應用數學導論(I)課程介紹
課程名稱：應用數學導論(I)（碩博選修）
課程時間：每星期五 9:10-12:00 教室：數學系館 3177 教室 授課教師：許瑞麟
辦公室：數學系館 408 助教: 陳慧如, 林威溢.
Email：rsheu@mail.ncku.edu.tw 電話：2757575-65150
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預備知識：微積分, 線性代數。
指定教科書：“Introduction to Applied Mathematics” by Gilbert Strang。
課程內容綱要： 應用數學應該被放在一個含有: 問題描述與模型(modeling), 數 學分析(analysis), 具體求解(solution method), 以及數值計算 (scientific computation)的一個整體架構來看, 數學的意涵和用處 才得以凸顯出來. 在大部分的數學課程, 多半欠缺實際問題講解, 也通常不在乎具體(演算法)求解, 所以儘管所學的數學, 其技術 手法都可以用來分析某些實際問題, 但在沒頭沒尾的情境下, 實 在很難引起學習興趣及共鳴.
由 Gilbert Strange 所著的“Introduction to Applied Mathematics”這 本教科書恰巧可以拿來做為數學和應用端的橋梁. 在離散系統 裏, 我們主要要學的是一個重要的矩陣方程式: A^tCA=f, 可以 用來描述彈簧系統, 電路迴路, 統計最小平方法的平衡狀態. 而 透過機械, 電機, 統計的例子, 我們可以看到矩陣裏的每一個 component 所實際對應系統上的量. 求解這個系統, 等同於解 A^tCA=f 這個聯立方程組. 求解的方法, 除了傳統線性代數的 LU 分解, 還有配方法, 拉格朗日算子法等. 這些算法, 我們還要 介紹其背後的幾何意義, 能量對偶的觀點, 然後觀察出這些方法 其實都是等價的. 這些方法, 在過去的一些數學課程裏或許同學 們都曾經學過, 但是我們最主要強調的是觀察實際的系統 modeling 的手法, 以及不同算法之間代數與幾何角度的整合.
在連續系統上, 彈簧系統將會被一個連續的彈性棒所取代. 彈簧 兩端的位移差會被微分算子取代, 轉置矩陣 A^t 也會被負的微分 算子以及適當的邊界條件取代, 經過 integration by parts, 離散系 統上的矩陣方程 A^tCA=f 將會變成是一個二階的(偏)微分方程.
跟離散系統一樣, 這個微分方程也可以透過最小能量法來求得.
但是技巧上我們必須透過變分法(calculus of variation)去找出 Euler Equation. 所以我們會介紹足夠用的變分觀念, 去求出平衡 方程式.
當電路迴路被連續化時, 我們可以先觀察不可壓縮, 不可旋轉之 流體動力系統. 此時 A 矩陣變成是梯度(gradient), 其轉置矩陣變 成是散度(divergence)加上適當的邊界條件, integration by parts 變 成是 Gauss Theorem, 因此我們得到的是 Laplace equation. 在此 我們用到的數學是向量分析(vector calculus). 我們也會根據課程 需求, 講授足夠用的向量分析相關知識.
求解這些偏微分方程, 我們要用到富利葉分析. 儘管這已經是相 當古典的數學, 但是卻從來沒有退潮流過. 至今, 富利葉分析仍 然是應用數學, 工程, 醫學, 天文等領域的重要數學工具.
因此, 這不是一個講解數學證明的課程, 且上課的進度會蠻快.
儘管如此, 連續系統應該還是教不完. 剩下的部分就留待有機會 開應用數學導論(II)時再教. 課後的作業很重要. 我們會留習題, 此外. 我希望同學利用這門課學會使用一些數學軟體, 如 Matlab, Maple, Mathematica 等. 我盡可能會出這樣的練習.
成績計算方式：作業 50%, Project (或考試) 50%。
考試時間及範圍另行公佈.
Office Hours: 這是你和老師面對面溝通的機會. 歡迎任何問題, 數學或非數學.
可隨時進入我的辦公室. 若以 e-mail, 電話, 或當面約定時間, 可以 避免撲空或久候.
