⇒ ⇒ 10( ⋅ ⋅ C ⋅ 101 C ⋅ 101 C ⋅ 101 C ⋅ 101 C ⋅ 101 11004500 • • • •••••••••

全國公私立高級中學 102 學年度 學科能力測驗 第 2 次 模擬考試(詮達板) 102.9.5 第壹部份：選擇題(占 60 分)

一、單選題(占 30 分)

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案 區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1.若 a＝ 5 ＋2 3 ，b＝ 6 ＋ 11，c＝ 3 × 11，則 a，b，c 的大小滿足下列哪一個選項？

(1) a＜b＜c (2) a＜c＜b (3) b＜c＜a (4) b＜a＜c (5) c＜a＜b 解：a＝ 5 ＋2 3 ，⇒a²＝( 5 ＋2 3 )²＝17＋2 60

b＝ 6 ＋ 11，⇒ b²＝( 6 ＋ 11)²＝17＋2 66 c＝ 3 × 11＝ 33 ，⇒ c²＝33＝17＋16＝17＋2 64

⇒b²＞c²＞a²，且 a，b，c 皆為正數，∴b＞c＞a 答：(2)

出處：數與式

2.設二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c，其中 a＜0，若對任意實數 t，恆有 f (－3＋t)＝f (5－t)，則 f (0)、f (－2)、f (5)的大小關 係為下列哪一個選項？

(1) f (－2)＜f (0)＜f (5) (2) f (－2)＜f (5)＜f (0) (3) f (0)＜f (－2)＜f (5) (4) f (5)＜f (－2)＜f (0) (5) f (5)＜f (0)＜f (－2)

解：∵f (－3＋t)＝f (5－t)，⇒得知 f (x)圖形的對稱軸方程式為 x＝1 又∵a＜0 表示圖形的開口向下，如右圖，∴f (0)＞f (－2)＞f (5) 答：(4)

出處：多項式函數

3.設方程式 x＋log₂x＝1，x＋log₂x＝2，x＋log₃x＝3 的根分別是 a，b，c，則下列選項何者正確？

(1) a＜b＜c (2) a＜c＜b (3) b＜c＜a (4) b＜a＜c (5) c＜a＜b 解：x＋log₂x＝1，⇒設





=

−

= x y

x y

log2

1 之交點為(a，f (a))

x＋log₂x＝2，⇒設





=

−

= x y

x y

log2

2 之交點為(b，f (b))

x＋log₃x＝3，⇒設





=

−

= x y

x y

log3

3 之交點為(c，f (c)) 圖形如右，⇒ c＞b＞a

答：(1)

出處：指數與對數

4. 11 乘開後末三位數字為？(1) 301 ¹⁰ (2) 411 (3) 601 (4) 711 (5) 721 解：11 ＝¹⁰ (10+1)¹⁰＝C₀¹⁰1¹⁰⋅10⁰＋C₁¹⁰1⁹⋅10¹＋C₂¹⁰1⁸⋅10²＋C¹⁰₃ 1⁷⋅10³＋C₄¹⁰1⁶⋅10⁴＋……

＝1＋100＋4500＋10 (³ C₃¹⁰1⁷＋C¹⁰₄ 1⁶⋅10¹＋……)＝4601＋10 (³ C₃¹⁰1⁷＋C¹⁰₄ 1⁶⋅10¹＋……)

⇒展開後末三位數字表示除以 1000 的餘數，∴4601 除以 1000 的餘數＝601 答：(3)

出處：指數與對數、二項式定理

5.設 f (x)＝x³＋bx²＋cx＋d 為整係數多項式，已知 f (x)＝0 的三根皆為有理根，且 f ( 8 )＜0，

f ( 12)＞0，f ( 20 )＜0，f (2 7)＞0，則 d 之值為？

(1) 15 (2) 24 (3)－24 (4)－60 (5) 72

解：∵f (x)為整係數多項式，又領導係數為 1，且有三個有理根，由牛頓定理得知三根皆為整數

由勘根定理知，區間( 8 ， 12)，( 12， 20 )，( 20 ，2 7)內各有一實根，如圖，得三根為 x＝3，4，5

⇒ f (x)＝(x－3)(x－4)(x－5)＝x³－12x²＋47x－60，∴d＝－60 答：(4)

