一、 引言
在微積分教材中, Rolle 均值定理, Lagrange 均值定理與 Cauchy 均值定理又 (統) 稱為 微分學基本定理、 有限增量定理或有限改變量定理, 是微分學的基本定理之一, 內容是說一段連 續光滑曲線中必然有一點, 它的斜率與整段曲線平均斜率相同 [1, 2]。 均值定理用導函數的性質 來研究函數的性質, 比如 : 單調性、 極值、 凹凸性與拐點等。 蔡聰明推廣均值定理到高階導數的 情形 [3]。
本文推廣並證明了均值定理到 n 個函數。 這個結果是一個更普遍和簡潔的形式, 其特殊形 式包含 Cauchy 均值定理與 Rolle 均值定理。
定理 1 (Rolle1). 假設函數f : [a, b] → R 滿足 : (i) f 在 [a, b] 上連續;
(ii) f 在 (a, b) 上可微分;
(iii) f (a) = f (b)。
則存在 ξ ∈ (a, b) 滿足 : f(ξ) = 0。
註記 1. 從物理角度而言, 一個直線運動的質點從起點開始回到起點, 必然有一個時刻, 在該時 刻質點的速度為零。
定理 2 (Lagrange2). 假設函數 f : [a, b] → R 滿足 : (i) f 在[a, b]上連續;
(ii) f 在(a, b)上可微分。
則存在 ξ ∈ (a, b) 滿足 : f(ξ) = f (b)− f(a) b− a 。
1Michel Rolle (1652.4∼1719.11), 法國數學家。 羅爾均值定理根據數學家羅爾命名。
2Joseph-Louis Lagrange (1736.1∼1813.10), 義大利天文學家, 數學家。
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圖 1 圖 2 圖 3
註記 2. 所謂均值定理, 這裡主要是因為f(ξ) 為質點在區間[a, b]上的平均速度, 即所謂的均 值。
定理 3 (Cauchy3). 假設 f, g : [a, b] → R 满足 : (i) f, g 在[a, b]上連續;
(ii) f, g 在(a, b)上可微分。
則存在 ξ ∈ (a, b) 滿足 : [f(b) − f(a)] g(ξ) = [g(b)− g(a)] f(ξ)。 若进一步假设 g(t) =
0,∀t ∈ (a, b), g(b) = g(a), 则存在 ξ ∈ (a, b), 使得 f (b)− f(a)
g(b)− g(a) = f(ξ) g(ξ)。
註記 3. Cauchy 均值定理為參數方程下的 Lagrange 均值定理, 是一個一般化的結果。
二、 微分均值定理的推廣
Cauchy 均值定理為 Rolle 和 Lagrange 均值定理的一般形式, 它將一個函數的情形推 廣到了兩個函數。 其結果為 :
[f (b)− f(a)] g(ξ) = [g(b)− g(a)] f(ξ)
α [f (b)− f(a)] g(ξ) + β [g(b)− g(a)] f(ξ) = 0,
(1) 這裡 α = −β。 進一步假設 f(b) = f(a), g(b) = g(a), 得到
α f(ξ)
f (b)− f(a) + β g(ξ)
g(b)− g(a) = 0. (2)
更一般的, 我們猜想到以下結果 :
3Augustin-Louis Cauchy (1789.8∼1857.5), 法國數學物理學家。
α1 1
f1(b)−f1(a) + α2 2
f2(b)−f2(a) +· · · + αn n
fn(b)−fn(a) =
i=1
αi i
fi(b)−fi(a) = 0
證明 : 由結論出發, 要證明存在 ξ ∈ (a, b) 滿足 :
n i=1
αi fi(ξ)
fi(b)− fi(a) = 0, 令 : Φ(x) =
n i=1
αi fi(x)
fi(b)− fi(a) (3) 上式兩邊積分,
x
a
Φ(t) dt = x
a
n i=1
αi fi(t) fi(b)− fi(a)dt Φ(x) =
n i=1
αifi(x)− fi(a)
fi(b)− fi(a) + Φ(a)
(4)
令 Φ(a) = 0,
Φ(x) =
n i=1
αifi(x)− fi(a)
fi(b)− fi(a) (5) 下面驗證 Φ(x) 在 [a, b] 上滿足 Rolle 均值定理的條件。 根據假設 Φ(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微分。 Φ(a) = 0, 又有
