(1) 若抽得 r 號球可得 10r 元，求由袋中任抽一球之獲利期望值為何？

(1)

HOMEWORK

1. 設某袋中 1 號球有 30 個，2 號球有 29 個，3 號球有 28 個，…，30 號球有 1 個。今由此袋中任取一球，設每球被取中之機率均等：

(1) 若抽得 r 號球可得 10r 元，求由袋中任抽一球之獲利期望值為何？

(2) 取到 13 號或取到 19 號球之機率為何？320/3,2/31

2. 某電視臺舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 1000, 800, 600, 0 元獎額的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球(取後即放回)，主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到 0 元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半(若再摸到 0 就沒有第三次機會)；則一個參加者可得獎金的期望值是_____元。(計算到整數為止，小數點以後四捨五入) 【93 學科能力測驗】

3. 擲一均勻硬幣三次，每次出現一個正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得總額的期望值為_____。 9/2 【85 學測】

4. 某市為了籌措經費而發行彩卷，該市決定每張彩卷售價 10 元，且每發行一百萬張彩卷，即附有壹百萬元獎 1 張，拾萬元獎 9 張，壹萬元獎 90 張，壹千元獎 900 張。假設某次彩卷共發行三百萬張，試問當你購買一張彩卷，你預期會損失_____元。 6.29

5. 由五男三女的團體中，任意選出三人組成一個委員會，設 x 表委員會中女生的人數，求 E(x)。9/8

6. 袋中十元硬幣 2 個，五元硬幣 3 個，一元硬幣 4 個，則從袋中取 3 個之期望值為何？ 13

7. 據統計 18 歲青年活到 19 歲機率為 0.996，今有一 18 歲青年向保險公司投保一年壽險，保額 10000 元，保費 100 元，試求保險公司獲利期望值。60 8. 一次投擲三公正硬幣，若出現三正面可得 8 元，兩正面可得 3 元，一正面可

得 1 元，為使賭局公平起見，則當投出三反面時，此人應賠幾元？

9. 設某袋中 n 號球有 1 個， ⁽ ⁿ ^ ¹⁾ 號球有 2 個， ⁽ ⁿ ^ ²⁾ 號球有 3 個，…1 號球有 n 個。今由此袋中任取一個，若抽得 r 號球可得 r 元，求由袋中任抽一球

之獲利期望值為何？ 2 3 n 

10. 設某人站在數線原點位置上擲一骰子，得 1 或 2 點，則朝正向前進一單位，

得其餘點數，則朝負向前進一單位。此人連擲四次骰子，求次人所在位置的

座標的期望值。 4

 3

B4 Ch3 機率與統計 (I) 122

(2)

11. 將 5 個不同球任意放到 3 個不同的箱子，求分配後空箱個數的期望值。32/81 12. 擲三公正骰子，點數和為 10 者可得 350 元，並可繼續再擲，如再擲得點數和為 10，又可得 350 元，且可繼續再擲，如此繼續進行，直到點數和不為 10 為止，設 x 表獲得的錢數，求 E(x)。400/7

13. 袋中有 80 個紅球，120 個白球，今隨機抽出 50 個，設 x 表抽出紅球的個數，

求 E(x)。20

14. 袋中有三紅球，三白球，甲乙兩人輪流探取，每次取一球，隨即放回，先取得紅球者得勝，並可得獎金 100 元，若甲先取，試求甲的獲利期望值。 200/3

15. 有技術相等的甲乙兩人比賽，規定以先勝三回者，可得獎金 6400 元，今比賽一回合，甲得勝，因故而停止比賽，並決定不再比賽。則應如何分配獎金才公平？ (設無和局)

16. 設袋中有 6 個硬幣，其中有 2 個是 10 元，其餘 4 個同值。今自袋中一次取 2 個硬幣的期望值為 12 元，則其他四個硬幣之值為_____。 4

17. 設一年一家失火的機率是 1/5000，鄰家失火而被延燒的機率是若 1/5，投保期間一年 50 萬元的火險時，則：(1) 住在相鄰兩家之任一家，應繳_____保險費才妥當；(2) 若三家連續相鄰，中間那一家與兩端任一家，應以如何比例繳交保費才妥當。(假設沒有任兩家同時起火) 120 元,35:31

