6.1 　反微分

(1)

6.1 　反微分

例 1 求 f x( )  3x² 的反微分。

解：吾人要求得其微分為 f x( )  3x² 的函數 F ，吾人已確知 x³ 的導函數為 3x ，故得 F x² ( )  x³，因

d

dx (x³)  3x² 但下列亦為真：

d

dx x x d

dx x x

( ³  1) 3 ²　　 ( ³  4)  3 ²　　 ( ³  3) 3 ² 故

d

dx (x³ C)  3x²　　為任意常數C 吾人說 f x( )  3x² 的反導函數為

F x( )  x³ C 

(2)

例 3 計算積分　 x dx



⁴

解： x dx x

C x

4 C

4 1 5



^ _^ ^{ } ^

吾人先使用



x dxⁿ 公式來積分，再由積分的結果求導函數以作驗算：

d dx

x C x

x

5 4

4

5

5 0

 

 

    

例 2 計算積分　 3



x dx²

解：此處要對 3x 作反微分 ( 或積分 ) 運算，其實就是例 1 的問題，只² 是符號不同。故

3x dx² x³ C



^ ^

其中，常數 C 稱為

積分常數

(constant of integration)。 

(3)

例 4 求　



t dt^³

解： t dt t t

C t C

   



³ ^ _{ }_{3 1}^{3 1} ^ _₂² ^{  } ₂¹² ^ ^

例 5 計算積分　 ¹ x dx



解：將 x 寫成 x^{1 2}^/ ，

1 1

x dx 1 2

x dx



^



^/

將被積分函數寫成 x 的乘冪得

x^ dx



^{1 2}^/

再應用反微分公式得積分為

x C

1 2

/

/  最後得

1 2 ^{1 2} 2

x dx x C x C



^ ^/ ^ ^或 ^ ^

(4)

例 6 計算　 (



x²  x^{3 2}^/ )dx

解： ( )

/

/ /

/

x x dx x dx x dx x x /

C x

x C

2 3 2 2 3 2

3 5 2 3

5 2

3 5 2 3

2

        5 

  

注意，雖然是有兩個個別的積分，但只要一個積分常數 ( )C ，因為兩

個常數的和也是常數，故不需有兩個常數。 

例 7 計算積分　 (



4x² 3x dx)

解：



(4x²  3x dx) 



4x dx² 



3xdx  4



x dx² 3



xdx

 4       3 3

2

4 3

3 2

3 2 3 2

x x

C x x

C 

(5)

例 8 計算積分　 7dx



解：



7dx ^ 7x ^ C

例 9 計算積分　 dx



解：



dx ^



¹dx ^{ }x C

例 10 計算積分　 5 3

4 6 x 2

x dx

 



 





解： 5 3

6 5 3

6 5 3 6

4

2

4

2

4 2

x x dx x dx

x dx dx x dx x dx dx

 



 

      

     

^



 

^       5

5

3

1 6 3

6

5 1

x x 5

x C x

x x C

(6)

例 11 求　 (



e^x  ³x dx)

解： (e x dx) e dx xdx e xdx e x

x   x   x   x  C



³

 

³ ³



³₂²

例 12 求　 t

t dt

 

 



¹

解： t

t dt tdt

t dt t

t C

 





     



¹

 

¹ ₂² ^{ln| |}

例 13 計算　 1 3 ³



_x ^x ^dx

解：可將被積分函數分成兩個分式再積分，

1 3 1 3 1

3

3 3

2 3

   

 

     



_x ^x ^dx



_x ^x_x ^dx



_x ^dx



^{x dx} ^{ln| |}^x ^x ^C

(7)

例 14 計算下列的積分：

(a) e dx



³^x ^{(b) e}



^²^x^dx ^{(c) e}



^0.02^x^dx ^{(d) 4}



^e^0.1^x^dx

解： (a) e dx³^x 1e³^x C



^ 3 ^

(b)



e^²^xdx ^ _¹₂ e^²^x ^{  }C ¹₂ e^²^x ^ C (c) e^0.02^xdx 1 e^0.02^x C e^0.02^x C

0 02 50



^ _. ^{ } ^

(d) 4 4 4 1

0 1 4 10 40

0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

e ^xdx e ^xdx e ^x C e ^x C e ^x C



^



^{ } _. ^{ } ⁽ ⁾ ^{ } ^

(8)

例 1 若 f ( )x  3x²  2x 1 及 f ( )2 14 ，求 f x( ) 。解： f x( ) 可由 f ( ) 的反微分運算求得，即x

f x x x dx

f x x x x C

( ) ( )

( )

  

