distribution 曲線非常接近(就很像我們之前要 test 2 個 normal 是一樣的假設，我 們會假設

林柏佐

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Wilcoxon Two-Sample Test

如果我們現在要 test 兩個 continuous distribution 是不是相等的，一樣我們利 用觀測值的 magnitude. 不過要做這樣的 test 之前，我們必須假設這兩個

distribution 曲線非常接近(就很像我們之前要 test 2 個 normal 是一樣的假設，我 們會假設

σ²_X

=

σ_Y²

, 第一個是因為好做，雖然有提過不相等的 t test, 但是它的 degree of freedom 非常的難算，另一個是如果兩個 distribution 差太多，一般人不 會把它們合起來一起考慮)。現在我們將兩組 sample

1

,

2

, ,

_n1

,

X X

…

X

與

1

,

2

, ,

_n2

Y Y

…

Y

合在一起，從小到大排列，將每個數值依序給它 ranks 1, 2, 3, … ,

n₁

+

n₂

. 如果在 sample 中有兩個以上相同的數值，那我們就針對這樣的數值採用平均的 ranks. 我 們令

W

是

1

,

2

, ,

_n2

Y Y

…

Y

rank 的總和。若Y 的 distribution 是在 X 的右邊，那麼我們 可以預期Y 的 value 會高於 ,

X 那麼W

通常算起來也會比較大。若

m_X

,

m 分別代_Y

表 ,

X Y 之 distribution 的 median, 我們可以猜測 testingH₀

:

m_X

=

m_Y

與 alternative hypothesis

H₁

:

m_X

<

m_Y

的 critical region 一定是形如

w>c

這種形式。同理，若對 立假設為

H₁

:

m_X

>

m_Y

, 那其 critical region 將會形如

w<c

這種形式。

若對

W

的 distribution 有興趣的人，可以嘗試繪製

n₁

=

n₂

= 的情形，會幫助 3 你了解這個分配，不過這裡我們不打算去關心這個 distribution, 在實務上，若

n₁

和

n 都大於₂

7, 我們可以利用 normal 去逼近(central limit theorem)，至於個數較少 的話，便可以利用手算即可，不過因此我們要去算

W

的 mean 與 variance, 這裡 我們建議不要整體看 mean, 而是分別考慮每個數出現的 probability，以求其 mean.

)]

( 2

1

[

_{1 2}

1 1

w 1 2

2 2 1

2 n n

C C

n n n n n

n

+ + + +

=

₊

−

−+

μ

2 ) 1 (

2

) 1 )(

(

2

) 1 )(

(

! )!

(

)!

1 (

)!

1 (

2 1 2 2

1 2 1 2 1

2

2 1 2 1

2 2 1

2 2 1

+

= + + +

⋅ +

= +

+ +

⋅ + +

−

− +

=

n n n n

n n n n n

n

n n n n

n n n

n n n

要先算 variance 之前，我們先來考慮高中我們學過相異數兩兩乘積之和的算法：

[ 1+2+ +(

n1

+

n2

) ]

²

= + 1

²

2

²

+ +(

n1

+

n2

)

²

+ 2 1 2 1 3 [ ⋅ + ⋅ + + ⋅ 1 (

n1

+

n2

) + + (

n1

+

n2

)(

n1

+ +

n2

1) ]

令

S

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ 1 2 1 3 1 (

n₁

+

n₂

) + + (

n₁

+

n₂

)(

n₁

+ +

n₂

1)

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

( )( +1) ( )( +1)(2 2 +1)

2 6 2

n n n n n n n n n n

+ + + + +

S

⎡ ⎤

⇒ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ = +

林柏佐

2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( +1) ( )( +1)(2 2 +1)

2 4 6

n n n n n n n n n n

S

+ + + + +

∴ = −

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( )( +1)

[3( )( +1) (4 4 +2)]

12

( )( +1)

3( ) ( ) 2

12

( )( +1)( 1)(3 3 2)

12 n n n n

n n n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n n n n

+ +

= + + − +

+ + ⎡ ⎤

= ⎣ + − + − ⎦

+ + + − + +

=

接著我們來算 variance, 利用與 mean 同樣的想法，個別算兩兩乘積所對應的 probability, 我們就可以得到 variance 的公式

w

2 2

( ) [ ]

Var W =E W −

μ

1 2 2

1 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 1 2

1 2

1 2

1 2

2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2

1 2

1 2

1 2

2 1 2 1 2 2 2

1 2

( 1)

[1 +2 + +( ) ] 2

2 ( 2)!

( )( +1)(2 2 +1) !( 2)! ( 1)

= 2

( )!

6 4

! ! ( +1)(2 2 +1) ( 1)

6 ( )(

n n n

n n n

n C n n n

n n S

n n C

n n

n n n n n n n n n n n n

n n S n n

n n

n n n n n n n

n n

+ −

− +

⎡ + + ⎤

= + + + ⋅ − ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

+ −

+ + + + − ⋅ − + +

+ +

+ + −

= +

+

_{1 2} ^{1 2 1 2 1 2 1 2}

( )( +1)( 1)(3 3 2)

1) 12

n n n n n n n n

n n

+ + + − + +

+ − ⋅

2 2

2

(

1 2

1)

4

n n

+ +

n

−

2 2

2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2

2 1 2

1 2 2 1 2 2 1 2

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

( +1)(2 2 +1) ( 1)( +1)(3 3 2) ( 1)

6 12 4

( +1)

[(4 4 +2) ( 1)(3 3 2) 3 ( 1)]

12

( +1)( ) ( +1)

12 12

n n n n n n n n n n n n n n

n n n

n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

+ + − + + + + +

= + −

= + + + − + + − + +

+ + − +

= =