PRACTICE BOOK2 CHAP2 機率 1.擲

PRACTICE BOOK2 CHAP2 機率

1.擲 3 粒公正骰子﹐問恰好有兩粒點數相同的機率為____________﹒

解答 5 12

解析 所求為 1  P (皆同)  P (皆異)  1  ₁⁶ 1 ³ ₁^{6 5}_{1 1}⁴ 1 ³ 1 20 5

( ) ( ) 1

6 6 36 36 12

C  C C C      ﹒

2.設 A 和 B 為獨立事件且 1 ( ) 3

P A  ﹐ 1

( | )

P B A  ﹐求 4

(1)P(B)  ____________﹒ (2)P(AB)  ____________﹒

(3)P(AB)  ____________﹒ (4)P(B | A)  ____________﹒

解答 (1)1 4;(2) 1

12;(3)1 4;(4)3

4

解析 (1)A﹐B 為獨立事件﹐∴1 ( ) ( ) ( )

( | ) ( )

4 ( ) ( )

P A B P A P B

P B A P B

P A P A

     ﹒

(2)A﹐B 為獨立事件﹐∴ 1 1 1

( ) ( ) ( )

3 4 12 P AB P A P B    ﹒

(3)A﹐B 為獨立事件﹐∴A﹐B為獨立事件﹐ 則 1 3 1

( ) ( ) ( )

3 4 4 P AB P A P B     ﹒

(4)A﹐B 為獨立事件﹐∴A﹐B為獨立事件﹐則 3

( | ) ( ) 1 ( ) P B A P B  P B  ﹒ 4 3.五對夫婦﹐由其中任選二男二女﹐求

(1)4 人中恰含一對夫婦的機率為____________﹒(2)4 人中不含任一對夫婦的機率為____________﹒

解答 (1)3 5;(2) 3

10

解析 (1)

5 2 3

2 1 1

5 5

2 2

3 5 C C C

C C

  

 ﹒(2)

5 3

2 2

5 5

2 2

3 10 C C C C

 

 ﹒

4.甲﹑乙﹑丙三人解題平時解對之機率分別為1 2﹐1

3﹐3

4﹐今三人同解某一問題且不相互影響﹐則 (1)此題解出之機率為____________﹒

(2)若恰有一人解對﹐而是甲解對的機率為____________﹒

解答 (1)11 12;(2)2

9

解析 設 A﹑B﹑C 分別表示甲﹑乙﹑丙三人解對的事件﹐

(1)P(此題解出) 1 1 3

1 ( ) 1 (1 )(1 )(1 )

2 3 4

P A B C

         1 2 1 11

1 2 3 4 12

     ﹒

(2)P(甲解對 | 恰有一人解對的機率)

( )

( ) ( ) ( )

P A B C

P A B C P A B C P A B C

 

  

     

       

1 2 1 2 3 4 2

1 2 1 1 1 1 1 2 3 9 2 3 4 2 3 4 2 3 4

   

       

﹒

5.甲袋有 3 顆紅球，7 顆黑球﹐乙袋有 n 顆紅球﹐3 顆黑球﹐今任選一袋﹐在取出一球為紅球的條件下﹐此球來自乙

袋的機率為4

7﹐求 n  ____________﹒

解答 2

解析 由樹狀圖可知﹐

P (乙|紅)

1 2 3 4

1 3 1 7

2 10 2 3 n n

n n

 

 

  



3 12

7 3 70 n

n 

  2

3 5 n n 

  n  2﹒

6.依序投擲兩粒骰子﹐設 A 代表點數和為偶數的事件﹐求 n(A)  ____________﹒

解答 18

解析 點數和為偶數有兩種情形﹕

偶數  偶數  3  3  9﹒奇數  奇數  3  3  9﹒

共有 9  9  18 種﹐故 n(A)  18﹒

7.甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊五人排成一列﹐試求

(1)甲必排首乙必排中的機率為____________﹒(2)甲不排首且乙不排中的機率為____________﹒

解答 (1) 1

20;(2)13 20

解析 (1)3! 6 1 5!12020﹒

(2)甲不排首且乙不排中2 人受限﹐∴所求 1 5! 2 4! 1 3! 120 48 6 78 13

5! 120 120 20

      