   



³ ² ² ¹

3 2

接著應用 f ( )2 14 來求 C 值，其中 f ( )2 14 表示當 x  2 時 f x( )

 14 。在上式中代入 x  2 及 f x( )  14 得 14 2 2 2 14 10

4

3 2

   

 



C C

C 故 C 為 4 且函數為

f x( )  x³  x²  x 4

注意， C 值已定，故此函數稱為 f ( )x 的特定反導函數。 

6.2 　反微分的應用

(9)

例 2 若某曲線的斜率為 2x 且通過點 (3 , 11)，求其方程式。

解：因斜率為 2x ，故可寫成

dy

dx  2x 接下來

y 



²xdx^或y  x²  C

因曲線通過點 (3 , 11)，表示當 x  3 時 y  11。在上式中代入 x  3 及 y  11 得

11 3²  C　或　C  2 故曲線的方程式為

y  x²  2

(10)

例 3 火箭飛行

玩具火箭自地面以初速度 300 ft/sec 垂直向上發射，若重力加速度為

32 ft / sec ( 負號表加速度是向下的 )，² (a) 試求火箭發射 t 秒後的速度公式。

(b) 試求火箭發射 t 秒後的位移公式 ( 從地面算起 )。

解： (a) 由第三章已知加速度為速度的微分，亦即 a dv

 dt 因加速度已知等於 32，故

dv

dt  32 以反微分得 v 為

v   ( 32)dt　或　v  32t C

利用初速度等於 300 ft/sec 的條件可求出 C，此條件表示在 t  0 時 v  300 ，將此條件 ( ( )v 0  300) 代入 v  32t  C 可得

300  32 0( )C　或　300  C 故速度公式為

v  32t 300

(11)

(b) 同樣的由第三章知速度為位移的微分，亦即

v ds

 dt 又因 v  32t 300 ，故

ds

dt  32t 300 以反微分得 s 為

s   ( 32t 300)dt　或　s  16t² 300t C

因火箭是由地面開始向上發射，故在 t  0 時， s  0 ，將此條件 ( ( )s 0  0) 代入 s  16t²  300t C 可得

0  16 0( )² 300 0( ) C　或　C  0 故位移公式為

s  16t² 300t 

(12)

例 4 學習實驗

為了測試學習能力，某心理學家要人們記憶一長串的數字。假設記住數字的速率為

dy

dt 5 4. e^^0.3^t　每分鐘的字數

其中 y 為記住之數字的數目，又 t 為時間 ( 以分鐘計算 )。

(a) 求為 t 之函數的 y ，即 t 分鐘後記住之數字的數目。

(b) 5 分鐘後記住之數字為多少？

(13)

解： (a) 由

dy

dt 5 4. e^^0.3^t 以反微分得 y 為

y  e ^tdt  e ^tdt  e ^t C e ^t C

    

   



^{5 4}^. ^0.3 ^{5 4}^.



^0.3 ^{5 4}_{0 3}^._. ^0.3 ¹⁸ ^0.3

在開始時 (t  0 ，記住之數字的數目為零 () y  0 ，故 t  0 時) y  0 ，可得

0 18 0 18 1

18

0.3(0

  



e C

C C

)

( ) 記住之數字的數目 ( )y 為

y 18 18 e^^0.3^t 此函數的圖形示於圖 6-2 中。

(14)

(b) 在 5 分鐘 (t  5 後，記住之數字的數目為)

y e

e

 

 

 





18 18 18 18

18 18 0 2231 18 4 0158 14

0.3(5) 1 5.

( . ) .

在 5 分鐘後大約記住 14 個數字。 

(15)

6.3 　定積分：曲線下的面積

例 1 計算　 f x_i

i

( )



 1 3

假設 f x( )  x² ，而 x₁  ， x2 ₂  及 x3 ₃  。7 解： f x_i f x f x f x f f f

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



 ^ ^ ^ ^ ^ ^

1 3

1 2 3 2 3 7

 2² 3²  7²   4 9 49  62

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

例 2 求 f x( )  4 x² 、 x 軸、及垂直線 x  1 和 x  1 所界定之區域的近 似面積。

(a) 以 n  2 　　(b) 以 n  4 。 解： (a) 若 n  2 ，則

x b a

 n  1 1  2( ) 1 其矩形示於圖 6.11 中。

　　近似的面積為

A  f x x  f x x  f   f 

      

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

2 2

0 1 1 1 4 0 1 4 1 1 7

 

(24)

(b) 若 n  4 ，則

x b a

 n  1 1  4( ) 0 5

. 其矩形示於圖 6.12 中。

　　近似的面積為

A f x x f x x f x x f x x

f f f f

   

    

   



( ) ( ) ( ) ( )

( . )( . ) ( )( . ) ( . )( . ) ( )( . ) ( . )( . ) ( )( . ) ( . )( . ) ( )( . )

.