出處：多項式函數

• •

• •

••• • •^{f (1)}

f (5) f (0)

f (-2)

f (2)

x＝1

• • •

y＝log₂x

y＝log₃x

y＝1－x y＝2－x y＝3－x x y

a b c

3 4 5

8 ₁₂ 20 2 7

102 模擬考 CJT

6.甲、乙、丙三袋中，甲袋有 2 黑球 3 白球，乙袋有 2 黑球 2 白球，丙袋有 1 黑球 3 白球。今自甲、乙、丙三袋中各取 一球，至少取出 2 黑球之機率為何？

(1)30

11 (2) 30

17 (3) 30

19 (4) 40

11 (5) 40 13

解：機率＝

甲黑球{ 5 2 ×

乙黑球{ 4 2 ×

丙黑球{ 4 1 ＋

甲黑球{ 5 2 ×

乙黑球{ 4 2 ×

丙白球{ 4 3 ＋

甲黑球{ 5 2 ×

乙白球{ 4 2 ×

丙黑球{ 4 1 ＋

甲白球{ 5 3 ×

乙黑球{ 4 2 ×

丙黑球{ 4 1 ＝

40 13

答：(5)

出處：機率與統計

二、多選題(占 30 分)

說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題 答案區」。各題之選項獨立判定，所有的選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，

得 1 分；答錯多於 2 個選項所有選項作答者，該題以零分計算。

7.試問下列哪些選項的標準差與資料 1、2、3、4、5 的標準差相同？

(1)2、4、6、8、10 (2) －1、－2、－3、－4、－5 (3) 102、103、104、105、106 (4)－2

1，－1，－

2

3，－2，－

2

5 (5)3、5、7、9、11 解：設資料 x：1、2、3、4、5，標準差為S ，則 _x

令資料x₁：2、4、6、8、10，∵x₁＝2x，⇒標準差為

x1

S ＝2S _x 令資料x₂：－1、－2、－3、－4、－5，∵x₂＝－x，⇒標準差為

x2

S ＝|－1|S ＝_x S _x 令資料x ：102、103、104、105、106，∵₃ x ＝x＋101，⇒標準差為₃

x3

S ＝S _x 令資料x₄：－

2

1，－1，－

2

3，－2，－

2

5，∵x₄＝－

2

1x，⇒標準差為

x4

S ＝|－

2 1|S ＝_x

2 1

S x

令資料x ：3、5、7、9、11，∵₅ x₄＝2x＋1，⇒標準差為

x5

S ＝2S _x 註：可求出資料 x：1、2、3、4、5 的標準差S ＝_x 2

答：(2)(3) 出處：數據分析

8.已知正實數a₁、a₂、a 、₃ a₄為一等比數列且 3＜a₁＜9，a ＝9，若定義₃ b ＝_n log₃a_n，則下列哪些選項式正確的？

(1)b₁＜b₂＜b ＜₃ b₄ (2)b₁、b₂、b 、₃ b₄為一等差數列 (3)b ＝2 (4)₃ b₄＞3 (5)b₂＋b₄＝6 解：設正實數等比數列a₁、a₂、a 、₃ a₄之公比為 r，⇒a₁、a₁r，a₁r²，a₁r³

