線”時, 又該如何轉化?
為使讀者清楚問題的背景, 先給出定角對定邊的基本問題。 如圖 1, 線段 AB 的長是定長, 在平面內一點 C, ∠ACB 度數為定值, 則點 C 的運動軌跡是三角形 ABC 外接圓上的圓弧, 解決與之相關的問題, 通常做法是作出三角形 ABC 的外接圓 [1, 2], 外接圓的位置和半徑是 固定不變的。 這個結論在諸多文獻都有討論, 文獻 [1] 和文獻 [2] 說明了這種方法的正確性, 本 文嘗試探索“定角定高求最值”、 “定角定中線求最值”、 “定角定角平分線求最值”的轉化思路。
圖1 圖 2 圖 3
1. 定角定高求最值
1.1. 定角為直角
如圖 2, ∠ACB = 90◦ 粧定不變, 點 C 到直線 AB 的距離 CD = a 為定值, 角的 兩邊與直線交於 A、 B 兩點, 在 ∠ACB 繞點 C 旋轉過程中, 求線段 AB 長度的最小值和
△ABC 面積的最小值。
分析: 如圖 3, 因為 ∠ACB = 90◦ 保持不變, 容易想到作 △ABC 的外接圓 O, 設半徑為 r。
在 ∠ACB 繞點 C 旋轉的過程中, 外接圓 O 的位置和大小也隨之改變。
連接 OC, 則 OC = r, AB = 2r, 要計算 AB 的最小值, 可以計算 r 最小值。
在圓 O 的變化過程中, 始終有 CD ≤ CO, 即始終有 r ≥ a。
所以 AB ≥ 2a, AB 的最小值為 2a。
計算出 AB 的最小值後, 因為 CD 的長度不變, 計算出 △ABC 面積的最小值為 a2。
1.2. 定角為銳角
圖 4 如圖 4, ∠ACB = α 為銳角且為定值, CD ⊥
AB, CD = a 為定值, 在 ∠ACB 繞點 C 旋轉過程 中, 求 AB 的最小值和 △ABC 面積的最小值。
分析: 在定角為直角時作出三角形的外接圓來探索解 題思路, 定角為銳角的情況下, 不妨也作出 △ABC 的 外接圓 O, 設其半徑為 r。
連接 OC, OA, OB, 則 OA = OB = OC = r, 可以在圓 O 中計算 AB 的最小值。
作 OE ⊥ AB, 根據垂徑定理, 有 BE =1 2AB,
只需要計算 BE 的最小值即可, 線段 BE 的長可以用外接圓半徑 r 表示為 BE = r · sin α, BE 的最小值轉化為計算 r 的最小值。
在 ∠ACB 繞點 C 旋轉過程中, 外接圓 O 的位置和半徑隨之變化, 在外接圓 O 變化的 過程中總有 OC + OE ≥ CD, r + r · cos α ≥ a,
有 r ≥ a
1 + cos α, 進而 BE ≥ a sin α
1 + cos α, 所以 AB ≥ 2a sin α
1 + cos α, S△ABC ≥ a2sin α 1 + cos α。
1.3. 定角為鈍角
圖 5 如圖 5, ∠ACB = α 為鈍角且為定值, CD ⊥
AB, CD = a 為定值, 在 ∠ACB 繞點 C 旋轉過程 中, 求 AB 的最小值和 △ABC 面積的最小值。
分析: 與前文定角為直角和銳角的思路相同, 作出
△ABC 的外接圓 O, 其半徑為 r, 如圖 5。
連接OB, OC, 則OB = OC = r, 作 OE ⊥AB, 有 BE = 1
2AB, 計算 AB 的最小值轉化為計算 BE
的最小值, 由銳角三角函數計算出 BE = r · sin(180◦− α)。
在圓 O 變化的過程中, 只需要計算出半徑 r 的最小值, 問題即可解決。
在圓 O 變化的過程中, OE + CD ≤ OC, 過點 C 作 OE 延長線的垂線, 垂足為 F , OE + CD ≤ OC 變化為 OF ≤ OC, 計算得 r · cos(180◦− α) + a ≤ r, 有
r ≥ a
1 − cos(180◦− α)。進而 BE ≥ a · sin(180◦− α)
1 − cos(180◦− α), 所以 AB ≥ 2a · sin(180◦− α) 1 − cos(180◦− α), S△ABC≥ a2sin(180◦− α)
1 − cos(180◦− α)。