    ﹒

8.擲一公正骰子﹐若出現么點或 2 點﹐則在數線上將質點向右移 2 單位﹐若出現 3 點或 4 點﹐則在數線上將質點向左 移 1 單位﹐若出現 5 點或 6 點﹐則不移動質點﹒今質點在數線上原點位置﹐連擲骰子六次﹐求質點落在  1 位置的 機率為____________﹒

解答 22

解析 設向右﹑向左﹑不動的次數分別為 x﹐y﹐z 次﹐

則有 x  y  z  6﹐且 2x  y   1﹐列出合條件之非負整數(1,3,2)﹐(0,1,5)﹐

依題意﹐每種情形的機率均為1

3﹐故機率為 6! 1 ⁶ 6! 1 ⁶ 22 ( ) ( )

3!2! 3  5! 3 243﹒ 9.設 A﹐B 為兩事件﹐P(A)  0.3﹐P(B)  x﹐P(AB)  0.6

(1)A 與 B 為互斥事件﹐則 x  ____________﹒(2)A 與 B 為獨立事件﹐則 x  ____________﹒

解答 (1)0.3;(2)3 7

解析 (1)A 與 B 為互斥事件P(AB)  P()  0﹐

又 P(AB)  P(A)  P(B)  P(AB)0.6  0.3  x  0﹐∴x  0.3﹒

(2)A 與 B 為獨立事件P(AB)  P(A)  P(B)  0.3x﹐

又 P(AB)  P(A)  P(B)  P(AB)0.6  0.3  x  0.3x0.7x  0.3﹐∴ 3 x ﹒ 7

10.以 A﹐B 分別表示甲﹑乙活過十年以上的事件﹒設 1 ( ) 4

P A  ﹐ 1

( ) 3

P B  ﹒若 A﹑B 兩事件為獨立事件﹒試求

(1)兩人都活十年以上的機率為____________﹒

(2)至少有一人活十年以上的機率為____________﹒

(3)沒有一人活十年以上的機率為____________﹒

解答 (1) 1 12;(2)1

2;(3)1 2

解析 (1)即求 1 1 1

( ) ( ) ( )

4 3 12 P AB P A P B    ﹒

(2)即求 1 1 1 6 1

( ) ( ) ( ) ( )

4 3 12 12 2 P AB P A P B P AB      ﹒

(3)所求 1 1

1 ( ) 1 2 2 P A B

      ﹒

11.擲一粒公正的骰子三次﹐令 X﹐Y 分別表三次出現的點數和與前二次出現的點數和﹐則 P((Y  4)|(X  10))  ________﹒

解答 1 9

解析 X  10﹕(1,3,6)﹐(1,4,5)﹐(2,2,6)﹐(2,3,5)﹐(2,4,4)﹐(3,3,4)  3!

( 10) 3! 3 3 27 n X      2! ﹐

Y  4 且 X  10﹕(1,3,6)﹐(2,2,6)﹐∴ ³

3

2 1

( 4 10) 6 3 1

( 4 | 10)

( 10) 27 27 9 6

P Y X P Y X

P X



 

     



且 ﹒

12.袋中有紅﹑黃﹑藍﹑白四色球各有 100 個﹐連續探取四次（各球被取中的機會均等﹐每次取出放回）令 A 表示有 兩種不同顏色的事件﹐B 表示其中恰有兩球為白球的事件﹐試求 P(A|B)  ______﹒

解答 1 3

解析 B 事件﹕

3 4

2

3 4

1

4! 1 9

: ( )

2! 4 64 4! 1 9

: ( )

2!2! 4 128 C

C

   



  



白白╳△

白白△△





∴ 9 9 27

( ) 64 128 128 P B    ﹐

AB 事件﹕白白△△ ³₁ 4! 1 ⁴ 9

: ( )

2!2! 4 128

C    ﹐∴

9 ( ) 128 1 ( | )

( ) 27 3 128 P A B P A B

P B

    ﹒

13.阿杰申辦提款卡時﹐依銀行規定須自訂 4 個阿拉伯數字排成一組密碼﹒某天阿杰到提款機領錢時﹐發現他忘了正 確密碼﹐只記得是由他女朋友阿琳的生日 78 年 9 月 21 日的 7﹑8﹑9﹑2﹑1 五個數中的四個相異數字排成的﹐則他 猜對的機率為____________﹒