∵3＜a₁＜9，⇒3r²＜a ＝₃ a₁r²＝9＜9r²，⇒log₃3r ＜² log₃9＜log₃9r ，⇒0＜² log₃r＜ 2

1，∴1＜r＜

9 1

(1)∵b －_n b_n−1＝log₃a_n－log₃a_n−1＝

1

log3

− n

n

a

a ＝log₃r＞0，得知b₁＜b₂＜b ＜₃ b₄ (2)由(1)知b －_n b_n−1＝log₃r＞0，得知b₁、b₂、b 、₃ b₄為一等差數列

(3)∵b ＝₃ log a ＝_{3 3} log₃9＝2

(4)b₄＝log a ＝_{3 4} log₃(a₃r)＝log₃(9r ＝2＋) log₃r＜2＋

2 1＝

2 5＜3 (5)b₂＋b₄＝log a ＋_{3 2} log a ＝_{3 4} log₃(a₂a₄)＝log₃(a₃²)＝2log₃81＝4 答：(1)(2)(3)

出處：數列與級數

9.下列各選項的敘述哪些選項正確？

(1) 5 件相同物品，任意放入 3 個相同的箱子，每箱可兼得可不得，分法共有 15 種 (2) 5 件相同物品，任意放入 3 個相異的箱子，每箱可兼得可不得，分法共有 21 種 (3) 5 件相異物品，任意放入 3 個相同的箱子，每箱可兼得可不得，分法共有 41 種 (4) 5 件相異物品，依 2 件、2 件、1 件放入 3 個相同的箱子共有 30 種

(5) 5 件相異物品，依 3 件、1 件、1 件放入 3 個相異的箱子共有 10 種 解：(1)分成(5，0，0)，(4，1，0)，(3，2，0)，(3，1，1)，(2，2，1)共 5 種

(2)∵相異的箱子，將(1)的情形依序排列：

! 2

! 1

!

3 ＋3!＋3!＋

! 2

! 1

! 3 ＋

! 2

! 1

!

3 ＝3＋6＋6＋3＋3＝21 另解：設放入 A、B、C 三箱，則 A＋B＋C＝5 之非負整數解，⇒有H ＝₅³ C ＝21 ₅⁷ (3)∵相異的物品，(5，0，0)：C ＝1，(4，1，0)：₅⁵ C₄⁵×C ＝5，(3，2，0)：₁¹ C ×₃⁵ C ＝10 ₂²

(3，1，1)：C ×₃⁵ C₁²×C₁¹×

! 2

1 ＝10，(2，2，1)：C₂⁵×C₂³×C₁¹×

! 2

1 ＝15

⇒共有 1＋5＋10＋10＋15＝41 種 (4) (2，2，1)：C₂⁵×C₂³×C₁¹×

! 2

1 ＝15 種

(5) (3，1，1)：C ×₃⁵ C₁²×C₁¹×

! 2

! 3 ＝60 答：(2)(3)

出處：排列組合

10.已知 f (x)＝ax³＋bx²＋cx＋d 為實係數三次多項式，其中 a＜0，若 f (0)＞0，f (3)＜0，複數

－2＋i 為方程式 f (x)＝0 之一根，則下列選項哪些是正確的？

(1) f (2＋i )＝0 (2) f (102)＜0 (3) y＝f (x)的圖形恰與 x 軸交於一點 (4) y＝x－1 與 y＝f (x)的圖形必有交點 (5)沒有實數滿足 f (x³)＝x³

解：(1)∵f (－2＋i )＝0，根據實係數多項式方程式複數根成雙定理，得知 f (－2－i )＝0 (3)∵三次多項式恰有 3 根，除 x＝－2＋i，x＝－2－i 外，尚有一實數根

根據勘根定理，∵f (0) f (3)＜0，∴區間(0，3)內有一實數根 如右圖，得知 y＝f (x)的圖形恰與 x 軸交於一點

(2)如右圖，得知 f (102)＜0

(4)如右圖，y＝x－1 與 y＝f (x)的圖形必有交點

(5)∵deg f (x³)＝9，奇次實係數方程式至少有一實數根(成雙定理) 答：(2)(3)(4)