明晰方法: 定角對定邊類問題一般的做法是作出三角形的外接圓, 定角定高求最值類問題, 也是 作出三角形的外接圓, 但外接圓的半徑和位置是變化的, 在此變化過程中, 利用垂線段最短計算 出外接圓半徑的最小值, 由半徑再計算出定角所對邊的最小值。 圖 4 和圖 5 中, 因為點 C 到 AB 的距離是定值, 當 AB 最小時, △ABC 的面積也最小。
2. 定 角定中線求最值
2.1. 定角為直角
圖 6 在 △ABC 中, ∠ACB = 90◦, 三角形的中線
CD 長度為定值 a, 在 ∠ACB 位置變化的過程中, 求
△ABC 面積的最大值。
分析: 因為 ∠ACB 粧為 90◦, 作出 △ABC 的外接 圓 D, 點 C 在圓 D 上運動, DC = r, 如圖 6。
在直角三角形 △ABC 中, 斜邊上的中線 CD = a 為定值, 則 AB = 2a 為定值, 計算
△ABC 面積的最大值, 只需要求出 AB 邊上的高 CE 的最大值。
在 ∠ACB 在圓 O 上運動過程中, 總有 CD ≥ CE, 也就是始終有 CE ≤ a, CE 的最 大值為 a。 所以 △ABC 面積的最大值為 a2。
2.2. 定角為銳角
圖 7 在 △ABC 中, ∠ACB = α 為銳角且是定值,
三角形的中線 CD 長度為定值 a, 在 ∠ACB 位置變 化的過程中, 求 △ABC 面積的最大值。
分析: 如圖 7, 因為中線 CD 的長度為定值, 可以想 到延長 CD 到 E, 使得 CD = DE, 連接 AE, 有
△BCD ≃ △AED, △ABC 等積變形為 △ACE。
在 △ACE 中, ∠CAE = 180 − α 為定值, CE = 2a 為定值, 轉化為定角對定邊類問題, 作出
△ACE 的外接圓 O, 連接 OA, OA = r; 連接 OD 有 OD ⊥ CE。
因為線段 CE 的長度為 2a, 作出 CE 上的高 AG, 在 ∠ACB 位置變化的過程中,
∠ACB = α 始終不變, ∠CAE = 180 − α 始終不變。 在圓 O 變化過程中, 有 OA ≥ OD + AG, 觀察圖 11 發現 AG//CD, 延長 OD 後作 AF ⊥ OD, 就可以將線段 AG 和線 段 OD 合併成為線段 OF 。
所以 OA ≥ OF , 即 r ≥ AG + OD。
根據垂徑定理可以計算出 OD = a
tan α, r = a
sin α, 所以 AG ≤ a
sin α− a tan α。
所以 △ACE 的面積最大值為 a2 1
sin α − 1 tan α
, △ABC 的面積最大值為 a2 1
sin α − 1 tan α
。
2.3. 定角為鈍角
圖 8 在 △ABC 中, ∠ACB = α 為鈍角且是定
值, 三角形的中線 CD 長度為定值 a, 在 ∠ACB 位置變化的過程中, 求 △ABC 面積的最大值。
分析: 如圖 8, 與 2.2 思路類似, 先倍長中線 CD 到 E, 連接 AE。 作出 △ACE 的外接圓 O, 連
接 OA 和 OD, 則 OA = r, OD ⊥ CE, 且有 r = a
sin(180◦− α)。 計算 △ABC 的面積轉化為 △ACE 的面積, 作 AF ⊥ CE 於 F 。
在圓 O 變化的過程中, 總有 OA + OD ≥ AF , r + r · cos(180◦− α) ≥ AF , 得 AF ≤ a · [1 + cos(180◦− α)]
sin(180◦− α) , 有 S△ACE ≤ a2· [1 + cos(180◦− α)]
sin(180◦− α) . 所以 △ABC 面積的最大值為 a2· [1 + cos(180◦− α)]
sin(180◦− α) 。
明晰方法: 定角定中線類問題, 通過倍長中線, 將原三角形等積變形, 變形後的新三角形是定 角對定邊三角形, 作出新三角形的外接圓後, 在圓 O 變化過程中, 根據垂線段最短可以求出新 三角形底邊上高的最大值, 進而能求出新三角形面積的最大值, 也就是原三角形面積的最大值.