18. 某次考試採用多重選擇題，每題有 5 個敘述，其中正確敘述可能不只一個，

必須完全答對可得 5 分，否則倒扣 p 分，設某生決定靠運氣瞎猜，令該生在此部分得分之期望值為 0 ，又令他對單獨一題猜對的機率為 s ，則 p

=；s =。  0.6 ,1/31

19. 一袋中有 1 號到 n 號

(n2)

之球各一顆共 n 顆，今由其中任取兩球，若其號碼為

^a,^b

且

ab

，則可得

⁽^a^^b⁾

元，今任取兩球之期望值為

En

，試求

n E

_n

n

lim 之值。 1/3

20. 1992 巴塞隆納奧運會中，取球比賽，設袋中有 1 號球 2 個，2 號球 4 個，3 號球 6 個，…，n 號球 2n 個，今克利斯帝自袋中取一球，若取得 r 號球可得 3r 元，則期望值為　　　元。 2 n  1

21. 五骰子投擲一次，若五骰子同點，則可得 1200 元，若恰四骰子同點，則可得 600 元，則投擲一次之期望值為　　　元。25/2

22. 依據經驗某人完成一件工作，可能是 1 天，2 天，3 天，4 天，在 1 天完成的機會是 0.2，2 天完成的機會是 0.4，3 天完成的機會是 0.3，4 天完成的機會是 0.1，請問完成此工作天數的期望值是多少？

(3)

23. 過年時父親為增加趣味以抽球方式給壓歲錢，要小明從袋中抽球，袋中有 5 個球，號碼為 1，2，2，4，6，獎額是號碼數的 1000 倍，試問：(1) 小明的壓歲錢期望值是多少？(2) 如果壓歲錢改為抽到 6 號給 10000 元，其餘號碼給 1000 元，試問此種給獎方式與原來的給獎方式，何者對小明較有利？

3000,原方式

24. 依據過去經驗，在松山機場排班的計程車，載客人數 1 人的機率是 60％，2 人的機率是 30％，3 人的機率是 5％，4 人的機率是 5％，請問在松山機場一部計程車載客人數的期望值是多少？31/20

25. 網球一盤比賽先勝 6 局者贏，贏一盤可得獎金 1000 元，甲、乙兩人實力相當，但甲已連勝 5 局，請問如果因下雨不再繼續比賽，則甲、乙兩人如何分配獎金才公平？7875/8,125/8

26. 某次考試，有一多重選擇題，有 A、B、C、D、E 五個選項。給分標準為完全答對給 5 分，只答錯一個選項得 2.5 分，答錯兩個或兩個選項得零分。若某一考生對該題的 A、B 選項已確定是應選的正確答案，但 C、D、E 三個選項完全看不懂，決定三個選項要用猜的來作答，則他此題答對的期望值為何？

27. 擲一公正骰子，當點數

^X⁽^X ^¹^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁶⁾

出現時，

log(X³ 3)

之整數部分記作 Y ，試求

^E^(Y⁾

。 7/6

28. 由標明 1 至 10 號的十個球中任取兩個，其和的期望值為何？其積的期望值為何？

29. 根據資料顯示，一個 60 歲的人在一年內死亡的機率為 1.2%，生病住院的機率為 5%，某人 60 歲投保 100000 元之平安保險，於保險期間若死亡，則保險公司給付 100000 元，若生病住院則給 5000 元，今保險公司欲得到之利潤為 500 元，則應收保費幾元？ 1950

30. 投兩顆公正骰子，得點數為 ^x 、 ^y ，令

^O⁽⁰^,⁰^),^A⁽^x^,⁰^),^B⁽⁰^,^y⁾

，試求：(1)

 6

AB 之機率；(2)

OAB

面積的期望值。

31. 在半徑為 1 的圓周上取六個等分點，從中任取三點 A 、 B 、 C ，試求：

ABC

其面積的期望值。

⁹ ³ ²⁰

32. 市面上有一種遊戲，莊家在桌上畫有六個方格，方格上分別標有 1、2、3、4、5、6 的數字，賭客可以在任何一格下注。某賭客在 6 號下注 100 元。

莊家丟三粒骰子，如果三粒骰子都不出現 6 點，則莊家贏他的賭注，反之其中有幾粒骰子是 6 點，就賠幾倍，並退還賭注。已知 6 點出現 1 個、2 個、3 個的機率分別為 0.35、0.069、0.004，則賭客輸的期望值為_____元。  7.7 33. 每張刮刮樂彩卷有 9 格，今有三個 1，三個 2，三個 3 任意排列，今任刮 3