出處：多項式函數

11.同時投擲紅、白、黃三粒公正的骰子一次，其點數依序為 a，b，c，則下列哪些選項正確？

(1) a＝b＝c 的機率為 36

1 (2) a＞b＞c 的機率為 9

5 (3) a ≤ b ≤ c 的機率為 27

7 (4) a＞b≥c 的機率為

72

5 (5) abc＝24 的機率為 36

1

解：樣本空間 n(S)＝n(投擲紅、白、黃三粒公正的骰子一次)＝6×6×6＝216 (1)事件 n(a＝b＝c)＝n((k，k，k)，k＝1，2，…，6)＝6，機率＝

216 6 ＝

36 1

(2)事件 n(a＞b＞c)＝C ＝20，機率＝₃⁶ 216

20 ＝ 54

5

另解：事件個數＝(4＋3＋2＋1)＋(3＋2＋1)＋(2＋1)＋1＝10＋6＋3＋1＝20

a 6 5 4 3

b 5 4 3 2 4 3 2 3 2 2 c 1~4 1~3 1~2 1 1~3 1~2 1 1~2 1 1

O 3

•

•

x y

f(0)

f(3) y＝x－1

102 模擬考 CJT

(3)事件 n(a ≤ b ≤ c)＝H ＝₃⁶ C ＝56，機率＝₃⁸ 216

56 ＝ 27

7

另解：事件個數＝(6＋…＋1)＋(5＋…＋1)＋(4＋…＋1)＋(3＋…＋1)＋(2＋1)＋1＝56

c 6 5 4

b 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 4 3 2 1 a 1~6 1~5 1~4 1~3 1~2 1 1~5 1~4 1~3 1~2 1 1~4 1~3 1~2 1

c 3 2 1

b 3 2 1 2 1 1 a 1~3 1~2 1 1~2 1 1

(4)事件 n(a＞b≥c)＝n(a＞b＞c)＋n(a＞b＝c)＝C ＋₃⁶ C ＝20＋15＝35，機率＝₂⁶ 216

35

(5)事件 n(abc)＝n((6，4，1)，(6，2，2)，(4，3，2))＝3!＋

! 2

!

3 ＋3!＝6＋3＋6＝15，機率＝

216 15 ＝

72 5 答：(1)(3)

出處：機率與統計

12. 102 學年度學科能力測驗，已知 4 位考生的數學(X)與英文(Y)級分如附表，

若此 4 位考生 X 與 Y 的相關係數為 r，Y 對 X 的迴歸直線為 y＝bx＋a，

且考生戊的數學成績為 10 級分，依迴歸關係，預測戊的英文成績為 c 級分

，則下列各選項哪些正確？

(1) X 的算術平均數µ_x＝12 (2) Y 的算術平均數µ_y＝14 (3) b＝r (4) a＋b＞9 (5) c＝13

解：數據計算統計如下表：

X＝x_i Y＝y_i (x －_i x_i) (y －_i y_i ) (x －_i x_i)² (y －_i y_i)² (x －_i x_i) (y －_i y_i)

12 14 0 0 0 0 0

11 14 －1 0 1 0 0

12 13 0 －1 0 1 0

13 15 1 1 1 1 1

xi＝12 y_i＝14 ∑＝0 ∑＝0 ∑＝2 ∑＝2 ∑＝1

(1) X 的算術平均數µ_x＝x_i＝12 (2) Y 的算術平均數µ_y＝y_i＝14

(3)(4)相關係數為 r＝

∑

∑

∑

=

=

=

−

⋅

−

−

−

4

1

2 4

1

2 4

1

) (

) (

) )(

(

i

i i i

i i i

i i i i

y y x

x

y y x x

＝ 2 2 1

× ＝ 2 1

迴歸直線 y＝bx＋a，其中 b＝

∑

∑

=

=

−

−

−

4

1

2 4

1

) (

) )(

(

i

i i i

i i i i

x x

y y x x

＝2

1，又y_i＝bx_i＋a，⇒14＝

2

1×12＋a，∴a＝8

⇒迴歸直線 y＝

2

1x＋8，故 b＝r＝

2

1，a＋b＝8＋

2 1＜9

(5)戊生數學 x＝10 代入 y＝

2

1x＋8＝

2

1×10＋8＝13 答：(1)(2)(3)(5)

