畢氏定理4000年 林炎全

HPM 通訊第十六卷第九期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（台北醫學大學）謝佳叡（台灣師大數學系）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

畢氏定理 4000 年

林炎全

台中教育大學數學教育系退休教授

書名：The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History 作者：Eli Maor

出版社：Princeton University Press 出版年份：2007

出版資料：精裝，217 頁

國際書碼：ISBN-13：978-0-691-12526-8

一、本書簡介

The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History 是毛爾 (Eli Maor) 所寫的幾部普及數學的作品之一。在他的引申之下，

畢氏定理與數學各支系都有很深的淵源。在座標系裡，它提供

了距離公式，這個公式是解析幾何的基石，錐線的方程式是由它導出來的。微積分計算 曲線長的方法也源於它。它是整數論的共同源頭，甚至跨越數學，在物理領域，也扮演 重要的角色。作者在序言中，提到本書將把畢氏定理發展的沿革，及其對我們的文化的 衝擊展現出來。全書共選了十六個主題，有些主題附加副題 (sidebar)，探討相關的人事 物。他採用閒話家常的格調舖陳內容，比較專業的就放在附錄，給有興趣進一步探索的 讀者參考。從這些，我們可以感覺到本書是爲數學普及而作的。

全書是以費瑪最後定理在 1993 年獲證開場。費瑪最後定理是畢氏定理的代數形式

2 2

2 y z

x   的整數解—即畢氏三數組 (Pythagorean triple) 所引起的話題，四千年前巴 比倫人已經在這方面有所探討，並在一塊泥板上留下成果，其數目大至 (4601, 4800,

 畢氏定理 4000 年

 歐幾里得筆下的尺規作圖：

以過 P 點作圓外、橢圓外的切線為例

 Dandelin Spheres 證明圓錐截痕的焦點 性質

HPM 通訊第十六卷第九期第二版

6649)。約四千年後，我們爲一個極其相似的問題的澄清而登上頭條，宰豬殺羊歡慶畢氏 定理被證明的歷史場景再度上演，但這次規模大得多，不只是英吉利島國 (懷爾斯 (Wiles) 的屬國) 的盛事，也是全球的熱潮。Eli Maor 以此為本書的開場，想必另有一 番的隱喻。畢氏定理雖然掛給畢達哥拉斯，但顯然並不是他最先發現的。如前所述，現 存的巴比倫泥板就有畢氏三數組表。埃及人建築宏偉的金字塔，計算體積及測量土地面 積以收稅，但沒有證據顯示他們已經知道畢氏定理。這些是作者認定的畢氏定理之史前 史。

這個定理既然掛名給畢達哥拉斯，正史就從他開始。於是，第二個單元介紹他的一 些成就，讀者在閱讀時請注意分別Pythagoras 和 Pythagoreans (畢氏學派)，畢氏學派 是一個祕密結社，對外不公開。後人把這個學派的成就，都歸在畢氏的名下。這些成就 深深影響接續兩千年的數學及科學的發展，有些甚至影響到現代。第三個單元談的是歐 幾里得與 (幾何)《原本》(Elements)。在徐光啟把 Elements 中譯本稱為《幾何原本》之 後，它就成為華文界的通稱。但是，它的內容並不限於幾何，而是古典 (雅典) 期 (約 600~300B.C.) 數學經營成果的總結。Eli Maor 指出《原本》(Elements) 裏兩次提及畢氏 定理，依次是第一冊命題47，另一次是第六冊命題 31。前者的證明採面積的觀點，屬 幾何的；後者則循比例關係，屬代數的，而且把正方形一般化為相似形即成立。這個單 元附錄了一些題外花邊，論及與畢氏定理相關的藝術、詩作及文章，例如殺牛宰羊慶祝 的詩作，它被選為測尋星際文明的訊息，它使英國政治哲學家霍布士 (Thomas Hobbes) 開始喜歡幾何等等。繼歐幾里得之後的重要人物是阿基米德，他的重要成就之一：用內 接和外切正多邊形逼近圓周計算的近似値，就是連續使用畢氏定理的成果。

