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單元一：數列 課文 A：數列與規律
這單元我們要學習的內容是數列。
什麼是數列呢？
簡單來說就是把一串數做排列。
舉一個實際的例子，某次彩券開獎實況畫面如下圖：
從圖片中會看到這個彩券開獎號碼順序是：8 , 27 , 34 , 4 , 19，
而「 8 , 27 , 34 , 4 , 19 」這樣子的一串數依序排列就稱為數列。
再舉一個例子，台北計程車計費表起跳為 70 元，每跳一次表加 5 元。
小侃從火車站搭到動物園的花費是 400 元，下列是他從上車到下車所 記錄的數字：70 , 75 , 80 , 85 , 90 , 95 , … … , 385 , 390 , 395 , 400，
這樣子排列的一串數也是數列，只是中間它省略了一些數。
總之，不管數字有沒有重複，也不管有沒有規律，
只要將一串數排成一列都可以叫做數列。
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知道了什麼是數列後，再來介紹數列的相關名詞。
在前面計程車費用的例子中：
「70 , 75 , 80 , 85 , 90 , 95 , … … , 385 , 390 , 395 , 400」
此數列中，第1個數為 70，我們就稱第 1 項為70，記作 𝑎1 = 70。
依此類推，第 2 個數為 75，稱第2項為 75，記作 𝑎2 = 75，
第 3 個數為 80，稱第3項為 80，記作 𝑎3 = 80，……，
這個數列最後 1 個數為 400，稱末項為400。
在數列當中，我們會依照排列的次序給每一個數一個名字，第1個數 就稱為第1項，可以記為 𝑎1 ；第2個數就稱為第2項，可以記為 𝑎2 ； 第3個數就稱為第3項，可以記為 𝑎3 ；……。
從這個規則來看，第n個數我們就稱它為第n項，記為𝑎𝑛。
除此之外，第1項是最開始的數，我們又稱它為首項；
相對的，最後出現的數，我們就稱它為末項。
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下面有 3 個關於數列的例子，都含有著某種規律，
讓我們來觀察看看這些數列，根據數列間的各項，試著找出其規律！
Ex1.已知下列數列分別隱含某種規律，
請依其規律在空格中填入適當的數，並說明所用到的規律。
(1) 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , (2) 3 , 6 , 12 , 24 , ,96
(3) 1 , −2 , 3 , −4 , 5 , , 7 , −8 (4) 4 , 9 , , 25 , 36 , 49
◎解題思維與解答：
(1) 仔細觀察一下這個數列：1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16, ， 發現相鄰兩項，後面一項都比前面一項多 3，
1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16, 依照這個規律，第7項𝑎7也要比第6項𝑎6還要多 3 ， 也就是 16 + 3 = 19 ，所以空格應該填入 19 。 (2) 仔細觀察一下這個數列：3 , 6 , 12 , 24 , ,96
發現相鄰兩項，後一項似乎都是前一項的 2 倍，所以我們將後 面一項除以前面一項，結果如下:
第2項除以第1項：𝑎2÷ 𝑎1 = 6 ÷ 3 = 2；
第3項除以第2項：𝑎3÷ 𝑎2 = 12 ÷ 6 = 2；
+3 +3 +3 +3 +3
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第4項除以第3項：𝑎4÷ 𝑎3 = 24 ÷ 12 = 2。
3 , 6 , 12 , 24 , , 96 所以空格應該填入 48。
(3)仔細觀察一下這個數列：1 , −2 , 3 , −4 , 5 , , 7 , −8，
此數列先不看正負號就可以很直覺的知道是：
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
但是它有正有負，所以正負的規律也要考慮進來：
𝑎1是正、𝑎2是負、𝑎3是正、𝑎4是負、𝑎5是正、…，
按照這個規律可以猜測應該是：+, −, +, −, +, −, +, −, …。
也就是奇數項為正，偶數項為負，所以 𝑎6 應該要是負的，
也就是說空格應該填入−6 。
(4)仔細觀察一下這個數列： 4 , 9 , , 25 , 36 , 49，
這些數字好像很熟悉，在平方根那個單元常常會出現耶！