解答 1 120

解析 ₅

4

1 1 120 P  ﹒

14.大小不同之鞋六雙﹐任取其中 4 隻﹐求

(1)4 隻均不成雙機率為_________﹒(2)4 隻恰有兩隻成雙機率為___________﹒

解答 (1)16 33;(2)16

33

解析 (1)

6 4

4 12 4

2 16 33 P C

C

   ﹒(2)

6 5 2

1 2

12 4

2 16 33 C C

P C

 

  ﹒

15.袋中有 3 紅 5 白球﹐某甲每次從袋中取一球﹐取後不放回﹐求白球先取完的機率為____________﹒

解答

20 100 80 100 近視 無近視 高一

30 100 70 100 近視 無近視 高二

40 100 60 100 近視 無近視 高三 40 100 30 100

30 100

解析

3 紅球 5 白球排入﹐末位不為白球﹐則

7!

2!5! 3 8! 8 3!5!

P  ﹒

16.袋中有紅球 6 個﹑白球 3 個及黑球 2 個﹐今從袋中任取三球（設機會均等）﹐則在已知三球不完全同色的條件下﹐

至少有一紅球之機率為____________﹒

解答 15 16

解析 6R﹐3W﹐2B 共 11 個球﹐

3R

 3W



2 ,1W B

 1 , 2W B



11 6 3 3 2 3 2

3 3 3 2 1 1 2

11 6 3

3 3 3

( ) 144 6 3 135 15

144 144 16

C C C C C C C

C C C

          

  ﹒

3R

 3W



17.某手機公司共有甲﹑乙﹑丙三個生產線﹐依據統計﹐甲﹑乙﹑丙所製造的手機中分別有 5%﹐3%﹐3%是瑕疵品﹒

若公司希望在全部的瑕疵品中﹐由甲生產線所製造的比例不得超過 5

12﹐則甲生產線所製造的手機數量可占全部手 機產量的百分比至多為____________%﹒

解答 30

解析 設甲﹑乙﹑丙三生產線製造的手機占全部手機的產量分別為 x%﹐y%與 z%（x﹐y﹐z  0）﹐

且 x  y  z  100﹐

依題意﹐可列得 % 5% 5

% 5% % 3% % 3% 12 x

x y z

 

      5 5

5 3( ) 12 x

x y z 

 

 5 5

5 3(100 ) 12 x

x x 

   5 5

300 2 12 x

x



兩邊同乘 12(300  2x)﹐得 60x  1500  10x  x  30﹐

故甲生產線製造的手機占全部手機產量至多 30%﹒

18.袋中有 5 個白球和數個黑球﹐今從袋中一次取出兩球﹐已知此兩球同為白球的機率是 1

12﹐試問袋中有黑球為 ________個﹒

解答 11

解析 設黑球 n 個﹐則

5 2 5 2

1

n 12 C

C ^  20 1

( 5)( 4) 240 11

( 5)( 4) 12 n n n

n n

       

  ﹒

19.擲一粒公正的骰子三次﹐令 A 表第一次出現「偶數點」的事件﹐B 表三次的點數和為 11 點的事件﹐求 (1)P(AB)  ____________﹒(2)P(B|A)  ____________﹒(3)P(A|B)  ____________﹒

解答 (1) 7

108;(2) 7

54;(3)14 27 解析 點數和為 11 的情形有﹕

1﹐4﹐6→3!  6（種）﹐1﹐5﹐5→3!

2! （種）﹐2﹐3﹐6→3!  6（種）﹐ 3

2﹐4﹐5→3!  6（種）﹐3﹐3﹐5→3!

2! （種）﹐3﹐4﹐4→3 3!

2! （種）﹐ 3 故三次出現點數和為 11 的情形有 27 種﹐即 n(B)  27﹐

AB  {(2,3,6)﹐(2,6,3)﹐(2,4,5)﹐(2,5,4)﹐(4,6,1)﹐(4,1,6)﹐(4,5,2)﹐

(4,2,5)﹐(4,3,4)﹐(4,4,3)﹐(6,4,1)﹐(6,1,4)﹐(6,2,3)﹐(6,3,2)}﹐

∴n(AB)  14﹐ 1 1 ( ) 1 1

2 2

P A     ﹐

(1) 14₃ 7

( )

6 108

P AB   ﹒(2)

7 ( ) 108 7 ( | )

( ) 1 54 2 P A B P B A

P A

    ﹒(3)

7 ( ) 108 14 ( | )

