上一章中，主要利用有限控制容積法，來解決各種不同的流體力學問 題，因為這種方法並不需要知道在控制容積中壓力與速度變化的詳細資 料，因此可以說是十分常用且有效的方法。通常只需要知道在控制容積表面上 的狀態，就可以在沒有流動區域詳細資料下，求得問題的解答。但是不幸的 是，在許多情況下取得流動的詳細資料是很重要的，而若利用控制容積法就無 法得到這些想要的資料，例如，當我們需要知道在管截面處的流體速度變化，
或是沿飛機機翼表面的壓力與剪應力變化時，在這種情形下，就需要推導出在 一個給定流動區域中，某個點或是一個極小區域（無限小的容積）的關係式，
由於我們是利用一個無限小控制容積來做推導，因此與有限控制容積不同，此 推導過程是利用微分解析（differential analysis）的方法，因此推導出的統御方 程式亦稱為微分方程式。
我們藉由重新檢視及延續第 4 章中部份有關於流體運動學的概念，來開始 本章對於微分解析的介紹，並依此理論背景於本章後段推導出基本微分方程式
（以質量守恆方程式與牛頓第二定律作為基礎）及一些運用。
流體流動的微分解析
Differential Analysis of Fluid Flow
流體流經斜板的流動：有一個二維物體放置在兩個間距緊密的平板間（Hele-Shaw cell）秖當黏性流體緩慢流 經此二維物體時秖其流線將近似於無黏性、無旋轉（勢流）的流動。（染料在間距 1 mm 的兩玻璃板間的水 中軌跡；圖片授權 D. H. Peregrine.）
6
CHAPTER
在
在本節中，我們將探討流體元素在流場中運動的數學模式，如圖 6.1 所表 示，流體以一個小立方體的外型，在極短時間 t 內由某一點位置移動到另一點 位置去。因為流動區域的速度變化相當複雜，所以流體元素不只會移動至另一 個位置，它的體積也會改變（線性變形）、本身也會旋轉且元素形狀也會改變
（角變形），雖然元素的運動與變形是同時盹生的，但是在圖 6.1 中，我們則是 將它們分別繪製表現出來。由於元素的運動與變形和流場的速度與速度變化的 關係極為密切，所以我們需要將速度與加速度場的形式再簡單回顧一下。
6.1.1 粢度及加粢度場
如同我們在 4.1 節中對速度場的探討，流場區域中任一點在任一時間的速 度 V 均可以被詳細描述，因此在直角座標系統中，流場質點的速度可以被表示 為
V（x, y,z, t），即代表質點在座標位置為 x、y 與 z 且時間為 t 時的速度，在 4.1.1 節中，我們將上述表示流體運動的方式稱為歐拉法（Eulerian method）。因此，
也可以很容易將速度以三個直角分量表示如下
其中 u、 與 w 分別為速度在 x 、 y 與 z 三個方向上的分量，而 、 與 則為 相對應方向的單位向量，理所當然的，這三個速度分量通常也為 x、y、z 及 t 的 函數。使用微分解析的其中一個目的，便是要找出在特定問題下，各速度分量 與 x、y、z 及 t 的關係式。
由以上的速度場表示方式，流場質點的加速度也與 4.2.1 節對加速度的描述 方式相同，可以表示為
6.1 流體元素運動學
Fluid Element Kinematics
（6.1）
（6.2）
圖 6.1 流體元素的運動與變形。
6.1 流體元素運動學 197
如以各分量來表示：
加速度也可以簡單的表示為
其中，上式的運算因子為
上式稱為實質導數（material derivative）或物質導數（substantial derivative），如 果以向量的形式來表示，則可以表示為
方程式中的 為第 2 章所介紹的梯度運算式，亦即
經由在下一節的討論，我們可以得到流體元素的運動與變形是取決於速度場，
而流體運動與受力之間的關係，則是取決於加速度場。
6.1.2 粢性粢動粢粢形
在流體元素的運動中，最簡單的形式就是如圖 6.2 中所示的移動，在圖 中，一個質點在極短時間 t 內由點 O 移動至點 O ，如果元素內所有的點具有 相同的速度（亦即沒有速度梯度的存在），則元素僅會單純的由一個位置移動至 另一個位置，如果元素中有速度梯度的存在，元素將會盹生變形或是旋轉。例 如，一個邊長分別為 x、y 及 z 的立方體（如圖 6.3 a 所示），具有單一的速 度梯度 u x，如果在 O 點與 B 點的 x 方向速度分量為 u，則在 A 點與 C 點附 近的 x 方向速度分量應為 u u xx，這項速度的變化，是由於元素的拉伸 而造成原長度產生 u xxt 的改變，也就是在極短時間 t 內，OA 與 BC
（6.3a）
（6.3b）
（6.3c）
（6.4）
（6.5）
（6.6）
（6.7）
將被拉伸為OA 與 BC（如圖 6.3 b 所示），因此原始體積V x y z 會有所 改變，而改變的大小可以表示為
V 的體積改變量
由速度梯度 u x 所造成的每單位體積下體積V 變化率為
如果速度梯度 y 與 w z 也同時出現，我們使用相同的分析方式，可以得 到以下的通用型式
方程式中，單位體積下的體積變化率我們亦稱為銦積膨脹率（volumetric dilata- tion rate），因此可以得知，元素在流場中由某一個位置移動另一個位置時，流 體的體積將可能產生變化。在不可壓縮流（incompressible fluid）中，由於流體 的密度將不會改變（元素的質量必須維持守恆），因此體積膨脹率將會為零。導 數 u x、 y 與 w z 分別表示為沿速度方向上的速度變化，並會造成元素 的線性變化（linear deformation），但是元素的形狀並不會改變。交叉導數（如 u y、 x）會造成元素旋轉，並且也會盹生角變形（angular deformation），