1 2 3 4

0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 1 0 5 3 75 0 5 4 0 5 3 75 0 5 3 0 5

7 25

   

當 n 值愈大時，近似值就愈接近正確。在下一節中會發現正確的 面積為 7 1

3 。 

(25)

6.4 　微積分基本定理

(26)

(27)

(28)

(29)

例 1 用微積分的基本定理計算　 x dx²

1



2

解：因 f x( )  x² 的反導函數為 F x( )  x³ / 3 ，故 x dx x

F x _a^b

2 1

2 3

1 2



^ ^_^ 3 ^_ 　　這是 [ ( )]

 ( )  ( ) 

( ) ( ) 2

3

1 3

3 3

　　這是 F b F a

  8 3

1 3

7

3 000000000000000000 例 2 計算定積分　 (5 3)

0 4

x  dx



解： ( ) ( )

( ) ( )

( )

5 3 5

2 3 5 4

2 3 4 5 0

2 3 0

0

4 2

0

4 2 2

x dx x

    x

 

   

 

   

 





 (40 12 )  (0 0) 52 例 3 積分　 (1 )

0

1 



^{e dt}^t

解： (1 ) [ ] (1 ) (0 ) 1 0 1 2

0 1

0

1 1 0

            



^{e dt}^t ^t ê^t ê ê ê ê

(30)

例 4 求曲線 y  x 下由 x  1 至 x  4 的面積。

解：圖 6.18 中的陰影面積為吾人所欲計算之面積。

曲線 y  ( ) 下由 x af x  至 x b 的面積為定積分 f x dx

a b



( ) 本例中， f x( )  x a, 1,b  4 。故 1

2 3 4 5

圖 6.18　 y  x 下由 x  1 至 x  4 的面積

面積    

 

  







          



1 ^xdx



^x ^dx ^x ^x

4 1 2

1

4 3 2

1 4

3 2 1 4

3 2 3 2

3 2

2 3 2

3 4 2

3 1 2

3 8 2

3 1 16 3

2 3

14 3

/

/ /

/

y  x 及 x 軸之間，在區間 [1 , 4] 的面積等於 14/3。

(31)

例 5 求曲線 y  1/ 下由 x  1 至 x  7 的面積。x 解： 1

7 1 7 0 7

1 7

x dx x



^^{[ln| |]} ^ ^ln ^^ln ^ ^ln ^{ } ^ln

(32)

6.5 　定積分的應用

例 1 自由落體

一球自具相當高度的熱氣球落下，若該球落下之速度為 v  32 ft / sect

0，試求該球前 4 秒移動的距離。 解：已知 v  32 ，因 vt ds

dt s t

  ( ) ，故

   s t( ) 32t

球從 t  0 到 t  4 的位移為 s( )4  s( )0 ，或

      



0^{s t dt}^{( )}



^tdt ^[ ^t ^]

4

0

4 2

0

32 16 4 256 ft

因距離等於位移的大小 ( 即位移的絕對值 )，故球在前 4 秒移動的距離為 256 ft。 ( 若熱氣球高度低於 256 ft，則球將在前 4 秒內撞擊到地

面 )。 

(33)

例 2 日本的石油消耗量

日本石油由 1 9 8 7 (t  0 至 1 9 9 2 () t  5 的消耗速率為 ) c t( )  0 08. t  1 64. ( 以每年十億桶計算 ) ，求 1 9 8 7 到 1 9 9 2 的石油總消耗量 ( 參見圖 6 .2 0 ) 。

解：函數 c t( )  0 08. t  1 64 為消耗速率 dc dt. / ，故消耗量 c t( ) 為 c t( ) 的反導函數。由 1 9 8 7 至 1 9 9 2 的石油總消耗量可由以下的定積分求得： 1

2 3 4 5 6

       



0^{c t dt}^{( )}



^{( .} ^t ^. ⁾^dt ^{[ .} ^t ^. ^t^] ^. ^. ^. ⁽ ⁾

5

0

5 2

0

0 08 1 64 0 04 1 64 5 1 0 8 2 9 2 　十億桶

石油的總消耗量為 9 2.  10  92 億桶。 

(34)