( ) 27 27 216 P A B

P A B

P B

    ﹒

20.甲﹑乙﹑丙三射手同射一靶﹐每人一發﹐設甲﹑乙﹑丙的射擊命中率各為 0.5﹐0.6﹐0.8﹐並設各人命中靶面的事 件為獨立事件﹐求

(1)靶面恰中一發的機率是_________﹒(2)若已知靶面恰中一發﹐則其為丙命中的機率為_________﹒

解答 (1)0.26;(2) 8 13

解析 (1)P(中一發)  0.5  0.4  0.2  0.5  0.6  0.2  0.5  0.4  0.8  0.26﹒

(2) 0.5 0.4 0.8 16 8

( | )

0.26 26 13

P  

  

丙中 中一發 ﹒

21.袋中有 10 元硬幣 4 個﹑5 元硬幣 3 個﹑1 元硬幣 2 個﹐若每次任取一個硬幣﹐取出後不放回﹐則 10 元硬幣比 5 元 硬幣先取完的機率為____________﹒

解答 3 7

解析 最後必為 5 元硬幣﹐∴機率為3 7﹒

22.擲一粒均勻骰子三次﹐設三次中至少出現一次 6 點的事件為 A﹐三次中至少出現一次 1 點的事件為 B﹐求 A 和 B 至少有一事件發生的機率為____________﹒

解答 19 27

解析 所求 4 ³ 152 19 1 ( )

6 216 27

    ﹒

23.將 A﹑B﹑C…等八人平分成四組﹐每組兩人﹐則 A﹑B﹑C 三人中任兩人均不在同一組的機率為__________﹒

解答 4 7

解析 ∴機率

5 4 3 2

1 1 1 2

8 6 4 2

2 2 2 2

1 4

1 7 4!

C C C C

C C C C

   

 

    ﹒

24.擲一粒均勻的骰子兩次﹒試求已知擲出的點數和為 6 的情況下﹐第二次擲出偶數點的機率為____________﹒

解答 2 5

解析 點數和為 6 的事件 A  {(1,5)﹐(2,4)﹐(3,3)﹐(4,2)﹐(5,1)}﹐

其中第二次擲出偶數的事件 AB  {(2,4)﹐(4,2)}﹐∴ 2 ( | )

P B A  ﹒

25.投擲一粒公正的骰子 n 次﹐令 Pn表示有一面連續出現兩次或兩次以上的機率﹐求使 Pn  0.9 的最小自然數 n  ____________﹒（log2  0.3010﹐log3  0.4771）

解答 13

解析 5 ¹ 1 1 ( ) 0.9

6

  n   5 ¹ ( ) 0.1

6

n   6 ¹

( ) 10 5

n  ﹐

取 log 6 ¹

log( ) log10 5

n  (n  1)(log6  log5)  1

 1 1

1 log 6 log 5 0.7781 0.6990

n  

  ≒12.6﹐

∴n  12.6﹐取 n  13﹒

26.已知袋中有 2 個白球﹑4 個黑球﹒今從袋中每次取出一球﹐連取三次﹐求 (1)若取出的球都不放回﹐則第三次取出白球的機率為____________﹒

取出的三球中恰有兩個白球的機率為____________﹒

(2)若取出白球放回﹐但取出黑球不放回﹐則第三次取出白球的機率為____________﹒

解答 (1)1 31

5;(2)292 675

解析 (1) 2 4 1 4 2 1 4 3 2 1

6 5 4 6 5 4 6 5 4 3

P          

白 白 白

白 黑 黑 白 黑 黑

﹒

 4 2 1 2 4 1 2 1 4 1

6 5 4 6 5 4 6 5 4 5

P          

白 白 黑

黑 白 白 黑 白 白

﹒

(2) 4 3 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 8 4 1 2 9 2 6 5 4 6 5 5 6 6 5 6 6 6 5 7 5 4 5 2 7 6 7 5