格，若刮出的 3 個數字相同，即可得獎，獎金為此數字的 700 倍，則任刮一

(4)

張的期望值為_____元。50

34. 袋中有 1 號球一個，2 號球兩個，3 號球三個，4 號球四個。甲、乙兩人約定由甲自袋中任取一球，若得 1 號球，則乙給甲 6 元，得 2 號球，則乙給甲 4 元，得 3 號球則乙給甲 2 元，若得 4 號球，則甲應給乙_____元才公平。5 35. 甲、乙、丙三人輪流依甲、乙、丙、甲、乙、丙、……之順序一次同時投擲三個公

正硬幣，先得兩正面者獲勝，欲使公平起見，甲勝給 6400 元，則乙獲勝應給_元，丙獲勝應給_元。4000,2400

36. 設有七個硬幣，其中一個為偽幣，其外觀相同，惟偽幣比真幣輕。今用天秤找出偽幣，但不使用砝碼，而每次取兩個硬幣在天秤的兩端各置一個，每個硬幣至多秤一次，依此方法，求找出偽幣的檢查次數的期望值。

37. 某次考試，有一多重選擇題，有 A、B、C、D、E 五個選項。給分標準為完全答對給 5 分，只答錯 1 個選項給 2.5 分，答錯 2 個或 2 個以上的選項得 0 分。若某一考生對該題的 A、B 選項已確定是應選的正確答案，但 C、D、E 三個選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的來作答。則他此題所得分數的期望值為______分。【91 學科能力測驗】25/16

(1) 若抽得 r 號球可得 10r 元，求由袋中任抽一球之獲利期望值為何？

HOMEWORK

1. 設某袋中 1 號球有 30 個，2 號球有 29 個，3 號球有 28 個，…，30 號球有 1 個。今由此袋中任取一球，設每球被取中之機率均等：

(1) 若抽得 r 號球可得 10r 元，求由袋中任抽一球之獲利期望值為何？

(2) 取到 13 號或取到 19 號球之機率為何？320/3,2/31

3. 擲一均勻硬幣三次，每次出現一個正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得總 額的期望值為_____。 9/2 【85 學測】

5. 由五男三女的團體中，任意選出三人組成一個委員會，設 x 表委員會中女 生的人數，求 E(x)。9/8

6. 袋中十元硬幣 2 個，五元硬幣 3 個，一元硬幣 4 個，則從袋中取 3 個之期望 值為何？ 13

7. 據統計 18 歲青年活到 19 歲機率為 0.996，今有一 18 歲青年向保險公司投保 一年壽險，保額 10000 元，保費 100 元，試求保險公司獲利期望值。60 8. 一次投擲三公正硬幣，若出現三正面可得 8 元，兩正面可得 3 元，一正面可

得 1 元，為使賭局公平起見，則當投出三反面時，此人應賠幾元？

9. 設某袋中 n 號球有 1 個， ( n  1) 號球有 2 個， ( n  2) 號球有 3 個，…1 號球 有 n 個。今由此袋中任取一個，若抽得 r 號球可得 r 元，求由袋中任抽一球

之獲利期望值為何？ 2 3 n 

10. 設某人站在數線原點位置上擲一骰子，得 1 或 2 點，則朝正向前進一單位，

得其餘點數，則朝負向前進一單位。此人連擲四次骰子，求次人所在位置的

座標的期望值。 4

 3

13. 袋中有 80 個紅球，120 個白球，今隨機抽出 50 個，設 x 表抽出紅球的個數，

求 E(x)。20

14. 袋中有三紅球，三白球，甲乙兩人輪流探取，每次取一球，隨即放回，先 取得紅球者得勝，並可得獎金 100 元，若甲先取，試求甲的獲利期望值 。 200/3

15. 有技術相等的甲乙兩人比賽，規定以先勝三回者，可得獎金 6400 元，今比 賽一回合，甲得勝，因故而停止比賽，並決定不再比賽。則應如何分配獎金 才公平？ (設無和局)