再想一下，這些數字其實都是某些數的平方：
4 = 22, 9 = 32, 25 = 52, 36 = 62, 49 = 72。 紀錄一下：
4 , 9 , , 25 , 36 , 49
那麼空格應該填入 42 = 16 。
× 𝟐 × 𝟐 × 𝟐
22
||
32
||
52
||
62
||
72
||
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除了數字間有某種規律以外，在某些圖形中也會有一些規律可以推論，
舉一些例子來看看！
Ex2.下面各圖是小君運用火柴棒所排出的正三角形，
請你觀察一下這些圖形之間的差異與所需的火柴數之間的關係，
並依此關係求出圖(101)會需要幾根火柴棒。
◎解題思維與解答：
由圖形的規律發現：每多 1 個三角形，就多 2 根火柴棒，這就是各 圖間的關係。各圖跟圖(1)相比的各數可以記錄成下表：
圖(1) 圖(2) 圖(3) 圖(4)
比圖(1)多 1 個三角形
比圖(1)多 2 個三角形
比圖(1)多 3 個三角形 比圖(1)多
1 組 2 根火柴棒
比圖(1)多 2 組 2 根火柴棒
比圖(1)多 3 組 2 根火柴棒 火柴棒
總數 3 3 + 2 × 1 3 + 2 × 2 3 + 2 × 3 依照此規律，圖(101)比圖(1)多 100 個三角形，所以所需要的火柴棒 總數為 3 + 2 × 100 = 203 根火柴數
圖(1) 圖(2) 圖(3) 圖(4)
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在生活中常常隱含著某一些規律，我們仔細觀察就能把這些規律找出 來，接下來我們就舉幾個例子來試試看！
Ex3.下圖是台鐵火車車廂的座位表，一節車廂上總共有 52 個位子，
請寫出第一行全部的座位號碼。
第一行 第二行 第三行 第四行
第一排 1 3
走
道
4 2
第二排 5 7 8 6
第三排 9 11 12 10
... ... ... ... ...
◎解題思維與解答：
仔細觀察第一行的數是 1,5,9,13, … ，
1 , 5 , 9 , 13 , …
第一行這個數列的規律就是前一項加 4 等於後一項，
因此第一行座位號碼依序為：1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49 。
+4 +4 +4
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閱讀重點提問
1.一個數列中，
第1個數就稱為 或稱為 ，通常記為 ； 第2個數就稱為 ，通常記為 ；
第3個數就稱為 ，通常記為 ；…；
第n個數就稱為 ，通常記為 ； 一個數列的最後一項，我們就稱它為 。
2.根據上面的課文，請用自己的話解釋「首項」、「末項」，並舉一個 數列的例子做說明。
3.請舉出一個有規律的數列，並解釋這個數列的規律。
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․隨堂練習：
1. 已知下列數列分別隱含某種規律，請依其規律在空格中填入適當的 數。
(1) 2 , 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , (2) 1 , 3 , 9 , 27 , , 243 (3) −1 ,12 , −13 , , −15 ,16
(4) 1, √2, √3, 2, √5, √6, , √8, 3 (5) 1 , 8 , , 64 , 125
(6) 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , 37,
2. 下面各圖是小義運用火柴棒所排出的正方形，請你觀察一下這些 圖形之間的差異與所需的火柴數之間的關係。並求出圖(56)會需 要幾根火柴棒。
圖(1) 圖(2) 圖(3) 圖(4)
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3. 右圖是客運公車車廂的座位表，
一台車上總共有 21 個位子，
請寫出第三行全部的座位號碼。
4. 下圖是某年 12 月份的月曆，請寫出此月份星期二的全部日期。
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
第一行 第二行 第三行
3 2
走
道 1
6 5 4
9 8 7
... ... ...
還是不太懂~數列與規律 與例 1，
請看下面影片
https://youtu.be/q7_9BPK2o5Q
還是不太懂~例 2，
請看下面影片
https://youtu.be/8a1pZ1PQm_w