P                 

白

黑 黑 黑 白 白 白 黑 白 白 白 白

﹒

27.將 6 件相異禮品全分給甲﹑乙﹑丙三人﹐則每人至少得 1 件的機率為____________﹒

解答 20 27

解析

6 6 6 6

6

1 3 3 2 3 1 1 0 540 20

3 729 27

         ﹒

28.五對夫婦參加一個舞會﹐求恰有兩位先生以其配偶為舞伴的機率為____________﹒

解答 1 6

解析

5

2 (1 3! 3 2! 3 1! 1 0!) 1

5! 6

PC          ﹒

29.某城市 40%為男性﹐60%為女性﹐又男性中 10%抽菸﹐女性中 3%抽菸﹐則 (1)今任選一人﹐此人抽菸的機率為____________﹒

(2)若被選出的人是抽菸的﹐此人是男性的機率為____________﹒

解答 (1)0.058;(2)20 29

解析 (1) P (抽菸)  0.4  0.1  0.6  0.03  0.058﹒

(2) P (男性|抽菸)  0.4 0.1 0.04 20 0.4 0.1 0.6 0.03 0.058 29

  

   ﹒

30.某學校教師中﹐已婚男老師有 18 人﹐已婚女老師有 30 人﹐未婚男老師有 12 人﹐未婚女老師有 x 人﹐若該校的教 師中﹐性別與婚姻狀況無關﹐則

(1)x  ____________﹒

(2)今加入新進男老師 10 人後﹐性別與婚姻狀況仍為獨立狀態﹐則新進男老師中﹐有_____人已婚﹒

解答 (1)20;(2)6

解析 (1)從學校教師中﹐任選一名教師﹐令 A 為選到男教師事件﹐B 為選到已婚教師的事件﹐∵A 與 B 獨立﹐

∴P(AB)  P(A)P(B) 18 30 48

( )( )

60 x  60 x 60 x

   60  x  80x  20﹒

(2)設新進男教師中 y 人已婚﹐則18 40 48 ( )( ) 90 90 90

y y

 

  4

18 (48 )

y 9 y

   5y  30y  6﹒

31.有 A﹑B 兩部「吃角子老虎」的機器玩具﹐A 機器得勝的機會是1

2﹐B 機器得勝的機會是1

4﹐今隨機選一部機器﹐

求出得勝是來自 A 機器的機率為____________﹒

解答 2 3

解析 P (來自 A |得勝) 

1 1 2 2 2

1 1 1 1 3 2 2 2 4

 

  

﹒

32.甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑…等七人排成一列﹐求

(1)甲﹑乙﹑丙都不相鄰的機率為____________﹒(2)甲﹑乙﹑丙都不與丁相鄰的機率為____________﹒

解答 (1)2 7;(2)2

7

解析 (1)^△丁^△戊^△己^△庚^△4!P⁵₃24 60 1440  ﹐∴所求 1440 2 7! 7

  ﹒

(2)丁不在首尾﹕

□丁□ ﹐甲﹐乙﹐丙﹐□

↓

C³₂  2! 5! 720﹐

丁在首尾﹕2C₁³ 5! 120 6 ﹐

∴所求 720 120 6 2

7! 7

 

  ﹒

33.十張分別標以 1﹐2﹐…﹐10 的卡片﹐任意分成兩疊﹐每疊各五張﹐則 1﹐2﹐3﹐4 四張中﹐每疊各有兩張的機率 為____________﹒

解答 10 21

解析 所求

4 2

6 3

2 2

3 3

10 5

5 5

4 3 6 5 4 2! 2 1 3 2 1 10

10 9 8 7 6 21 2! 120

C C

C C C C

      

  

  

   

 ﹒

34.袋中有紅球 5 個﹑白球 7 個﹐今從袋中任意取出兩球﹐求下列各事件的機率﹕

(1)兩球皆為白球﹕____________﹒(2)兩球同色﹕____________﹒

解答 (1) 7

22;(2)31 66 解析 (1) P (二白)  ₁₂⁷²

2

7 22 C

C  ﹒(2) P (同色)  P (二紅)  P (二白)  ₁₂⁵² ₁₂⁷²

2 2

31 66

C C

C C  ﹒ 35.設同時投擲三粒公正的骰子﹐樣本點(a,b,c)﹐則

(1)a  b  c 的機率為____________﹒(2)a  b  c  10 的機率為____________﹒

解答 (1) 35 216;(2)1

8

解析 (1)P(a  b  c)  P(a  b  c)  P(a  b  c) ⁶³ ₃ ⁶² 20 15 35

6 216 216

C C 

   ﹒

(2)a  b  c  10﹐1  a,b,c  6﹐ ∴所求 ³⁷ 3₃ ^{13 97} 9 1

6 216 8

H  H C 

   ﹒