16. 設袋中有 6 個硬幣，其中有 2 個是 10 元，其餘 4 個同值。今自袋中一次取 2 個硬幣的期望值為 12 元，則其他四個硬幣之值為_____。 4

18. 某次考試採用多重選擇題，每題有 5 個敘述，其中正確敘述可能不只一個，

必須完全答對可得 5 分，否則倒扣 p 分，設某生決定靠運氣瞎猜，令該生在 此 部 分 得 分 之 期 望 值 為 0 ， 又 令 他 對 單 獨 一 題 猜 對 的 機 率 為 s ， 則 p

=______；s =______。  0.6 ,1/31

19. 一袋中有 1 號到 n 號

之球各一顆共 n 顆，今由其中任取兩球，若其 號碼為

且

，則可得

元，今任取兩球之期望值為

，試求

n E

lim 之值。 1/3

20. 1992 巴塞隆納奧運會中，取球比賽，設袋中有 1 號球 2 個，2 號球 4 個，3 號球 6 個，…，n 號球 2n 個，今克利斯帝自袋中取一球，若取得 r 號球可得 3r 元，則期望值為 元。 2 n  1

21. 五骰子投擲一次，若五骰子同點，則可得 1200 元，若恰四骰子同點，則可 得 600 元，則投擲一次之期望值為 元。25/2

22. 依據經驗某人完成一件工作，可能是 1 天，2 天，3 天，4 天，在 1 天完成 的機會是 0.2，2 天完成的機會是 0.4，3 天完成的機會是 0.3，4 天完成的機 會是 0.1，請問完成此工作天數的期望值是多少？

3000,原方式

24. 依據過去經驗，在松山機場排班的計程車，載客人數 1 人的機率是 60％，2 人的機率是 30％，3 人的機率是 5％，4 人的機率是 5％，請問在松山機場 一部計程車載客人數的期望值是多少？31/20

25. 網球一盤比賽先勝 6 局者贏，贏一盤可得獎金 1000 元，甲、乙兩人實力相 當，但甲已連勝 5 局，請問如果因下雨不再繼續比賽，則甲、乙兩人如何分 配獎金才公平？7875/8,125/8

27. 擲一公正骰子，當點數

出現時，

之整數部分 記作 Y ，試求

。 7/6

28. 由標明 1 至 10 號的十個球中任取兩個，其和的期望值為何？其積的期望值 為何？

30. 投兩顆公正骰子，得點數為 x 、 y ，令

，試求：(1)

 6

AB 之機率；(2)

面積的期望值。

31. 在半徑為 1 的圓周上取六個等分點，從中任取三點 A 、 B 、 C ，試求：

其面積的期望值。

32. 市 面 上 有 一 種 遊 戲 ， 莊 家 在 桌 上 畫 有 六 個 方 格 ， 方 格 上 分 別 標 有 1、2、3、4、5、6 的數字，賭客可以在任何一格下注。某賭客在 6 號下注 100 元。

格，若刮出的 3 個數字相同，即可得獎，獎金為此數字的 700 倍，則任刮一

張的期望值為_____元。50

正硬幣，先得兩正面者獲勝，欲使公平起見，甲勝給 6400 元，則乙獲勝應 給_____元，丙獲勝應給_____元。4000,2400

36. 設有七個硬幣，其中一個為偽幣，其外觀相同，惟偽幣比真幣輕。今用天秤 找出偽幣，但不使用砝碼，而每次取兩個硬幣在天秤的兩端各置一個，每 個硬幣至多秤一次，依此方法，求找出偽幣的檢查次數的期望值。

38. 某公司考慮在甲、乙兩地間選擇一地投資開設新廠。經評估，在甲地設廠，

如獲利，預計可獲利 10000 (萬元)；如不獲利，預計將虧損 7000（萬元）。

39. 設某袋中 1 號球有 1 個，2 號球有 2 個，3 號球有 3 個，…n 號球有 n 個。今 由此袋中任取一個，若取得 r 號球，就可得 n r   1 元，試求其數學期望值？

40. 投擲一枚公正的硬幣，一直到正反面至少各出現一次為止，試求投擲次數 的數學期望值。

3. 擲一均勻硬幣三次，每次出現一個正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得總額的期望值為_____。 9/2 【85 學測】

