高一上數學(105 上)cjt 第 1 頁 翰林版 Ch3.5
3.5 指數與對數的應用 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：常用對數表與查表
意義：底數為 10 的對數稱為常用對數常用對數常用對數常用對數。常用對數表是以 10 為底數，真數 1.00 到 9.99 之間，每隔 0.01 的所有對數值，
這些對數值是取到小數點後四位的近似值小數點後四位的近似值小數點後四位的近似值小數點後四位的近似值。
例 1.1：試利用常用對數表，查出 log 1.68 的近似值。
解：步驟如下：
1.從對數表裡 x 值的直行找到_____，橫列找到____
2.可在過___的橫列與過___的直行交會處找到______
3. log 1.68 ≈_________
例 1.2：已知 logx=0.3892，利用對數表反查真數 x 的值。
例 1.3：試利用常用對數表，查出log23之對數值。
重點 2：科學記號
意義：任意正實數 A 都可以用 A＝k×10 ，1 ≤ k＜10，n 是整數的形式來表示，稱為科學記號n 科學記號科學記號科學記號表示法 例 2.1：試利用科學記號表示 16800 與 0.00168
重點 3：對數值求法
意義：對數的真數在 1.00 到 9.99 之間，可以利用對數表對數表對數表對數表查得其對數值；
而不在這個範圍內的真數，則要藉由科學記號科學記號科學記號科學記號與對數運算性質等，求得其對數值
表示為 0.0253 表示真數 1.1
……….…. ……….…. ……….….
log 1.6 8
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例 3.1：由對數表知 log 1.68 ≈ 0.2253，試求下列各對數值：
(1) log 16800 (2) log 0.00168
例 3.2：利用對數表，試求下列各式中 x 的近似值：
(1) log x＝2.5514 (2) log x＝－2.1314
重點 4：利用計算器求對數值
意義：有「log」功能鍵的計算機或是電腦的小算盤，就可以直接按出近似值 註：計算器的使用方法或規則，請務必詳閱其使用手冊使用手冊使用手冊使用手冊
例 4.1：試利用計算機，求 log 1.05 之值。(至少取到小數點後第四位) 解：依序鍵入___，___，___，log，⇒ log 1.05≈ __________
重點 5：內插法
1.意義：利用查表法、科學記號化簡運算等皆無法求得對數之近似值時，則可利用內插法內插法內插法求得其近似值。 內插法 2.內插法是利用相似三角形中，對數的近似值成比例，運算求得對數之近似值
原理 原理 原理 原理：
已知 b1＝log a1，b2＝log a2，且 a1＜a＜a2，試求 log a
如右圖，由 y＝log x 的圖形中，當 a1與 a2很接近時，點 P 與 Q 亦非常接近 設 P(a，y) ≈ Q(a，y)
⇒△ARQ～△ABC，RQ AR
BC = AB， 1 1
2 1 2 1
y b a a b b a a
− = −
− −
⇒ y＝b1＋(b2－b1) 1
2 1
a a a a
−
−
例 5.1：已知 log 2.73 ≈ 0.4362，log 2.74 ≈ 0.4378，試利用內插法，求 log 2.736 之近似值。(取到小數點後第四位)
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例 5.2：已知 log 1.05 ≈ 0.0212，log 2.65 ≈ 0.4232，log 2.66 ≈ 0.4249，試求(1.05)20的近似值到小數點後第四位。
例 5.3：已知 log1.23 0.0899≈ ， log 3.45 0.5378≈ ， log 2.06 0.3139≈ ，試求 123 345× 的值。
重點 6：首數與尾數
1.意義：設 A 為正實數，將 log A 表示為 log A＝n＋log k，其中 n 為整數，0 ≤ log k＜1 則稱 n 為 log A 的首數首數首數首數，log k 為 log A 的尾數尾數尾數尾數
2.首數與尾數的解讀：
(1)若首數 n ≥ 0，表示 A 的整數部分為整數部分為整數部分為((((n＋整數部分為 ＋＋＋1)位數位數位數位數；其最高位(最左邊)數字，則由尾數來決定
(2)若首數 n＜0，表示 A 在小數點後第第第 n 位開始出現不為第 位開始出現不為位開始出現不為 0 的數字位開始出現不為 的數字的數字的數字；其最高位(最左邊)數字，則由尾數來決定 例 6.1：已知 log 1.68 ≈ 0.2253，試分別指出 log 16800 與 log 0.00168 的首數與尾數。
例 6.2：已知 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，求：
(1)6 是幾位數？50 6 的最高位數字是多少？ 50 (2) )60
5
(1 的小數點後第幾位數字才開始不為 0？又小數點後開始不為 0 的數字是多少？
例 6.3：將
50 100
5
9 表為純小數時，試問小數點後第幾位才開始出現不為 0 的數字？此數字為何？(log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771)
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重點 7：指數與對數的應用
1.意義：自然界中有許多呈指數成長或衰退的現象，如：人口數量、細胞分裂、放射性元素衰變(半衰期)與藥物代謝，
及社會經濟活動中的複利、貸款等相關的問題，通常可以建立指數方程式或指數不等式之數學模型，再利用 指數、對數求得其解。
2.半衰期：設原質量為 M0，半衰期為 k，經過 n 時間後，剩下質量 M＝M0 k
n
2) (1 3.單利與複利之計息：
一般計息的方式，分為單利與複利兩種。設本金是 P，利率是 r，期數為 n，則：
(1)單利計息：本利和＝本金＋利息＝P＋n．P．r＝P(1＋nr) (2)複利計息：本利和＝本金＋利息＝P (1＋r) n
註：單利與複利之差別：單利的本金永遠固定，而複利的利息持續滾入本金生利息
例 7.1：數學老師在課餘時間向同學挑戰，宣布誰可以在不撕破紙的情形下將影印紙連續對摺十次，就能獲得一份小禮物。
全班同學都大喜過望，馬上動手摺。已知一張影印紙的厚度是 0.01 公分。試問：
(1)計算對摺十次時的厚度
(2)理論上，對摺幾次後，厚度可以從地球到月球？(地球到月球距離以 40 萬公里計，log 2 ≈ 0.3010)
例 7.2：西元 1947 年，死海西北的一個少年為了追羊，朝山洞裡丟石頭，意外打破瓦罐而發現“死海古卷”。這在歷史學、
考古學、宗教學上是極重要的發現。假設專家在 1950 年測量古卷上碳 14 的含量，發現是正常含量的 78 %。已知 碳 14 的半衰期約為 5700 年。試問古卷應該是何時的古物？
(已知 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 13 ≈ 1.1139)
例 7.3：小芬有一百萬元想要存款十年，銀行提供兩個存款方案：
(方案一)年利率 6 %，單利計算。
(方案二)年利率 5 %，複利計算。試給小芬建議，說明哪一個方案較佳。
(已知 log 1.05 ≈ 0.0212，log 1.06 ≈ 0.0253，100.212 ≈ 1.63)
