教高中生微積分基本定理

教高中生微積分基本定理

張海潮

如圖一所示, 微分是求函數 y = g(x) 圖形上一點切線的斜率 g^′(x)。

圖一 圖二

而當 f (x) > 0 時, 積分則是求 y = f (x) 函數圖形下方, x 軸上方之間的面積, 如圖二所示, 陰影部份代表介於 x = a, x = b, x 軸和函數圖形之間的面積 (註一)。 在圖一的情形, 求一 條直線的斜率, 需要知道兩點, 因此作法是在圖形上除了點 P (x, g(x)) 之外, 另在附近取一點 Q(x + ∆x, g(x + ∆x)), 如圖三所示 (註二)。

圖三 先求 P Q 線的斜率

g(x + ∆x) − g(x)

(x + ∆x) − x = g(x + ∆x) − g(x)

∆x . (1)

然後再令 ∆x 趨近於 0(∆x → 0), 將所得的極限定為切線的斜率 g^′(x)。 式 (1) 一方面是圖 三中割線 P Q 的斜率, 另一方面式 (1) 也代表當 x 變動到 x + ∆x 時, g(x) 的平均變率 (average rate of change), 而當 ∆x → 0 時, 式 (1) 的極限便是 g(x) 在 x 點的瞬間變率 g^′(x) (Instantaneous rate of change at x)。

平均或是瞬間變率的考量可以針對任意的函數 g(x), 一旦能夠掌握 g(x + ∆x) − g(x) 在 ∆x → 0 的極限 g^′(x) 便可以從 g^′(x) 反求 g(x), 這正是牛頓當年發現微積分基本定理的∆x 切入點。 牛頓首先將圖二改成圖四 (註三)。

圖四

圖四是連續函數 y = f (x) 的圖形從 a 到 x 這一段與 x 軸之間的面積, 在 x 這一點, 函 數 y = f (x) 是高度, 面積以函數 z = z(x) 表。 牛頓的想法是求面積函數 z(x) 在 x 點的瞬 間變率。 欲求 z(x) 的瞬間變率, 必須先求平均變率, 因此牛頓考慮下面的圖五 (並見註三)。 當 x 變化到 x+ ∆x 時, 從 a 到 x+∆x 的面積是 z(x+∆x) 而 z(x+∆x)−z(x) 就是圖五中 在 [x, x+∆x] 上方的面積, 因此平均變率等於 z(x+∆x)−z(x)

∆x 。 如果函數 y 在 [x, x+∆x]

上是常數的話, 則 z(x + ∆x) − z(x) 這塊面積是一個以 y 為高度的長方形, 如圖六所示:

圖五 圖六

在圖六的情形, 不論 ∆x 的大小, z(x + ∆x) − z(x)

∆x 都等於長方形面積 z(x + ∆x) − z(x) 的高, 令 ∆x → 0, 自然得到 z(x) 對 x 的瞬間變率是此長方形的高, 即 f (x)。

一般而言面積 z(x + ∆x) − z(x) 這一塊並非長方形而是形如圖七:

圖七

在圖七中, 令 H 和 h 分別是函數 y = f (x) 在 [x, x + ∆x] 上的最大值和最小值, 則顯然有 (註四)

h ≤ z(x + ∆x) − z(x)

∆x ≤H.

當 ∆x → 0 時, H 和 h 都會趨近 f (x), 因此 z(x + ∆x) − z(x)

∆x 也會趨近 f (x), 亦即 z(x) 對 x 的瞬間變率是 f (x), 或者說 z^′(x) = y = f (x)。 這就是當年牛頓發現的微積分基本定理 (註五)。

根據此一定理, 我們有下列結論:

如圖二所示, 令 F (x) 滿足 F^′(x) = f (x), 則圖二中的面積等於 F (b) − F (a)。 原因是, 因為如圖四, z^′(x) = f (x), 如果 F^′(x) 也等於 f (x), 則 z(x) = F (x) + c, c 是一個常數 (註 六)。 圖二中的面積等於 z(b), 注意到 z(a) = 0, 所以

z(b) = z(b) − z(a) = F (b) + c − (F (a) + c) = F (b) − F (a).