本書第五單元開始，首先鋪陳後希臘時期即500~1500A.D.的場景，主要是校注希臘 的成果。但Proclus 的 Eudemian Summary 提出了具「中國味」的證法：dissection (出 入相補，或剪貼法)，不過 Proclus 的方法還有代數運算的配套。接著，Eli Maor 順勢介 紹畢氏定理在中國與印度的情形。他認為中國是一個封閉的國度，所以，這個定理是自 產而不是外來的，中國人以眼見為憑，透過圖形的說服力，數值關係被一般化為代數形 式，其中，希臘式的演繹推理從未出現蹤跡。而印度次大陸西北連接波斯與中亞平原，

西向則是阿拉伯半島與地中海；也容易經由海路與其他文明交流。但即使如此，印度人 對證明的態度，也沒有比較高明，可能東方民族務實的個性使然吧。這個時期，中東、

阿拉伯半島及地中海區域一方面進行翻譯希臘作品，另一方面也進行自己的創作，特別 是代數及技術系統，al-Harrani (826-901) 就提出一個與畢氏定理有關的幾何定理（不是 餘弦定律），使畢氏定理成為其特例。這些成果後來傳到歐洲，成為黑暗時代 (Dark Ages) 的明燈。1454 年，古騰堡發明活字印刷，人類文明至此已走到近代的門口。

第六單元談的是數學進展的下一步 -- 符號化，這件工作主要的推手是韋達 Viète (1540~1603)。透過符號的代數功能，他把三角函數從解三角形的工具，提昇為分析學的 主體。藉著畢氏定理及半角公式，他導出一迄今還是被認為最美的數學公式之一：

HPM 通訊第十六卷第九期第三版

2  2 2 2 2

2 2 2

2

2    

 ^{。接著，第七單元}Eli Maor 談的是微積分的基礎：無 限與無限小。它們是希臘不願接納的棄兒，現在卻成為處理實際問題的利器。此時，畢 氏定理不再是幾何裡面積關係的公式，而是計算長度的代數法寶。本單元後附錄一個歐 拉（或尤拉）所導出的公式：^₆^{2 }



第八單元介紹Loomis 所蒐集 371 個畢氏定理的證明法，是本書的重點之一。畢氏 定理引來這麼多人投入證明，Loomis 說中世紀時，一個學生必須提供一個新的、原創的 畢氏定理證明，才能獲數學授碩士學位 (Master’s degree)，這促使學生和老師動腦筋研 創新的證明。Eli Maor 臚列一些較特別的證明。這個單元後附錄的第一個花邊，是 Eli Maor 自認原創的摺紙證法，後來發現 Loomis 的書裡也納入。第二個花邊，則是愛因斯 坦也曾提供一個證明‧這個定理十年後在他的時空理論、狹義相對論、廣義相對論都扮 演重要角色。對於像「三角形三高交於一點」這樣隱晦的事實，都能給予無慮的證明，

讓愛因斯坦對幾何折服傾心。第三個花邊，是一個很特別的證明，它從正弦和餘弦函數 的Maclaurin 級數著手，這種證明，恐怕只有數學專業才能接受。

第九單元談論由畢氏定理衍生出來的一些話題。首先，新月形可以與一個直角三角 形等積，所以，它可以方化，即可作出等積的正方形，但圓是不能方化的。從這個觀點 看，滿月與新月是迥然不同的。另一個話題是：直角三角形三邊長是整數，則內切圓半 徑是整數。此處Eli Maor 遺漏一個狀況：兩股長都是奇數。說明這種狀況不會發生並不 困難。接著，Eli Maor 給出一個等式 _{2 2 2}

d 1 b

1 a

1   ，其中d 是斜邊上的高，他暱稱之為 小畢氏定理 (Little Pythagorean theorem)。然後是餘弦定律、平行四邊形定律、海龍公 式、多維度的畢氏定理。這個單元後接兩個花邊，一個是Loomis 暱稱為「一個畢氏門 徒的好奇」之有趣圖構；另一個則是畢氏定理的誤用。