例 3 求 f x( )  3x²  4x 5 在區間 [1 , 3] 的平均值。

解：平均值為 1

3 1 3 4 5 1

2 3 4 5 1

2 2 5

2 1

3 2

1

3 3 2

1 3





⁽ ^x  ^x  ⁾^dx 



⁽ ^x  ^x  ⁾^dx  ^[^x  ^x  ^x^]

 1      

2[(27 18 15) (1 2 5)] 1600000  例 4 動脈中的血液流動

血液在動脈中流動時並不是以相同的速度流動，血液在血管中心區域的流動速度要比靠近管壁附近的流動速度快。事實上，血液在距離血 管中心 x 處的流動速度 v 可以表示成 x 的函數，例如，當血管半 徑為 0.2 公分，則速度函數為

v  40 990 x²

其中 x 的單位為公分，而速度的單位為公分 / 秒。請參閱圖 6.21，

並請求出血液在動脈流動的平均速度。

(35)

解：因 f x( ) 在區間 [ , ]a b 的平均值為

f b a f x dx

a

 b

¹



^{( )}

可知血液的平均速度 v 為

v x dx

x dx x x

  

   

   





1

0 2 0 40 990 1

0 2 40 990 5 40 330

5 40 0 2 330 0 2 40 0 330 0 26 8

2 0

0.2

2 0

0.2 3

0 0.2

3 3

. ( )

. ( ) [ ]

{[ ( . ) ( )( . ) ] [( )( ) ( )( ) ]}

. cm / sec

(36)

例 5 試問 f x( )  x² 在區間 [ , ]1 2 (a) 積分均值定理是否成立？

(b) 若 (a) 的答案是肯定的，試求 c 值。

故血液在動脈中流動的平均速度為 26.8 cm/sec。其中必須注意的是 x 的區間為 [0 , 0.2]，當 x  0 時代表血管的中心位置， x  0 2. 則代表 在血管的管壁，若血管的半徑與本例不同，則前述的速度函數 v  40

990x 也會不同。² 

(37)

解： (a) 因 f x( ) 為多項式函數，對於 x  ， f xR ( ) 均為連續，故積分均值定理成立。

(b) 由積分均值定理

f c b a f x dx

a b

( )  ( )

¹



得

c x dx x

c

2 2

1

2 3

1

2 3 3

1 2 1

1 3

2 1 3

7 3 7

3

21 3

     

   



因只有 21

3 在 ( , )1 2 區間內，故得 c  21

3 

(38)

例 6 試問 f x

( )  x1

在區間 [1 1 積分均值定理是否成立？, ] 解：因 f x

( )  1x

在 x  0 處 (0 ( 1 1, )) 不連續，故知 f x

( )  x1

在區間

[1 1 積分均值定理不成立。, ] 

例 7 若 f t( ) 為週期函數，其週期為 4，且 f t( ) 在第一週期內可表示成

f t t t

t t

( )    

   





1 0 2

3 2 4

(39)

4 1 2

-1

f t( )

t

圖 6.22

f 的函數圖形如圖 6.22

(a) 求 f 在 [0 , 4] 的平均值。

(b) 求 f 在 [0 , 4] 的均方根。

(40)

解： (a) 在 [0 , 4] 的平均值 f_av 為

f f t dt t dt t dt

t t

av 

      







  

 

   

 















  

 

   

 

   

 

   



  

1 4 0

1

4 1 3

1

4 2 3

2 1

4 2 2

2 0 0

2 3 4 4

2 3 2 2 2

0 4

0 2

2 4

2

0

2 2

2 4

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 















 1       4[0 0 ( 4) ( 4)] 0

(41)

(b) f 在 [0 , 4] 的均方根 f_rms 為

f f t dt

t dt t dt

t t dt t t dt

rms 











     















      









 

1 4 0 1

4 1 3

1

4 1 2 1

4 9 6

2 0

4 1 2

2 0

2 2

2

4 1 2

2 0

2 2

2

4 1 2

[ ( )]

( ) ( )

/

   

 

    

 















   

 

 



 

    

 

   

 





 











    

 

  

 

  1

4 3

1

4 9 3

3 1

4 2 4 8

3 0 1

4 36 48 64

3 18 12 8 3 1

4 2 3

1 4

2 3

1 3

2

3

0 2

2

3

2 4 1 2

1 2

1 2 1 2

t t t

/

/ /

1 3

3

 3

(42)

例 8 一彈簧的原始長度為 5 英呎。設 4 英磅的力能使彈簧伸長 ¹₄ 英呎。求出要伸長彈簧需作多少功：

(a) 若由原始長度到長 7 英呎 (b) 若由 6 英呎到 8 英呎

解：我們必須先求出常數 k，當 x  ¹₄ 呎，力為 4 磅，則由虎克定律我們得到

F kx

k k



  