Φ(b) =
n i=1
αifi(b)− fi(a) fi(b)− fi(a) =
n i=1
αi = 0 由 Rolle 定理知 : 存在 ξ ∈ (a, b), 滿足 : Φ(ξ) = 0, 即
n i=1
αi fi(ξ)
fi(b)− fi(a) = 0
註記 4. 命題 1 的另外幾個個輔助函數為 (命題的證明轉化為輔助函數滿足 Rolle 定理的條 件):
Ψ1(x) = α1(f1(x)− f1(a))(f2(b)− f2(a))· · · (fn(b)− fn(a)) (f1(b)− f1(a))(f2(b)− f2(a))· · · (fn(b)− fn(a))
+α2(f1(b)− f1(a))(f2(x)− f2(a))· · · (fn(b)− fn(a)) (f1(b)− f1(a))(f2(b)− f2(a))· · · (fn(b)− fn(a)) +· · ·
+αn(f1(b)− f1(a))(f2(b)− f2(a))· · · (fn(x)− fn(a)) (f1(b)− f1(a))(f2(b)− f2(a))· · · (fn(b)− fn(a)) 或者
Ψ2(x) = α1(f1(x)− f1(a))(f2(b)− f2(a))· · · (fn(b)− fn(a)) +α2(f1(b)− f1(a))(f2(x)− f2(a))· · · (fn(b)− fn(a)) +· · ·
+αn(f1(b)− f1(a))(f2(b)− f2(a))· · · (fn(x)− fn(a)) 註記 5. 若n = 2, α1 =−α2, 則上述命題則退化為 Cauchy 均值定理。 即,
f1(ξ)
f1(b)− f1(a) = f2(ξ)
f2(b)− f2(a), ξ ∈ (a, b)
因為 Cauchy 均值定理為 Rolle 和 Lagrange 均值定理的一般化情形, 所以命題1 為更一般 化的微分均值定理。
註記 6. 一些例子 :
(i) 若fk(x) = xk, k = 1, 2, . . . , n,n
i=1αi = 0, 則有∃ξ ∈ (a, b), 使得 α1 1
b− a + α2 2ξ
b2− a2 +· · · + αn
nξn−1 bn− an = 0.
(ii) 若fk(x) = sin(kx), k = 1, 2, . . . , n,n
i=1αi = 0, 則∃ξ ∈ (a, b), 使得 α1 cos(ξ)
sin(b)− sin(a) + α2 2 cos(2ξ)
sin(2b)− sin(2a) +· · · + αn
n cos(nξ)
sin(nb)− sin(na) = 0.
這裡要求 : sin(kb) = sin(ka), k = 1, 2, . . . , n。
(iii) 若fk(x) = ekx, k = 1, 2, . . . , n,n
i=1αi = 0, 則有∃ξ ∈ (a, b), 使得 α1 eξ
eb− ea + α2 2e2ξ
e2b− e2a +· · · + αn
nenξ
enb− ena = 0.
三、 結論
均值定理為微積分的重要定理之一, 通過均值定理研究函數的性質具有重要的意義。 推廣 後的均值定理具有更廣泛的形式和意義, 可以更好地幫助我們理解微積分的知識。
勘 誤 表
本刊167期勘誤如下:
P.64倒數第三行 398 = 35+ 34+ 23+ 21+ 2 修改為 398 = 35+ 34+ 23+ 22+ 2。 P.94 作者李學數教授為美國聖荷西大學退休榮譽教授
本刊166期勘誤如下:
P.6 下方圖片說明 「Noam Ekies」 修改為 「Noam Elkies」。
P.91 第二行及第四行 「兩個質數」 修改為 「兩個整數」。
倒數第六行 「穀山-志村」 修改為 「谷山-志村」。
P.92 第四行 「穀山-志村」 修改為 「谷山-志村」。
倒數第三行文字 「挪威自然科學與文學院的」 刪除。
P.93 倒數第四行 「3位元」 修改為 「3位」。
本刊165期勘誤如下:
P.15 第二行 「拓撲」 修改為 「拓樸」。
P.20 第三行、 最後一行 「拓撲」 修改為 「拓樸」。
P.23簡介第五行 「1965年升任中研院研究員」 修改為 「1975年升任中研院研究員」。
P.64 第十一行 「n2」 修改為 「n2」。