出處：數據分析

考生 甲 乙 丙 丁 數學級分(X) 12 11 12 13 英文級分(Y) 14 14 13 15

第貳部份：選填題(占 40 分)

說明：1.第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(◎)。

2.每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.數列 a_n 滿足a₁＝4，a₂＝16，當 n≥3 時，a 為前 n－1 項的算術平均數，則_n a₄＝_____。

解：a 為前 3－1 項的算術平均數＝₃ 2

16 4+

＝10

a4為前 4－1 項的算術平均數＝

3 10 16 4+ +

＝10 答：10

出處：數列與級數

B.台南中山公園在花展期間，由工作人員老羅在半徑 20 公尺的半圓中，開闢一個內接矩形 花園，且其一邊與圓的直徑重合，如圖所示，試求此花園的最大面積為_____平方公尺。

解：設矩形的長為 AB ＝2OB＝2x 公尺，寬為BC＝y 公尺，如右圖，∴x²＋y²＝20²＝400

∵x²＋y²≥ 2 x²⋅y² ＝2xy，⇒ 400≥ 2xy，xy≤ 200，矩形面積＝(2x) y≤ 400 答：400

出處：數與式、算幾不等式

C.台灣政府為了核四是否繼續興建，邀請擁核團體 7 人、反核團體 8 人、核能專家 9 人，共三個團體開會討論，政府為 慎重此事，決定再邀請 10 人參加，使每個團體至少要有 10 人，則此 10 人邀請的方式共有_____種。

解：設邀請 10 人中，擁核團體 a 人，反核團體 b 人，核能專家 c 人，且 a≥ 3，b≥ 2，c≥ 1

⇒ a＋b＋c＝10，a≥ 3，b≥ 2，c≥ 1，

令 a′＝a－3，b′＝b－2，c′＝c－1，⇒ a′＋b′＋c′＝4，a′，b′，c′為非負整數解，∴方法數有H ＝₄³ C ＝15 ₄⁶ 答：15

出處：排列組合

D.甲袋有 3 個白球，若干個紅球，乙袋有 4 個白球，3 個紅球，今任選一袋，再從該袋中任取兩紅球(袋與袋、球與球被 取的機會均等)，已知該兩紅球來自甲袋的機率為

3

2，則甲袋中的紅球共____個？

解：設甲袋中的紅球有 x 個，

⇒n(取兩紅球)＝n(來自甲袋兩紅球，來自乙袋兩紅球)＝

2 1× ₃

2 2

+ x

x

C C ＋

2 1× ₇

2 3 2

C C

∴P(甲袋兩紅球 | 兩紅球)＝

7 2 3 2 3

2 2

3 2

2

2 1 2

1 2 1

C C C

C C

C

x x

x x

× +

×

×

+ +

＝

7 1 ) 2 )(

3 (

) 1 (

) 2 )(

3 (

) 1 (

+ + +

− + +

−

x x

x x

x x

x x

＝7 ( 1) ( 3)( 2) )

1 ( 7

+ + +

−

− x x x

x

x x

⇒3 2＝

) 2 )(

3 ( ) 1 ( 7

) 1 ( 7

+ + +

−

− x x x

x

x

x ，⇒5x²－17x－12＝0，⇒(x－4)(5x＋3)＝0，得知 x＝4 答：4

出處：機率與統計

E.老羅與阿麗二人同時以相同的金額存入銀行，其年利率分別以 8%及 20%，每年複利一次，問至少經過____年後，

阿麗的本利和是老羅的本利和的 2 倍(含)以上。

解：設相同的金額為 P 元，且 n 年後阿麗的本利和是老羅的本利和的 2 倍(含)以上

⇒阿麗的本利和＝P(1+20%)ⁿ，老羅的本利和＝P(1+8%)ⁿ

∴P(1+20%)ⁿ≥ 2P(1+8%)ⁿ，⇒(1+20%)ⁿ≥ 2(1+8%)ⁿ，⇒ )ⁿ 08 . 1

2 .

