國立台南二中 102 學年度第一學期高一第二次期中考試數學科試題

國立台南二中 102 學年度第一學期高一第二次期中考試數學科試題

一、是非觀念題 (每題 1 分)

( ) 1. 若 𝑎 為任意實數且 𝑚、𝑛 為正整數，則 𝑎^𝑚𝑛 = √𝑎^{𝑚 𝑛}。

( ) 2. 若 𝑎, 𝑏, 𝑐為非零實數且 𝑏²− 4𝑎𝑐 ≤ 0 ，則二次不等式 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 恆成立 。 ( ) 3. 實係數方程式 𝑥⁴+ 𝑥³+ 5𝑥² + 𝑥 + 2 = 0 沒有有理根。

( ) 4. 設 𝑓(𝑥) = 0 為一實係數方程式，若 𝑎、𝑏 為相異實數且 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) > 0，則 𝑎、𝑏 間沒有實根。

( ) 5. 每一個實係數 𝑛(𝑛 ≥ 1) 次多項式都可以分解為實係數一次式或實係數二次式的乘積。

( ) 6. 任意一個實係數 𝑛(𝑛 ≥ 1) 次方程式，恰好有 n 個實根。

( ) 7. 若𝑎、𝑏均為複數，則 𝑎 + 𝑏𝑖 實部為 𝑎 。 ( ) 8. 若𝑐、𝑑均為實數，則 𝑐 + 𝑑𝑖 虛部為 𝑑𝑖 。

( ) 9. 設 f(x) = 𝑎𝑛𝑥^𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 為一整係數多項式，若 𝑎 可整除 𝑎𝑛 且 𝑏 可整除𝑎0， 𝑎、𝑏為互質整數，則 𝑎𝑥 − 𝑏是𝑓(𝑥) 的一次因式。

( ) 10.若 𝑎 為任意實數且 𝑎 ≠ 0 ，則√−𝑎 = √𝑎𝑖恆成立。

二、多重選擇題 (每題 5 分，答錯一個選項得 3 分，答錯兩個選項得 1 分，答錯三個或以上不給分) 1. 已知𝑓(𝑥)為一個四次實係數多項式，且𝑓(2 + 2𝑖) = 0，請選出正確的選項。

(1) 𝑓(𝑥)至少有一個實根。

(2) 若 𝑓(1 + 𝑖) = 2𝑖 + 7 ，則𝑓(1 − 𝑖) = 2𝑖 − 7。

(3) 𝑓(2 − 2𝑖) = 0。

(4) 若此多項式有實根，則 𝑦 = 𝑓(𝑥)的圖形和𝑥軸有兩個相異交點。

(5) 𝑓(𝑥) = 15𝑥⁷ 至少有一實根。

2. 右圖為實係數三次函數 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥³+ 𝑏𝑥²+ 𝑐𝑥 + 𝑑 的圖形，

與 𝑥軸相交於(−3,0)，(2,0)兩點，請選出正確的選項。

(1) 𝑎 > 0 。 (2) 𝑏 > 0 。

(3) −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 < 0 。

(4) 不等式 𝑓(𝑥) < 0 的解為𝑥 > −3 。 (5) 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)² 。

三、填充題 (共 66 分) 1. 求下列各式的值

(1) �√3�³²× √3⁴ × �₂₅¹�⁻

1

2× √343 ×_√7¹ = 。

(2) �3 + √5�¹²× �3 − √5�¹²× ��5³√5 + √3⁴�⁰ = 。

(3) ^√3

√−2

×

+

× √

2. 已知多項式 𝑓(𝑥) 除以𝑥² + 𝑥 + 2 時，餘式為 𝑥 + 2，除以 𝑥 − 1 時，餘式為 7，則 𝑓(𝑥) 除以 (𝑥 − 1)(𝑥²+ 𝑥 + 2) 時，餘式為 。

3. 複數 𝑧 ，若

¹ _𝑧 的

¹

2

4. 已知三次方程式 𝑥³− 3𝑥²+ 3𝑥 − 8 = 0 恰有一正根，此正根介於兩連續正整數之間，求此正根 最接近的整數為 。

5. 小俊和小耀同解實係數方程式 𝑥²+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ，小俊看錯 𝑎 而得兩根 2 和 28，小耀利用公式 解算錯判別式解得兩根 5 和 10 ，試求此方程式正確之兩根為 。