第十單元介紹從對偶概念引出的座標系：線座標 (line coordinates)。數學的發展，

在解析幾何、微積分及抽象代數成為主流，看來傳統歐氏幾何就要被廢耕時，卻又在其 中長出奇珍異果—射影幾何。接著，第十一單元所論述的是概念與表徵，其中包括四元 數、向量空間、Hilbert 空間等 (無限多維向量空間)。平面上的畢氏定理在這些空間延 申其意義。第十二單元論述平拓空間 (flat space) 與曲扭時空 (curved spacetime)；在曲 扭時空裡，畢氏定理調適為更一般的形式。Riemann 是這個概念的設計師，他為一般相 對論建立重要的基礎。一般人提及相對論，只知道愛因斯坦，卻不知有黎曼 (Riemann)，

實在欠他一個公道。這個單元後附一個花邊：地圖的誤導。用麥卡托投影繪製的平面地 圖，高緯度地區面積的膨脹現象許多人不察，會以為格陵蘭比美國大。

第十三單元是相對論的序奏。Eli Maor 從渡河小艇談起，續以「以太」假設的興衰

HPM 通訊第十六卷第九期第四版

及相對論的萌芽。第十四單元較深入探討相對論，曲扭時空不再侷限為幾何概念，而是 可列式的代數內容。時空距離公式：

2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 ) ( ) ( ) ( )

(x x y y z z c t t

d        

中 c 是光速，可見時間影響距離最大；這個公式也以看到畢氏定理的影子。這個單元後 續一個花邊：與畢氏定理相關的四個謎題，它們有趣但不難。第十五單元提出一個前瞻 的問題：我們所認知的定理放諸寰宇而皆準嗎？若有地球以外的文明，是否能藉數學與 之溝通？後續第十六單元是對數學本質內涵的反思，作為本書的總結。數學做為理論架 構，固然有其抽象玄思的本質；做為工具實體，則亦有流行實際的內涵。數學各支系裡，

畢氏定理的形式都扮演重要份量的角色，是否顯示它在主宰實體世界？作者要讀者考量 決定。Eli Maor 以一篇到畢達哥拉斯的故鄉 Samos 島的訪故之旅謝幕。他提及有ㄧ本導 覽手冊把畢氏定理中的直角三角型誤植為等腰三角形，數學做為商品是如此不堪，令人 感慨！

二、評論

有人，包括本書作者Eli Maor，傾向於把數學與音樂、繪畫等藝術相提並論。歷史 上音樂與數學、繪畫與數學曾有密切的關聯，所以，這是很自然理的事情。但與音樂、

繪畫相較，數學顯然是不討喜的。音樂、繪畫能直接透過感官浸入而感受欣領。但是，

數學則需透過思維析辨的工夫，才能認知內涵，再經過組織這些內涵，才能形成架構，

最後，還得有器識這個架構的能力，才可能欣賞到數學之美。即使做為必修的重要課程，

許多學生對數學仍採應付的態度，遑論一般人；以數學作為消遣讀物，可以說少之又少。

所以，寫數學普及書籍是件不容易、不討好的工作。即使大環境是如此不利，仍有許多 人不計成敗得失，抱著傳道的熱忱，投身於此。他/她們努力於軟化數學的形象，企圖讓 它變得易於親近。從本書的內容，我們可以感受到這種熱忱和努力。

不用瞎掰而能言之有物，要把畢氏定理這樣狹窄的話題寫成一本書，作者若無廣博 的知識是辦不到的。本書對於與畢氏定理有關的事，都有所論列；包括費瑪最後定理、

曲線求長的積分公式、向量空間、Hilbert 空間、常見的座標系及其相對應的距離公式、

黎曼空間、線座標、直拓空間和曲扭時空。他利用簡單易懂的模型解釋相對運動，進而 引入相對論。雖然這些話題看起來鬆散，但經過Eli Maor 精心巧妙的安排架構，呈現出 一個有系統的結果。整本書也複述數學發展史的輪廓：人類的工具需求、好奇探索和智 慧能力共同形成這個場景。它點出人類智慧能力是無限的，總能在山窮水盡疑無路時，

帶領我們走出柳暗花明又ㄧ村。此外，本書提到一些濫用和誤用數學的事例，也彰顯社 會一般數學水準，還有很大的提升空間。Eli Maor 一方面鼓勵我們要對智慧有信心，另 一方面也督促我們改善現況，邁向更好的境界。

