高雄市明誠中學數學題庫 焦點 14(圓錐曲線)

MathB3-04

高雄市明誠中學數學題庫 焦點 14(圓錐曲線)

1. 寫出下列方程式的圖形名稱：

(1) x² +2xy+y² +2x+2y+ = 1 0 . (2) x² −2xy−3y² − +x 11y− = 6 0 . 2. 焦點為 F(− 1,3) ,準線為 x+y+3=0 的拋物線方程式為 .

3. 拋物線

(

)

(

)

4. 方程式 y² =8x的頂點為 焦點為 準線為 軸為 正焦弦長為 . 5. 求 x² =2x+8y+ 的頂點 7 焦點 準線 軸 正焦弦長 . 6. 已知一拋物線的軸平行 y 軸,且過 (1,6) , (0,3) , (2,11) 三點,則此拋物線方程式為 . 7. 已知一拋物線的軸為水平線,且過 (1,2) , (− 1,0) , (4,4) 三點,則此拋物線方程式為 . 8. Γ是以 (1,1) 為頂點, (2,3) 為焦點之拋物線,則其正焦弦長為 .準線方程式為 . 9. 一動圓 C 與圓 x² + y² −8x+12= 外切,且與直線 x+2=0 相切,則圓 C 的圓心所形成的軌跡方程式0

為 .

10.拋物線 x= y² − +y 1至直線 x− + =y 3 0 的最短距離為 . 11.設 P 為拋物線Γ:y= 1x + x+

2 ² 2 3上之點,且 A(1,− 1) , B(3,2) 為Γ外之點,試求 ΔPAB 面積的最小值= ,及此時 P 點的坐標 .

12.關於 x 的方程式 x² −2 = − , k 為實數, x k

(1)若恰有一實根,則 k 值的範圍為 .(2)若有四個相異實根,則 k 值的範圍為 . 13.(1)試作 G: ^{y = x}

(

)

14.方程式

(

) (

)

(

) (

)

(1)若 S 表線段時 k 之值為 . (2)若 S 表橢圓時 k 值的範圍為 . 15.滿足方程式

(

) (

)

(

) (

)

9 + 4 = ,試求其：長軸二頂點 1 .短軸二端點 .

中心 .焦點 .

17.求橢圓x² y²

9 + 16 = 的長軸端點 1 .短軸端點 .中心 .焦點 .

18.橢圓 x² +4y² +4x+8y+ = 的中心為 4 0 .長軸所在直線為 .

短軸長為 .長軸頂點為 .正焦弦長為 .

19.一動圓過定點 A(2,0) ,並與定圓

(

)

所形成的軌跡方程式為 .

21.設

( ) ( )

x y R x y

, ∈ , −

+ − 4 =

4

2

9 1

2 2

,則 2 x + y 之最大值為 .

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22.求16x² +9y² =144上的一點到直線 x + y + 10 = 0 距離的最大值為 . 23.橢圓 4x² +9y² =36的內接矩形的最大面積為 ,最大周長為 .

24.橢圓之兩焦點F( ,0 3) ,F′ −( ,0 3),點 P(− 1,2)為橢圓上一點,求此橢圓程式為 . 25.已知橢圓x² y²

25+ 9 = 一焦點 F(4,0) ,橢圓上三點1 A x y( ₁, ₁) ,B( ,3 12) ,C x( ₂,y₂)

− 5 ,若FA FB FC, , 成等差數列,則 x₁+ = x₂ .

26.判定方程式

(

) (

)

(

) (

)

27.若

(

) (

)

(

) (

)

9 − 16 = 的中心 1 .焦點 .漸近線 . 29.求雙曲線x² y²

16− 9 = 的中心 1 .頂點 .焦點 .漸近線 . 30.求雙曲線16x² −9y² −32x−18y−137= 的中心 0 .頂點 .焦點 .

漸近線 .

31.求雙曲線16y² −4x² −16y−4x−13= 的貫軸長 0 .焦點 .漸近線 . 32.等軸雙曲線的中心為 (3,1) ,其一漸近線為 x+2y− =5 0 ,則另一漸近線方程式為 .又

若此等軸雙曲線過點 (3,2) ,則雙曲線方程式為 .

33.設有一等軸雙曲線的中心為 (1,2) ,其貫軸平行 x 軸且長為 6 ,則此雙曲線方程式為 . 34.已知定點 F(1,0) ,及定直線 L: x = 4 ,若動點 P 到 F 的距離是 P 到直線 L 距離的

(1)一半 (2)一倍(3)二倍 ,試分別求動點 P 的軌跡方程式,並判斷是何種圖形?

(1)一半 . (2)一倍 . (3)二倍 .

35.雙曲線 2y² −x² = 上一點 P 到點 Q(0,3) 為最近,求 P 點的坐標 2 . 36.點 P(4,0) 至x² y²

9 − 4 = 圖形上之點的最小距離為 1 .

37.求到兩直線 y=2x y, = −2x之距離乘積恆為 4 的所有動點 P(x,y) 的軌跡方程式 . 38.設一動圓 C 與兩定圓

(

)

(

)

跡方程式 .

39.定圓^C0

(

)

2 2

1 4

: + + = ,定點 A(3,0) ,求恆過 A 且與 C₀相切的動圓圓心的軌跡方程式 . 40.焦點 (−4 5, ) , (− −4 1 且過 (, ) − 4,0) 之雙曲線方程式為 .

41.設 H x a

y

b a b

: ( , )

2 2

2

2 1 0 0

− = > > 為一雙曲線,設0

< <α π ,則 H 上以 (asec2 α,btanα) 為切點之切

線,其斜率為 .此切線與 H 之兩漸近線相交而圍成一三角形,其面積為 .

42.求與直線 2x− = 平行且與雙曲線 xy 7 ² − y² −4x+6y− = 相切的直線方程式 7 0 . 43.求過點 (0,4) 且與 9x² +4y² =36相切的直線方程式 .

44.橢圓x² y²

36+ 9 = 之弦以 (2,1) 為中點,求含此弦的直線方程式 1 .

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45.雙曲線 4x² −y² = 之一弦中點為 (4,2) ,則此弦所在的直線方程式為 9 . 46.自 A(− −1 2, ) 作 x² =4y的二切線,切點為 P , Q ,則PQ

← →

的方程式為 . 47.一橢圓過點 ( 17 ,0 ) 且與x² y²

9 − 4 = 共焦點,求此橢圓方程式為 1 .

48.一雙曲線與橢圓¹⁶

(

)

(

)

(A) (3,4)為橢圓的中心 (B)短軸的斜率為 4 3

(C) (9,−4)為長軸上的一個頂點 (D)橢圓與正 x 軸只有一個交點 (E)短軸之長為10 3

50.假設在同一坐標平面上把 y= 3x² 的圖形垂直向上移 2 單位長再水平向左移 4 單位長，則此圖

形與下列那個圖形重疊? .

(A) y+ =2 3x² −4 (B) y− =2 3x² +4 (C) y=3(x−4)² +2 (D) y =3(x+2)² −4 (E) y=3(x+4)² +2