6. 設 𝑘 為任意實數，且方程式 𝑥²− (𝑘 + 𝑖)𝑥 − (4 + 2𝑖) = 0 有一實根 𝛼 ，求 (𝑘, 𝛼) = 。

7. 已知 𝑓(𝑥) 為實係數三次多項式，常數項係數為 −30，且1 + 2𝑖 和 3 均為𝑓(𝑥) = 0 的解。

試求𝑓(𝑥)的首項係數為 。

8. 已知 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 的解為 2 < 𝑥 < 4 ，則不等式 𝑏𝑥² − 𝑐𝑥 + 8𝑎 > 0 的解為 。 9. 若不等式 𝑎𝑥²+ (2𝑎 + 1)𝑥 + 3𝑎 +¹₂≤ 0 恆無實數解，則實數 𝑎 的範圍為 。 10. 實係數方程式 𝑥⁴− 2𝑥³+ 3𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 有一根為 1 − 2𝑖 求數對(𝑎, 𝑏) = 。 11. 已知一個三次多項式通過(2010, −4)、(2011,1)、(2012,4)、(2013,8)、(2014, 𝑡)五點，

試求 𝑡 值為 。

12. 已知整係數方程式𝑥³+ 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 − 7 = 0 有三個相異的有理根，求數對(𝑎, 𝑏) = 。

三、計算題：(共 14 分)

說明：需詳細寫出計算過程，否則不予計分 1. 解下列不等式：

(4 分) (1) 𝑥⁹⁹⁹(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)(−𝑥²+ 4𝑥 − 20) ≤ 𝑥⁹⁹⁷(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)(−𝑥²+ 4𝑥 − 20) (4 分) (2)

^𝑥 _𝑥

^−𝑥

_+𝑥−6

^−4𝑥

2. 設方程式 2𝑥²+ 12𝑥 + 8 = 0 的兩根為 𝛼、𝛽 ，則 (3 分) (1) �√𝛼 + �𝛽�² = ？

(3 分) (3) 以

¹ 𝛼 、 ¹

𝛽

國立台南二中 102 學年度第一學期高一第二次期中考試數學科答案卷

一、是非觀念題 (共 10 分，每題 1 分)

1 2 3 4 5

X X O X O

6 7 8 9 10

X X X X X

二、多重選擇題：

(共 10 分，每題 5 分，答錯一個選項得 3 分，答錯兩個選項得 1 分，答錯三個或以上不給分)

1 2

3 5 2 3 5

三、填充題 (共 66 分) 配分如下表

答對題數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 得 分 6 12 18 24 29 34 39 44 48 52 56 60 63 66

1 (1) 1 (2) 1 (3) 2 3

105 2 − 1

3 𝑥

+ 2𝑥 + 4 1 − i

4 5 6 7 8

3 𝑥 = 7 和 _{𝑥 = 8 (0 , −2 ) 2} −2 < 𝑥 < 2

3

9 10 11 12

𝑎 > 1

2 (4 , −10 ) 16 (7, −1)

四、計算題：(共 14 分)

說明：需詳細寫出計算過程，否則不予計分 1.

(1) 𝑥⁹⁹⁷(𝑥²− 1)(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)(−𝑥²+ 4𝑥 − 20) ≤ 0

⇒ 𝑥⁹⁹⁷(𝑥 − 1)²(𝑥 + 1)(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)(𝑥²− 4𝑥 + 20) ≥ 0 答:

𝑥 ≥ 3 或 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 0 或 𝑥 ≤ −4 或 𝑥 = 1 1.

(2) 𝑥³− 2𝑥²− 5𝑥 + 6

𝑥²+ 𝑥 − 6 ≥ 0

(𝑥³− 2𝑥²− 5𝑥 + 6)(𝑥²+ 𝑥 − 6) ≥ 0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) ≥ 0

答:

⇒ 𝑥 ≥ 3 或 1 ≤ 𝑥 < 2 或 − 3 < 𝑥 ≤ −2 2.

(1) �√𝛼 + �𝛽�² = 𝛼 + 𝛽 − 2�𝛼𝛽 = (−6) − 2 ∙ 2 = −10

2.

(3)

1 𝛼 +

1 𝛽 =

−6 4 1

𝛼 ∙ 1 𝛽 =

1 4

二次方程式為：

𝑥² +6 4 𝑥 +

1

4 = 0 (或 4𝑥²+ 6𝑥 + 1 = 0 )