電腦普及產生後遺症之ㄧ，是耐性逐漸從人性疏離，需要深沉思考、縝密推理的活 動，已經對許多人失去吸引力，而不幸的這正是數學的特色。做為數學普及書籍，能吸 引一般讀者應是首要的考量，盡量稀釋數學色彩，避免冗長的推理或演算，是較佳的選

HPM 通訊第十六卷第九期第五版

擇。但是，這樣把數學的本質丟到一邊，寫作數學書籍是很困難‧Eli Maor 有一個高明 的處理：把一些論理過程放置在附錄，給有興趣的讀者參考；各單元還有Notes and sources，留給讀者進ㄧ步查閱的線索。但是，在本文裡還是保留有一些冗長的數式運算，

例如頁78~90，129~133。在序言裡，Eli Maor 設定本書的讀者為：對數學史有興趣，具 有高中程度的代數和幾何，以及零散 (occasional smattering) 的微積分知識。但檢視內 容，許多部份都超過這樣的背景要求，至少完整的初等微積分是不可少的。像極座標中 曲線求長，Maclaurin 級數，甚至實變函數的範數 (norm) 都曾出場。第十單元的直線 座標更屬數學專業。若要了解Notes and sources 及附錄，則還要整數論，偏微分等等。

這是一般人常會犯的毛病：把專業常識當作一般人的常識。這種毛病，在專家寫普及讀 物時最容易出現。

Eli Maor 在序言提到畢氏定理之所以能得普遍的青睞，部份原因是由於它的證法多 元。Loomis 在 1927 年出版的 The Pythagorean Proposition 裡就蒐集了 371 個，而此後 還在繼續增加。證明方法多，顯示這個定理內涵的多元面向。但這些內涵若止於自我，

則至多只能成為孤芳，讓狹窄的數學圈自賞。所以，強調證明方法很多，並不能增加畢 氏定理對數學圈外的吸引力。本書的內容顯示：畢氏定理之所以能得普遍的青睞，更重 要的原因是從它延拓出來無限寬廣的場景，許多重要理論的基本原理都有它的身影，許 多重要公式都是它的化身，還有，在許多領域的經營，它是不能割捨的角色。這一個功 能，就足夠給本書一個肯定的價值。

附記：本書第81 頁有一個小筆誤：Notes and Sources 3 的 2 sin²

應是 2 sin²

。

優秀數學普及作品指標 評價方式：指標以五顆星☆☆☆☆☆為最高品質。

1. 知識的實質內容

(1) 認識論面向：☆☆☆☆

(2) 歷史或演化面向：☆☆☆

(3) 哲學面向：☆☆☆

(4) 教育改革面向：☆☆☆

2. 形式或表達：

(1) 創新手法；☆☆☆

(2) 數學知識的洞察力：☆☆☆☆

(3) 忠實可靠的參考文獻：☆☆☆☆

(4) 敘事的趣味性、可及性與一慣性：☆☆☆

3. 內容與形式如何平衡：

(1) 青少年層次：☆☆☆☆

(2) 一般社會大眾：☆☆☆

4. 摘錄本書精彩片段

HPM 通訊第十六卷第九期第六版

沒有證據不能證明沒有 (the absence of evidence is not evidence of absence)(p. 14)。

每本數學史書籍，你都可以看到一張聖老的照片，嘴邊蓄著短鬚，兩眼閃著慧光。

但這位英挺的賢老是誰？真相是：我門不知道。畢達哥拉斯是歷史上最神秘的人物之ㄧ。

他的事蹟都是他身後超過百年的歷史家所寫的，我們所聽閱關於他的記載，恐怕也是傳 說多於事實。所以，你所閱聽關於他，或這位英挺的賢老的傳說，最好加一把鹽。(p.16)

方程式所呈現的美，比其與實驗之契合度更重要。(p. 28)