4 磅 ¹₄ 呎　或　 16 磅呎/ 即 f x( )  kx  16x

(a) 彈簧由 x  0 ( 沒有伸展 ) 至 x  2 ( 由自然長度 5 呎到長 7 呎 ) W 



0¹⁶x dx  ⁸x  ³²

2 2

0

2 呎磅-

(b) 彈簧由 x  1 伸長至 x  3

W 



1¹⁶x dx  ⁸x  ^{8 9 1}  ⁶⁴

3 2

1

3 ( ) 呎磅- 

(43)

例 9 一高為 10.0 公尺半徑為 6.0 公尺的圓柱水槽蓄滿了水，求將水抽至離槽頂 5.0 公尺處所需作的功。

解：因為是鉛直運動，所以我們沿水槽邊緣分割 ( 如圖 6.23) 而得厚度為 dy 的代表性元件。這水槽被分割為許多小圓柱體，而代表性圓柱體 的體積為 ( )6 ²dy  36dy 。若水的密度為 1000 公斤公尺/ ³ ，則每一立方公尺的水重 10,000 牛頓，因此每一小圓柱體重為

10 000 36, ( dy)

(44)

例 10 有一半徑為 3.5 公尺，高為 7.0 公尺的圓錐槽 ( 頂點向下 )。若此圓錐槽注滿水，求將水由上方抽出所作的功。

參考圖 6.23 中的座標系，將每一小圓柱體移至槽上 5 公尺之距離為 15 y 公尺，所以所作的功為 10 000 36, ( dy)(15 y) 。我們將對所有小 圓柱體所作的功加起來可得總功，即由 y  0 至 y  10 積分：

W y dy y dy

y y

   

  

 



   



^{10 000 36} ¹⁵ ^{360 000}



¹⁵

360 000 15

2 3 6 10 11 10

0 10

2

0 10

7 8

, ( )( ) , ( )

,

. .

 



 焦耳 

(45)

解：我們將水槽細分為厚度為 dy 的小圓柱體 ( 圖 6.24)，當圓柱體的大 小改變時，主要的問題是如何以 y 來表示半徑 x。為了這個目的，我 們觀察圖 6.24 中的座標系，右邊的直線斜率為

m  7  3 5 2

. 所以直線的方程式為 y  2x

(46)

現在我們可以得下列各結果：

1. 小圓柱體的半徑： x  0 5. y 2. 小圓柱體的體積：( .0 5y dy)²

3. 小圓柱體的重量： [ ( .0 5y dy)² ] , 10 000, 牛頓立方公尺/ 每一個小圓柱體移動距離為 7  y ，所以所作的功為

 [ ( .0 5y dy)² ](7  y) 自 y  0 至 y  7 積分，可得總功：

W y y dy y y dy

y y

   

  

 

  

 



^ ^



 



( . ) ( ) ( . ) ( )

( . ) .

. , ,

0 5 7 0 5 7

0 5 7

3 4 0 25 7 12 157 145 1 571 450

2 0

7 2 2

0 7

2 3

4

0

7 4

焦耳 

(47)

6.6 　平面區域面積

(48)

(49)

例 1 試求在曲線 y  x² 1 與 y   2 間，由 x  1 至 x  2 之區域面積。x 解：該二函數之圖形及所要的區域如圖 6.31 所示。

很明顯的， y  x² 1 為較大的函數 ( 位於上方的曲線 ) ，故令 f x( )  x² 1 及 g x( )   2 ，則x

面積      

      

 



   





    





 

 





 

[ ( ) ( )] [( ) ( )]

( )

f x g x dx x x dx

x x dx x x

x

a

b 2

1 2

2 1

2 3 2

1 2

3 3 2 3

8

3 2 6 1 3

1

2 3 10 1 2

(50)

(51)

例 2 試求由曲線 y  x² 及 y  2 所圍成之區域面積。x

解： 本例並未給定 a 及 b ，但這兩條曲線相交並形成一封閉區域，因此 由曲線交點的 x 座標，即可得 a 與 b 的值，關於這一點，可由圖 形輕易地獲得理解。在圖 6.32 中陰影部份即為吾人所要的區域。

由圖 6.32 可觀察到

(a) y  2 為較大的函數 ( 位於上方的曲線 )，故令 f xx ( )  2 及x g x( )  x² 。

(b) 曲線 y  x² 與 y  2 的交點為 (0 , 0) 及 (2 , 4)，故積分之極限x 為 a  0 及 b  2 。

(52)

(53)