5. 由五男三女的團體中，任意選出三人組成一個委員會，設 x 表委員會中女生的人數，求 E(x)。9/8

6. 袋中十元硬幣 2 個，五元硬幣 3 個，一元硬幣 4 個，則從袋中取 3 個之期望值為何？ 13

7. 據統計 18 歲青年活到 19 歲機率為 0.996，今有一 18 歲青年向保險公司投保一年壽險，保額 10000 元，保費 100 元，試求保險公司獲利期望值。60 8. 一次投擲三公正硬幣，若出現三正面可得 8 元，兩正面可得 3 元，一正面可

9. 設某袋中 n 號球有 1 個， ⁽ ⁿ ^ ¹⁾ 號球有 2 個， ⁽ ⁿ ^ ²⁾ 號球有 3 個，…1 號球有 n 個。今由此袋中任取一個，若抽得 r 號球可得 r 元，求由袋中任抽一球

14. 袋中有三紅球，三白球，甲乙兩人輪流探取，每次取一球，隨即放回，先取得紅球者得勝，並可得獎金 100 元，若甲先取，試求甲的獲利期望值。 200/3

15. 有技術相等的甲乙兩人比賽，規定以先勝三回者，可得獎金 6400 元，今比賽一回合，甲得勝，因故而停止比賽，並決定不再比賽。則應如何分配獎金才公平？ (設無和局)

必須完全答對可得 5 分，否則倒扣 p 分，設某生決定靠運氣瞎猜，令該生在此部分得分之期望值為 0 ，又令他對單獨一題猜對的機率為 s ，則 p

=；s =。  0.6 ,1/31

之球各一顆共 n 顆，今由其中任取兩球，若其號碼為

20. 1992 巴塞隆納奧運會中，取球比賽，設袋中有 1 號球 2 個，2 號球 4 個，3 號球 6 個，…，n 號球 2n 個，今克利斯帝自袋中取一球，若取得 r 號球可得 3r 元，則期望值為　　　元。 2 n  1

21. 五骰子投擲一次，若五骰子同點，則可得 1200 元，若恰四骰子同點，則可得 600 元，則投擲一次之期望值為　　　元。25/2

22. 依據經驗某人完成一件工作，可能是 1 天，2 天，3 天，4 天，在 1 天完成的機會是 0.2，2 天完成的機會是 0.4，3 天完成的機會是 0.3，4 天完成的機會是 0.1，請問完成此工作天數的期望值是多少？

24. 依據過去經驗，在松山機場排班的計程車，載客人數 1 人的機率是 60％，2 人的機率是 30％，3 人的機率是 5％，4 人的機率是 5％，請問在松山機場一部計程車載客人數的期望值是多少？31/20

25. 網球一盤比賽先勝 6 局者贏，贏一盤可得獎金 1000 元，甲、乙兩人實力相當，但甲已連勝 5 局，請問如果因下雨不再繼續比賽，則甲、乙兩人如何分配獎金才公平？7875/8,125/8

之整數部分記作 Y ，試求

28. 由標明 1 至 10 號的十個球中任取兩個，其和的期望值為何？其積的期望值為何？

30. 投兩顆公正骰子，得點數為 ^x 、 ^y ，令

32. 市面上有一種遊戲，莊家在桌上畫有六個方格，方格上分別標有 1、2、3、4、5、6 的數字，賭客可以在任何一格下注。某賭客在 6 號下注 100 元。

正硬幣，先得兩正面者獲勝，欲使公平起見，甲勝給 6400 元，則乙獲勝應給_元，丙獲勝應給_元。4000,2400

36. 設有七個硬幣，其中一個為偽幣，其外觀相同，惟偽幣比真幣輕。今用天秤找出偽幣，但不使用砝碼，而每次取兩個硬幣在天秤的兩端各置一個，每個硬幣至多秤一次，依此方法，求找出偽幣的檢查次數的期望值。

39. 設某袋中 1 號球有 1 個，2 號球有 2 個，3 號球有 3 個，…n 號球有 n 個。今由此袋中任取一個，若取得 r 號球，就可得 n r   1 元，試求其數學期望值？

40. 投擲一枚公正的硬幣，一直到正反面至少各出現一次為止，試求投擲次數的數學期望值。