1. 為節省影印成本，本通訊將減少紙版的的發行，請讀者盡量改訂 PDF 電子檔。要訂閱請將您的大名，

地址，e-mail 至 suhui_yu@yahoo.com.tw

2. 本通訊若需影印僅限教學用，若需轉載請洽原作者或本通訊發行人。

3. 歡迎對數學教育、數學史、教育時事評論等主題有興趣的教師、家長及學生踴躍投稿。投稿請 e-mail 至 suhui_yu@yahoo.com.tw

4. 本通訊內容可至網站下載。網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng/letter/hpmletter.htm 5. 以下是本通訊在各縣市學校的聯絡員，有事沒事請就聯絡

《HPM 通訊》駐校連絡員

日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 、李佳嬅（東京大學）

德國：張復凱（Mainz 大學）

基隆市：許文璋（南榮國中）

台北市：英家銘（台北醫學大學）楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎（師大附中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）

新北市：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵

（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國中）

莊耀仁（溪崑國中）、李建勳（海山國中）

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）

桃園縣：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高中)、

鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川、林典蔚（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中市：阮錫琦（西苑高中）、劉雅茵（台中二中）、林芳羽（大里高中）、洪秀敏（豐原高中）、李傑霖、

賴信志、陳姿研（台中女中）、莊佳維（成功國中）

南投縣：洪誌陽（普台高中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）

台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜

（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）馬祖：王連發（馬祖高中）

附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！

HPM 通訊第十六卷第九期第七版

歐幾里得筆下的尺規作圖：

以過 P 點作圓外、橢圓外的切線為例

陳玉芬 新北市明德高中 一、前言

有關如何從橢圓外一點作它的切線，並未被納入中學數學課程。不過，從圓錐曲線 整體結構的觀點來看，此一問題與其相對於圓的情況，可以進行相當有趣的連結。因此，

在本文中，我打算簡要探討此一主題。

首先，我將引述歐幾里得如何在他的《幾何原本》脈絡中，解決有關圓的情況。然 後，再設法將此一作圖「類比」到橢圓的情況。希望我們所提供的論述，多少有助於圓 錐曲線之切線的相關結構的更全面或系統的理解。

二、P 為圓 O 外一點，作 P 點到圓 O 的切線

針對圓的例子，我們先引述歐幾里得的尺規作圖，再對比今日教科書所提供的作圖 方法。

‧在《幾何原本》中，原作圖方式如下：

1. 取已知圓的圓心為 E 點。¹ III.1

2. 連接 AE 公設1

3. 以 E 為圓心， AE 為半徑，作同心圓 AFG 公設3

4. 過 D 點作 DF  AE I.11

5. 連接 EF 、 AB 公設1

6. AB 即為所求

命題I. 11：由已知直線上一點作一直線和已知直線成直角

證明：首先，利用第三卷命題1，找到已知圓的圓心 E，接著，使用 ABE  FDE，則

1 在現今教科書中，通常都會給圓心，但在原本中，圓心需先自行求出。

HPM 通訊第十六卷第九期第八版

可得到 ABEF，因為 EB 為半徑，根據III.16²得 AB 為圓E 的切線

‧以現今教科書上的作圖法為例

1. 連接OP 公設1

2. 作OP中點O，使得O P O O I.10 3. 以O為圓心，O P 為半徑，作圓O且交圓O 於 A、B 二

點 公設3

4. 連接 PA 、 PB 公設1

5. AB 、AC即為過A 點到圓 E 上的二條切線

公設1：由任意一點到任意一點可作直線

公設3：以任意點為圓心及任意長為半徑，可以畫圓 命題10：二等分已知線段

在此作圖方法中，所有的作圖程序皆為非常基礎的觀念（只運用到公設1、3 及第一卷 的命題10）

但此法的證明主要是利用「直徑上所對應的圓周角為直角」的性質，而這性質歐幾 里得卻是放在命題III. 31，又此性質的證明，是要運用到命題 I. 31：在任意三角形中，