(c) 陰影部份之面積為

[(2 ) ( )] (2 )

3

4 3

2 0

2 2

0

2 2

3

0 2

x  x dx  x  x dx  x  x

 

 

 

(d) 在本例中，交點 (0 , 0) 及 (2 , 4) 同時在 y  x² 與 y  2 之圖形x 上，故可由下列聯立方程式求得 y x

y x







2

2 利用代入消去法得

x x

x x

x x

2 2

2

2 0 2 0 0 2



 

  ( )

,

當 x  0 時 y  0 ，而當 x  2 時， y  4 ，故得到上述之交點 (0 , 0)

及 (2 , 4)。 

(54)

例 3 試求由 y  x² 4x 3 與 x 軸所圍成之區域面積。

解：本例與前述例題略有不同，此因函數 y  x² 4x 3 的圖形部份係落 在 x 軸之下方，圖 6.33 中陰影部份即為吾人所要的區域。

由圖 6.33 中可以發現吾人所求的面積範圍是從 x  1 到 x  3 ，但因 x 軸 (y  0 在該區間為較大的函數，故令 f x) ( )  0 及 g x( )  x² 4x

3 ，吾人可得

(55)

面積        

   

 

 



^{[( )}⁰ ⁽ ⁴ ³^)]



⁽ ⁴ ³⁾

3 2 3 4

3

2 1

3 2

1 3

3

2

1 3

x x dx x x dx

x x x

在本例中的積分上下限 (x 1及 x  3) 可由代數方法求得，亦即由聯立 y  x² 4x 3 與 y  0 ，可得方程式 x² 4x   ，解之得 x  1 及3 0

x  3 。 

例 4 試求在 y  x² 4 與 x 軸間由 x  1 至 x  4 之區域面積。

解：若吾人未繪出函數圖形而直接以下式求面積，將得到錯誤的答案，

(x² )dx

1 4

4 9

 



^錯誤！

(56)

(57)

在圖 6.34 中，陰影部份為吾人所要的區域。從圖 6.34 中可以很明顯的看出來，利用上式計算出來的面積是錯的，因為該區域的面積是兩部份面積的和，第一部份 ( ( )f x  0, ( )g x  x² 4) 由 x  1 至 x  2 ， 第二部份 ( ( )f x  x² 4 , ( )g x  0 由 x)  2 到 x  4 ，故

面積      

   

  

 

   

 



  

 

   

 





 

   

 

   

 





 



  

 

[ ( )] [( ) ]

( ) ( )

0 4 4 0

4 4

4 3 3 4

8 8

3 4 1 3

64

3 16 8 3 8 5

3

32 3

37 3

2 1

2 2

2 4

2 1

2 2

2 4

3

1

2 3

2 4

x dx x dx

x x x

x



(58)

例 5 試求由 y  x³ 與 y  所圍成區域之面積。x 解：圖 6.35 中陰影部份為吾人所要的區域。

該區域實際上包括兩部份，左邊部份 x 由 1 至 0，且 y x ³ 為較 大函數，而右邊部份， x 由 0 至 1，且 y  為較大函數，故x

(59)

面積        

  

 

   

 

     

 

   

 

   

 





^[( ⁾ ^{( )]}



^{[( )} ⁽ ^)]



⁽ ⁾



⁽ ⁾

( ) ( )

x x dx x x dx x x dx x x dx

x x x x

3 1

0 3

0

1 3

1

0 3

0 1

4 2

1

0 2 4

0 1

4 2 2 4 0 0 1

4 1 2

1 2

1

4 0 0 1 2

同樣地， y  x³ 與 y  的交點可由下列聯立方程式求解，x y x y x







3

利用代入消去法得 x³  ，整理成 xx ³   或 x xx 0 ( ²   ，解之得1) 0

x  0 ， x  1 及 x  1 。 

(60)

6.7 　旋轉體體積

(61)

(62)

(63)

(64)

例 1 體　積

試求由 y  x ， x 軸， x  1 及 x  3 所界定的區域繞 x 軸旋轉所 形成之旋轉體體積。

解：由 y  x ， x 軸， x  1 及 x  3 所界定的區域如圖 6.41 所示，該 區域繞 x 軸旋轉所形成之旋轉體體積為

V y dx x dx xdx x

a

 b    

 



  





 



^



^ ^



^

 

2 2

1 3

1

3 2

1 3

2 9

2 1

2 4

[ ]

故該旋轉體體積為 4 立方單位。

(65)

(66)