(1 ≥ 2，⇒ )ⁿ 9 (10 ≥ 2

⇒取 log )ⁿ 9

(10 ≥ log 2，⇒n(log10－log )≥ log 2，⇒ n ≥9

0458 . 0

3010 .

0 ≈6.57，取 n 最少為 7 答：7

出處：指數與對數

A B

D C

O x 20 y

102 模擬考 CJT

F.中國大陸今年 H7N9 正在大流行，台灣當局為防範蔓延，醫界研究出一種能即時診斷這種病的檢驗方法，根據這種檢 驗方法，患有 H7N9 的病人，被檢查出來 H7N9 的機率是 99%，而一般感冒沒有得 H7N9 的人，被檢查成患有 H7N9 的機率是 5%，而正常健康的人被誤診患有 H7N9 的機率是 1%。在台灣人民中，實際患有 H7N9 的患者佔 1%，患有 一般感冒非 H7N9 的人佔 9%，今在台灣人民中任選一人，已知此人被診斷患有 H7N9，則此人確實是 H7N9 的病患者 的機率為______。

解：如右表：

機率＝1% 99% 9% 5% 90% 1%

% 99

% 1

× +

× +

×

×

＝99 45 90 99

+

+ ＝

26 11

答：26 11

出處：機率與統計(貝式定理)

G.西元 2013 年美國職棒大聯盟開打中，各對均賽完一場後，在參賽的隊伍中任取 9 隊，此 9 隊中的 6 隊平均得分是 5 分，標準差是 4 分，另 3 隊得分的算術平均數是 2 分，標準差是 2 分，則此 9 隊得分的標準差是_____分。

解：設 6 隊為 X：x₁，x₂，…，x ；3 隊為 Y：₆ y₁，y₂，y ₃

(i)X ＝5，S ＝4＝_x

∑

= 6 −

1 2 2

6 1

i

i X

x ＝

∑

= 6 −

1 2 2

6 5 1

i

xi ，⇒

∑

= 6

1 2 i

x ＝246 i

Y ＝2，S ＝2＝_y

∑

= 3 −

1 2 2

3 1

i

i Y

y ＝

∑

= 3 −

1 2 2

3 2 1

i

yi ，⇒

∑

= 3

1 2 i

y ＝24 i

(ii)合併後 9 隊：平均得分Z ＝ 9

1(6×5＋3×2)＝4

標準差S_z＝

∑

= 9 −

1 2 2

9 1

i

i Z

z ＝

∑ ∑

= =

−

6 +

1

3 2 1

2

2 )

9( 1

i i

i

i y Z

x ＝ (246 24) 4²

9

1 + − ＝ 14

答： 14

出處：數據分析

H.用黑、白兩種顏色的正六邊形花樣地磚依照如下的規律拼成若干圖形，設a 是第 n 圖需用到的白色地磚數，則拼列到_n 102 個圖案需用到_____塊白色地磚

解：第一圖：白色地磚數＝2＋4×1 第二圖：白色地磚數＝2＋4×2 第三圖：白色地磚數＝2＋4×3

……

第 102 個圖：白色地磚數＝2＋4×102＝410 答：410

出處：數列與級數

患 H7N9 感冒 正常健康 1%

9%

90%

99% 檢查出 被誤診

被誤診 5%

1%

⇒1%×99%

⇒9%×5%

⇒90%×1%

第一圖 第二圖 第三圖