任一外角等於內對角和，且三角形的三個內角和等於二直角。

所以，依歐幾里得的推理方式，且他的作圖法（如前頁）也是放在命題III. 17，故 理論上，他應該是也可以這樣作圖的，因為使用到的證明性質亦未有所衝突，只能說，

也許在當時，這位大師尚未想到此種更簡易的方式吧！

二、P 為橢圓 O 外一點，作 P 點到橢圓 O 的切線

2 III.16 內容：由圓的直徑的端點所作直線和直徑成直角，則直線切於圓。

HPM 通訊第十六卷第九期第九版

在《幾何原本》中並未找到過P 點作橢圓外的切線，因此，我們只能「模擬」在當 下，歐幾里得是否也是如此操作：

1. 假設已找到已知橢圓（如下圖）

2. 以F 為圓心， EF (即長軸 2a)為半徑畫圓₂ F ₂ 公設3 3. 以 P 為圓心，PF₁為半徑畫圓P 並交圓F 於 A,B 二點 ₂ 公設3

4. 連接AF₁、BF₁ 公設1

5. 作AF₁中點G，使得GAGF₁；作BF₁中點H，使得HBHF₁ I.10 6. 連接PG、 PH 並延長交於橢圓上的C、D 二點 公設1 7. PC、 PD 即為橢圓上的二切線