雖然滿足微分是 f (x) 的函數並不唯一, 但是因為這些 「反微分」 彼此只差一個常數, 在計 算 F (b) − F (a) 時, 所差的常數自然會對消, 因此並不重要 (註七)。

以下, 我們補充當 f (x) 不一定恆正時圖四中的面積函數 z(x) 應該如何定義。 如圖八, 當 f(x) 在某一區段小於 0 時, 從 x 到 x + ∆x, 陰影部份的面積若是除以 ∆x, 得到的 「高度」

是正的, 而非 y = f (x) (此處 f (x) < 0), 因此一個合理的面積函數 z(x) 在圖八中應該計以 負值, 如此 z(x + ∆x) − z(x) < 0, 而 z(x + ∆x) − z(x)

∆x 也小於 0, 並且當 ∆x → 0 時, z(x + ∆x) − z(x)

∆x 會趨近於 y = f (x), f (x) 也小於 0。

圖八

如此一來, 只要將 f (x) < 0 時的 「面積」 計以負值, 則微積分基本定理仍然成立, 如圖九

圖九

函數 f 有正有負, 當 f (x) > 0 時陰影部份面積以正計之, 而 f (x) < 0 時陰影部份面積以負 計之, 則總面積仍然會等於 F (b) − F (a), F (x) 是 f (x) 的反微分 (註八)。

換句話說, 只要將 f (x) < 0 的部份, 面積以負計, 則微積分基本定理仍然成立 (利用 f (x) 的任一個反微分 F (x), 圖九的陰影部份 「面積」 皆等於 F (b) − F (a))。 讀者不妨試試下面這 個函數 y = x²−1, 其在 [−1, 1] 這一段的 「面積」 計算。

圖十 若以反微分 1

3x³ −x= F (x) 代 1 和 -1 相減, F(1) =1

3 −1, (2)

F(−1) = −1

3 + 1, (3)

F(1) − F (−1) = − 2 + 2 3 = −4

3, (4)

−4

3 恰是圖十中陰影部份面積取負號。

總之, 微分是求函數圖形切線的斜率, 積分是求圖形與 x 軸之間的 「面積」, 這面積兩字需 要打一引號 「 」, 來說明 「面積」 是要考慮正負的。 唯有如此, 微積分基本定理才會廣泛的成立。

因此, 可能如註八, 得到 「面積」 為 0 時, 原因不過是正的面積和負的面積對消, 一點也不奇怪。

註一: 此處暫時假設 f (x) > 0, 以便處理 y = f (x) 函數圖形與 x 軸之間的面積, 將來, 當

f(x) < 0 時, 會引進 「負的面積」 的概念。 並見註八。

註二: ∆x 代表一個微小的量, 可正可負, 但是不能等於 0, 本文為了方便說明, ∆x 均大於 0。

註三: 莫里斯 · 克萊因著古今數學思想 (Morris Kline, Mathematical Thought From An- cient to Modern Times) 中譯本 69 頁重現了牛頓所畫的圖

圖中的記號 “0” 相當於現在的 ∆x。

註四: 此處用到連續函數 f 在閉區間 [x, x + ∆x] 上有最大值和最小值, 並且當 ∆x → 0 時, 最大和最小值均趨近 f (x)。

註五: 一般認為萊布尼茲亦獨立發現此定理。

註六: 微分等於 f (x) 的函數統稱是 f (x) 的反微分或反導函數, f (x) 的所有反微分彼此只差 一個常數, 圖五中的面積函數 z(x) 是 f (x) 的一個特別的反微分, 它滿足 z(a) = 0。

註七: 多項式 xⁿ 的反微分是 1

n+ 1xⁿ⁺¹ + c, c 是任意常數。 三角函數 sin x 的反微分是

−cos x + c, c 是任意常數。 下面二個函數圖形陰影部份的面積分別是 1 3b³− 1

3a³ 和 cos a − cos b。

註八: 簡言之, 若面積在 x 軸上方以正計, 在 x 軸下方以負計, 則 「面積」 仍然等於 F (b) − F(a)。 式中 F (x) 是函數 f (x) 的反微分。 以 f (x) = x 為例, 下圖的面積 0。 此時若取

F(x) = 1

2x²+ c, 則 F (a) − F (−a) 亦等於 0。

—本文作者為台大數學系退休教授—