例 2 體　積

試求由 y  x ，y 軸， y  0 及 y  2 所界定之區域繞 y 軸旋轉所成之 旋轉體體積。

解：由 y  x ，y 軸， y  0 及 y  2 所界定之區域如圖 6.42 所示，該區 域繞 y 軸旋轉所形成之旋轉體體積為

V x dy y dy

y

c

 d  

 

 

   

 

 



^



^

  

2 4

0 2

5

0

2 5 5

5

2 5

0 5

32 5 故該旋轉體體積為 32

5  立方單位。在本例中，x dy² 為微小圓柱體之 體積， x  y² 為半徑， dy 為厚度。

(67)

dy

x

x y  x

y y

2

0

y

x

圖 6.42　平面區域及對應之旋轉體 ( 繞 y 軸旋轉 )

(68)

(69)

(70)

(71)

例 3 體　積

試求由 y  x ，x 軸， x  1 及 x  3 所界定的區域繞 y 軸旋轉所形 成之旋轉體體積。

解：由 y  x ， x  1 及 x  3 所界定的區域如圖 6.47 所示，該區域繞 y 軸旋轉所形成之旋轉體體積為

V x x dx x dx x

x x

    



    



² ²



² ¹ ₁ ^

2 2 5

4 5

4

5 3 1

1

3 3 2

1 3

3 2

1 1 3

1 3

3 2

5 2

  

/

( )

故該旋轉體體積為 4

5(9 3  立方單位。1)

(72)

(73)

例 4 體　積

試求由 y    1 ，x 軸，y 軸所界定之區域繞 x 軸旋轉所形成之旋轉x 體體積。

解：由 y    1 ，x 軸，y 軸所界定之區域如圖 6.48 所示，該區域繞 x 軸x 旋轉所形成之旋轉體為一圓錐體，如圖 6.48 所示，此圓錐體之體積為

V yxdy y y dy

y y dy y y

c

 d  

    

 



  

 

   

 















  

 

   

 



2 2 1

2 2

2 3 2 1

2

0 2

1 3

0 3 2 1

2 1

3 2 1

6 3

0 1

2 0

1 2 3

0 1

2 2 3 3

 



  

( ) ( )

故該旋轉體體積為 

3 立方單位。

在本例中， 2yxdy 為一微小圓殼體之體積， 2y 為圓殼體之圓周長，

x 為高度， dy 為厚度。

(74)

(75)

例 5 體　積

試求 y  及 y xx  ² 所圍成之區域 ( 如圖 6.49 (a) ) 繞 x 軸旋轉所形成 之旋轉體體積。

解： (a) 採用圓柱體法 ( 參閱圖 6.49 (b) )：

V y y dx x x dx

x x dx x x

a

 b   

    

 



  

 

  

 













 

 



 

( ) [( ) ( ) ]

( )

1 2

2

2 2 2 2

0 1

2 4

0

1 3 5

0 1

3 3 5 5

3 5 1

3

0 3

1 5

0 5

2

15 　立方單位 (b) 採用圓殼法 ( 參閱圖 6.49 (c) )：

V y x x dy y y y dy

y y dy y y

c

 d   

    

 



  





 

 



2 2

2 2 2

5 3

2 2 5

1 3

2 15

1 2

0 1

2 0

1 3

0 1

3 2

5 2

 

( ) ( )

( )

　立方單位

(76)

(77)

6.8 　質　心

例 1 求如圖具有均勻密度  ^{之薄板的質心。}

(78)

解：首先我們將薄板分割成 I、II、III 三個矩形，如圖 6.51。個別的重心位置為 (1, ) , ( , )₂³ 2 3 和 ( ,1  ¹₂) 。令  為密度 ( 質量 / 單位面積 )，

因薄板的重量與面積成正比，則每單位面積的重量為 g 。如果矩形 面積分別為 10, 8, 2，則相對的重量為 10g ,8g ,2g 。而質心位置

( , )x y 的兩個座標可以分別求得。

注意個別重心的 x 座標為 1 , 2 和 1，則我們可得

x g

    g

  

[ ( ) ( ) ( )]

( )

1 10 2 8 1 2 10 8 2

2 5



相同地，個別重心的 y 座標為 ₂³ , 和 3 ¹₂ ，我們得到

y g

   g

[ (³₂ 10) 3 8( ) ( ¹₂)( )]2  20

19 10



 ^

(79)

(80)

(81)

例 2 求出由 y  4 2 及座標軸所圍成區域的質心座標 ( 圖 6.55)。x 解：為了求出 x ，我們確定代表性長方形對 y 軸的力矩為

x ydx  x(4 2x dx) 　力臂面積[  ] 由 x  0 至 x  2 積分，可得

M_y 



0 x⁽⁴  ²x dx⁾

2

因此

x M

A

x x dx x dx

 y  

    