簡要證明：

1. 因為PF₁＝ PA （作圖步驟3），所以PF G₁  PAG（SSS 全等性質 I.8）

2. 得PGA PGF₁  AGC F GC₁ 3. AGC  F GC₁ （SAS 全等性質 I.4）

4. 得CACF₁

5. 假設AF₂交直線PC 於 C 點，

因為CF₁CF₂ CA CF ₂ AF₂ 2a（長軸長）

所以根據橢圓定義，C 點在橢圓上。

6. 又，假設直線 PC 與橢圓不只相交一點 C, 並設另一交點為 R, RC

則2aRF₁RF₂ RARF₂ AF₂，矛盾。即直線PC 與橢圓只有一個交點 C，

故直線PC 為橢圓之切線。

HPM 通訊

目 再是必須 截痕何 學生只是 球面的 阿波羅尼

所 篇論文 文中，D 圓、雙

(1) 橢圓 平 兩個球 於F2，S

PF2 。 若過 P 與C2相 因為PF

長，所

而PF₂ 與

長，所

因此PF

PE1＋P 而E1E2

點P，到

訊第十六卷第九

Dande

前實施的9 須教授的單 時為圓、橢 是被動地接 想法，我們 尼斯在《錐

謂Dandeli 中所提出的 Dandelin 利 曲線與拋物

圓

面E 與圓錐 S1, S2分別 S1與圓錐相

P 的一條母 相切於E1與

F1與PE₁為 以PF₁＝P

與PE₂ 為球

以PF₂＝P

F1＋PF₂ ＝

PE2＝E E₁

2為兩球S1

到兩固定點

九期第一○版

elin Sp

99 課綱高中 單元。各版 橢圓、拋物 接受老師所 們可將圓錐 錐線論》中

in 球面為比 的概念，再加 利用與圓錐 物線的截痕

錐截出一個 別與平面E 及 相切得出一圓

線分別與圓 與E2兩點，

為球 S1的切

PE1； 球 S2 的切

PE2。

E2

1、S2間的公

點F1, F2的距

版

pheres 證

台北

中數學中，

本課本或數 物線或雙曲線

說的與模型 截痕與焦點 所陳述與證

比利時的數學 加上另一位 錐及平面相切

中，利用D

個橢圓Γ，在 及圓錐相切 圓C1， S2與

圓 C1

線段

線段

公切線段長 距離和為一

證明圓

蘇惠玉 北市立西松

弱化了圓錐 數學教師在

線，基本上 型所看到的 點的定義方 證明的性質

學家與軍事 位比利時天文

切的球，可 Dandelin 球

在圓錐的內 切，假設S1

與圓錐相切

長，為一定值 一定值，並且

圓錐截痕

松高中

錐曲線的單 在教授時也僅

上與課本採用 的曲線名稱而 方式連結，以 質。

事工程師G 文學與數學 可以證明截痕

球面來證明

內部，E 的上 與平面E 相 切得出一圓C

值，與P 無 且此橢圓截

痕的焦點

單元，所謂的 僅是簡單的

用的焦點定 而已。不過 以一種較為

. E. Dandel 學家A. Que 痕的焦點性

：

上、下方各 相切於F1，

C2。P 為Γ上

無關。也就是 截痕的焦點為

點性質

的「圓錐截 的陳述平面與

定義方式無法 過，藉由Da 為簡潔的形式

lin(1794-18 etelet 的貢獻 性質。下面分

各塞一個球

， S2與平面 上任一點，連

是說，橢圓 為這兩個球

質

截痕」不 與圓錐的

法連結，

andelin 式，證明

847)在一 獻。在論 分別在橢

，使得這 面E 相切 連PF₁、

圓上任一 球面與平

面的切

(2) 雙曲 平面 錐的 兩個 切，

與平 得出 圓

PF2

若過 C2相 因為

所以

而P

所以

因此

＝｜

而E 任一 球面

(3) 拋物 平面 內塞 與圓 一點 過P 交於

點。

曲線

面 E 與圓錐 的上下部份 個球S1, S2分

假設S1與 平面E 相切 出一圓C1， C2。P 為Γ

2 。

過 P 的一條 相切於E1與 為PF₁與PE

以PF₁＝PE

PF2 與PE₂ 為 以PF₂ ＝PE

此｜PF₁－P

PE1－PE E1E2為兩球 一點P，到兩 面與平面的

物線

面E 與圓錐 塞一個球，使 圓錐相切得 點，連 PF

P 作 L 的垂 於M 點，

錐截出雙曲 份各塞一個球

分別與平面 與平面E 相切

切於F2，S1

S2與圓錐 Γ上任一點

條母線分別 與E2兩點

E1為球S1的

E1； 為球 S2的

E2。

PF2 ｜

E2｜＝E E₁ 球S1、S2間 兩固定點F

切點。

錐截出一拋物 使得這個球

出一圓C，

。

垂線，垂足為

線Γ，在圓 球，使得這 E 及圓錐相 切於F1， S

與圓錐相切 相切得出一 點，連PF₁、

別與圓 C1 與

，

的切線段長，

切線段長，

E2

間的公切線段 F1, F2的距離

物線Γ（平 球S 分別與平

，圓C 所在

為H，又 P 圓 這 相 S2

切 一

、

與

，

，

段長，為一 離差為一定

平面E 與拋物 平面E 及圓 在的平面為

P 點在平面

一定值，與P 定值，並且此

物線的一條 圓錐相切，

E’，E 與 E

E’的垂足為

HPM 通訊第

P 無關。也 此雙曲線截

條母線平行）

假設S 與平 E’的交線為

為K，過 P

第十六卷第九

也就是說，雙 截痕的焦點為

），我們可以 平面E 相切 為L。設 P 為

的一條母線

九期第一一版

雙曲線上 為這兩個

以在圓錐 切於F，S 為Γ上任

線與圓C

版

HPM 通訊

因為

PF 若此 為α 在△

∠P

∠K PK

所以 PH

故 P 也就

物線 離

參考文獻 磯田正

東 Lui, K

Infl The 網站：

訊第十六卷第九

為 PF 與 PM

＝ PM ； 此圓錐的軸 α，

△PKH 與△

PKH＝∠PK KPH＝∠KP K ＝ PK

以△PKH H ＝ PM

PF ＝ PH 。

就是說，E 與 線的焦點，

。

獻：

美、M. G.

東京：共立出 K.W. (2003)

luence on T e University http://math

九期第一二版

M 為球S 的

與母線的夾

△PKM 中，

KM＝90⁰， PM＝α，

△PKM，可

。

與E’的交線 那麼 PH 為

Bartolini B 出版株式會 ), Study of The Develop y of Hong K hforum.org

版

的切線段長

夾角

，

可得

線L 為此拋 為拋物線上

Bussi 等編著 會社。

f Conic S opment, App

Kong.

g/mathimag

，所以

拋物線截痕的 上一點P 到準

著（2010）

Sections an plication an

ges/index.p

的準線，球 準線L 的距

，《曲線の事

nd Prime N nd Transm

php/Dandel

球面S 與平面 距離，等於

事典—性質

Numbers in ission of M

lin_Spheres

面的切點F P 點到焦點

質、歷史、作

in China:

Mathematic

s_Theory

F 為此拋 點F 的距

作圖法》，

Cultural cal Ideas,