圖 13 中, 在 △ABC 轉化為 △ACE 後, 屬於定角對定邊問題, 在文獻 [3] 中提及可以求 出 AE + AC 的最大值 [3], 而 AE = CB, 所以在定角定中線的原問題中, 不僅可以求出
△ABC 的面積最大值, 還可以求出 CA + CB 的最大值 2a
r 2
1 − cos(180◦− α)。
3. 定 角定角平分線求最值
圖9 在 △ABC 中, ∠ACB = α 為銳角且是定值, 角
平分線 CD 的長度為定值 a, 在 ∠ACB 位置變化的過 程中, 求 CA+ CB 的最小值和 △ABC 面積的最小值。
分析: 如圖 9, 因為 CD 是角平分線, 可以想到過點 D 作 DE ⊥ AC, DF ⊥ CB, 垂足分別為 E、 F , 有
△CDE ≃ △CDF , CE = CF = a · cos1
2α, DE = DF = a · sin1 2α。
現在只需要計算 AE + BF 的最小值。
線段 AE 和 BF 不在同一直線上, 故, 在 EC 上截取 EG = BF , 得到 AG = AE + BF , △DGE ≃ △DBF , 進而 ∠GDE = ∠BDF , 所以 ∠ADG = α。
在 △ADG 中, ∠ADG = α 為定值, DE ⊥ AG, DE = a·sin1
2α 為定值, 問題轉化為 定角定高問題, 根據前文 1.2 的敘述, 容易計算出 AG 的最小值, 進而可以計算出 CA + CB 的最小值, 餘下的計算與 1.2 類似, 略。
明晰方法: 從以上的分析過程看出, 在解答定角定角平分線求最值時, 根據角平分線的性質將問 題轉化為定角定高類問題, 定角定高類問題前文已經分為“定角為直角”、 “定角為銳角”、 “定角 為鈍角”三種情況詳細敘述, 在此只給出定角定角平分線問題中定角為銳角的情況, 其餘的兩種 情況, 有興趣的讀者可自行補充。
4. 聯繫與區別
從前文的敘述和“明晰方法”知道, 與“定角對定邊”有關的問題, 通常是作出三角形的外接 圓, 且外接圓的位置和半徑是固定的; 與“定角定高”、“定角定中線”、“定角定角平分線”有關的 問題也是作出三角形的外接圓, 但此時外接圓的位置和半徑是變化的, 在動態的變化中, 利用垂 線段最短求最值。 “定角定中線”類問題通過倍長中線將原問題轉化為“定角對定邊”問題;“定角 定角平分線”類問題通過作角兩邊的垂線, 轉化為“定角定高”類問題。 這兩類問題的轉化時所用 到的輔助線都是常見的輔助線, 解法比較自然。 輔助線的不同引起轉化後的問題類型不同, 不同 輔助線是由原問題中不同的條件產生, 所以這兩類問題有明顯的區別, 不能一概而論。
5. 應用
圖 10 例1(2019 陝西中考壓軸題): 如圖 10, 有一座塔 A, 按規
劃, 要以塔 A 為對稱中心, 建一個面積盡可能大的形狀 為平行四邊形的景區 BCDE。 根據實際情況, 要求頂點 B 是定點, 點 B 到塔 A 的距離為 50 米, ∠CBE = 120◦。 那麼是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行 四邊形景區 BCDE? 若可以, 求出滿足要求的平行四
邊形 BCDE 的最大面積; 若不可以, 請說明理由。 (塔 A 的占地面積忽略不計)
分析: 如圖 10, 因為點 A 為平行四邊形 BCDE 的對稱中心, 所以點 A 是 BD 和 CE 的交 點。 在 △CBE 中, ∠CBE = 120◦, 中線 BA = 50 , 是定角定中線問題。
因為 ∠CBE = 120◦ 粧定不變, 所以 ∠BCD = 60◦ 粧定不變; 因為 BA 長度是 50,
所以 BD 長度是 100 粧定不變。 在 △BCD 中, ∠BCD 是定角, 線段 BD 是定線段, 計算 出 △BCD 的面積最大值, 就可以得出平行四邊形 BCDE 的面積最大值。
要計算 △BCD 的面積最大值, 可以作出 △BCD 的外接圓, 下面的計算過程較易, 略。
例2 (2018 成都中考第 27 題): 在直角三角形 △ABC 中, ∠ABC = 90◦, AB =√
7, AC = 2, 過點 B 作直線 m//AC, 將 △ABC 繞點 C 順時針得到 △A′B′C (點 A, B 的對應點分 別為 A′, B′) 射線 CA′, CB′ 分別交直線 m 於點 P, Q。
圖 11 圖 12
(1) 如圖 11, 當 P 與 A′ 重合時, 求 ∠ACA′ 的度數;
(2) 如圖 12, 設 A′B′ 與 BC 的交點為 M, 當 M 為 A′B′ 的中點時, 求線段 P Q 的長;
(3) 在旋轉過程時, 當點 P, Q 分別在 CA′, CB′ 的延長線上時, 試探究四邊形 P A′B′Q 的面 積是否存在最小值。 若存在, 求出四邊形 P A′B′Q 的最小面積; 若不存在, 請說明理由。
分析: (1)(2) 略。
圖 13 (3) 因為 △A′B′C 的面積是定值, 計算四邊形 P A′B′Q
的最小面積可以通過計算 △CP Q 的面積最小值得出。
∠P CQ 的度數是定值, 點 C 到直線 P Q 的距離 是定值, 這是定角定高問題, 在 △ABC 繞點 C 旋轉過 程中, 線段 P Q 的長度存在最小值。
如圖 13 作出 △CP Q 的外接圓 O, 連接 OC, OC = r, P Q = 2r。 P Q 的最小值轉化為 OC 的最 小值, 也就是圓 O 半徑的最小值, 在 △ABC 繞點 C 旋 轉過程中, 始終有 CO ≥ CB。 接下來的計算, 略。
參 考文獻
1. 邵新虎。 利用幾何畫板探究定弦對定角的頂點軌跡。 中學數學教學參考, 2016(10), 23-24。
2. 鄭瑞。 四點共圓判定定理的直接證明。 中小學數學, 2019(6), 19-21。
3. 鄧文忠。 利用圓的一個結論求兩線段和的最大值。 中學數學雜誌, 2017(8), 38-40。
—本文作者任教中國山東高青縣實驗中學—