( ) ( )

4 2

4 2 4

8 3

1 4

2 3

0 2

8 3

(82)

為了求出 y ，我們先求代表性長方形對 x 軸所產生的力矩，由圖 6.56 1

2

1

2 4 2 4 2

y ydx  (  x)(  x dx) 　力臂面積[  ] 由 x  0 至 x  2 積分，可得

M_x 



0 ₂¹ ⁴  ²x ⁴ ²x dx

2

( )( ) 將其代入，則

y M A

x x dx

 x   

  

   



1

2 4 2 4 2 4

1

8 16 16 4 8

32 3

1 8

4 3

0 2

2 0

2

32 3

( )( )

( )

我們也可將代表性長方形置於水平位置求出 y ( 圖 6.57)。代表性長方 形對 x 軸的力矩可被表示為

(83)

y xdy  y 1  y dy 

2 (4 ) 　力臂面積[ ] 因積分在 y 軸上的上下限為自 y  0 至 y  4 ，可得

y M A

y y dy

 x   



₂¹ ⁴  4

4 3

0 4

( )

(84)

例 3 求 y  4x² 和 y  8 所圍成區域的質心。x 解：由圖 6.58，求 x 。

x M

A

x x x dx x x dx

 y  

  



( )

8 4 8 4

1

2 0

2

2 0

2

16 3 16

3

由圖 6.59，求 y

y M

A

y y y dy A

 x  

 



0 ⁽²¹ ¹⁸ ⁾ 16

512 15 16 3

32 5

(85)

(86)

例 4 求出由 x²  2y 及 y   4 在第一象限所圍成區域的質心。x 1

2 3 4 5 6 7

圖 6.60

解：在求解已知聯立方程式後，可知兩曲線在第一象限的交點座標為 (4 , 8)。厚度為 dx 的代表性長方形有 (x  4)  ₂¹ x² 的長度，而力臂長為 x。我們將在 [0 , 4] 區間內的力矩相加起來得到

(87)

M x x x dx

x x x dx

x x x dx

y   

   

    



[( ) ]

( )

4

4 64 3

1 2

2 0

4

1 2

2 0

4

1 2

3 2

0 4

計算 M_x 需要多注意一些：因有 x 軸圍在下方所形成之區域的代表性 長方形的質心為 ( ,x ¹₂ y) 。而這問題中的區域是由兩個方程式所圍 成，則代表性長方形之質心的 y 座標是此長方形上下兩端縱座標的算 術平均數，也就是

(x 4)  x 2

1 2

2

因此代表性長方形對 x 軸的力矩是

1 2

2 1

2 2 1

2

2 1

2

2 2 1

8

4 1

2 2

4 4

4

4 8

[( ) ][( ) ] [( ) ( ) ]

x x x x dx

x x dx

x x x

   

  

     　

(88)

累加後，可得

M_x 



0 ⁽ ⁸¹ x⁴  ¹² x²  x  ⁾dx 

4

4 8 736 15 面積 A 可以很容易求得

A 



0 ⁽ ¹² x²  x ⁾dx 

4

4 40 3 因此

x M

A

 y  64   3

3 40

8 5 和

y M

A

 x  736   15

3 40

92

25 

(89)

(90)

例 5 求出由 y  4 x² 與座標軸所圍成在第一象限部份的區域對 x 軸旋轉 所得旋轉體的質心。( 圖 6.62)。

(91)

解：代表性圓柱體的體積為

 ( 半徑 )² ( 厚度 ) (4  x^{2 2}) dx 而對 y 軸所產生的力矩為

x (4  x^{2 2}) dx  x(4  x^{2 2}) dx 由 x  0 積分到 x  2 可得

M_y ^



0 x⁽⁴  x^{2 2}⁾ dx  ³²₃^

2

因為

V  ^



0 ⁽⁴  x^{2 2}⁾ dx  ²⁵⁶₁₅^

2

故

x M

V

 y  32   3

15 256

5 8



 由於對稱性， y  0 。

(92)

(93)

6.1 反微分

6.1 反微分











積分常數

















  

























     







 







 































6.2 反微分的應用







6.3 定積分：曲線下的面積





6.4 微積分基本定理





















6.5 定積分的應用

















6.1 　反微分

6.1 　反微分

6.2 　反微分的應用

6.3 　定積分：曲線下的面積

6.4 　微積分基本定理

6.5 　定積分的應用

6.6 　平面區域面積

6.7 　旋轉體體積

6.8 　質　心

6.9 　慣性矩