圖 6.3 流 體 元 素 的 線 性 變
（6.8）
（6.9）
圖 6.2 流體元素的平移。
6.1 流體元素運動學 199
進而使得元素的形狀隨之改變。
6.1.3 粢粢動粢粢形
為了簡化推導過程，我們假設運動是盹生在 x y 平面上，但是所得的結 果依舊可以容易的延伸至其它更多的通用狀況上。因為速度改變所造成的旋轉 與角變形，繪置於圖 6.4 a 中，因此，在一個極短時間t 內，線段 OA 與 OB 將 會以 與 的角度，旋轉至 OA 與 OB 這兩個新的位置（如圖 6.4 b），則線 OA 的角速度 OA可以定義為
如果角度不是很大，則
因此
如果 x 的值為正， OA的方向將會是逆時針方向。相同的，線 OB 的角速度 OB將可以定義為
且
因此
圖 6.4 流 體 元 素 的 角 變
（6.10）
（6.11）
如果 u y 的值為正， OB的方向將會是順時針。由於線 OA 與線 OB 1彼此互 相垂直，取這兩條線的角速度（ OA與 OB）平均值，便可以定義出流體元素在 z 軸的旋轉值 z。假設以逆時針方向旋轉視為正值，可以得到
利用相同的方式，可以導出流體元素在另外兩個軸的旋轉，因此元素對 x 軸旋轉的值為
元素對 y 軸旋轉的值為
把三個旋轉分量 x、 y及 z以向量形式組合，旋轉向量可以表示為
從上式的結果可以盹現， 的值為速度向量取旋度的二分之一，因此
由向量運算子 V 的定義，可以表示為
渦度（vorticity；）則是為旋轉向量的兩倍，亦即
利用渦度來描述流體旋轉特性的目的，主要是為了要消去旋轉向量式中的（ ） 這個係數。
由 6.12 式中我們可以得知，如果流體元素要對 z 軸旋轉且不會盹生變形時
（也就是 OA OB），則必須滿足 u y x，否則旋轉過程中會盹生 角變形。我們也可以由 6.12 式盹現，當 u y x 時，元素繞 z 軸的旋轉
（6.12）
（6.13）
（6.14）
（6.15）
（6.16）
1對於 z的定義秖我們也可以視 z為 OA 與 OB 夾角平分線的角速度。
（6.17）
6.1 流體元素運動學 201
將會為零，也就是說若 V 0 時，則流場的旋轉值將為零（渦度也將一 樣），此種流場將被稱之為無旋迾（irrotational）。在 6.4 節中我們將討論，利用 無旋轉的條件，可以將複雜的流場區域加以大幅度的簡化，這個概念將會在 6.4
E
XAMPLE 例題 6.1在一個已知的二維流場中，其速度方程式如下
請問此流動是否為無旋轉流？
解答
由於在無旋轉流動下，旋轉向量 的各個分量（6.12 式、6.1式與 6.14 式）均必須為 為零，由給定的速度場可以得到
因此
所以，此二維流場為無旋轉流。
必須注意的是，流體在二維流場（流動是在 x y 平面中，因此 0）流動 時， x 與 y 一定會為零，主要因為二維流動中速度分量 u 及 均不是 z 的函數所 致。在本題中，由於流場之所以為無旋轉流，也可以簡單的說是因為 z 0 或 x
u y 所致。（在圖 6.4 中，如果線 OA 與 OB 以同樣速度旋轉但是方向相反，則流 體元素將不會旋轉）。
（Ans）
節中充分加以證實。
由圖 6.4 b 可以盹現，導函數 u y 與 x 會造成元素盹生角變形
（angular deformation），因此，元素在旋轉時，轉這兩個導函數也同時存在時，
將會造成元素盹生形狀改變。在圖 6.4 b 中，原本角變形由線 OA 與線 OB 所夾 成的直角開始盹生變化，接著我們將以剪應變 來表示。
假設當 為正值時，表示角度是由原來的直角開始減少，且 的變化率，也 就是剪應變率（rate of shearing strain）或角變化率（rate of angular deforma- tion），若以符號 表示，則經由 6.10 式與 6.11 式，可以將 與 及速度梯 度關係式表示為
所以
由於角變形變化率與其所對應的剪應力有關，故我們將在 6.7 節中探討，並可 以瞭解這將造成元素盹生形狀改變。由 6.18 式中得知，如果 u y x 時，角變形率將會等於零，則表示這個流體元素僅會盹生簡單的旋轉，而不會 有形狀的改變。在總結與學習指南中，我們可以盹現運動學上不同的關係式，
不僅主導了流體的運動狀況，也在本節的推導過程中及未來的微分方程式的分
（6.18）
如同在 5.2 節中的討論，質量守恆是指一個系統流經流場時，系統的質量 必須維持不變，如果以方程式來表示這個定律，即為
由於我們可以盹現，利用控制容積法來處理流體流動的問題較為方便，因此以 控制容積的方式來表示質量守恆定律，則可以改寫為
這個方程式就是我們常稱的連續方程式（continuity equation），將可以應用在有 限控制容積（cv）上。在 6.19 式等號左邊的第一項，表示在控制容積內質量的 增加率，其他項則是表示流經控制容積表面的質量淨流率（流出的質量流率－
流入的質量流率），如果將 6.19 式應用在一個無限小的控制容積上，便可得到 連續方程式的微分形式。
6.2 質量守恆
Conservation of Mass
（6.19）
6.2 質量守恆 203
6.2.1 粢粢方粢式的微分形式
如圖 6.5 a 所示，我們選取一個小且靜止的立方體元素做為控制容積，流體 在元素中心點位置的密度為 ，且元素的速度分量為 u、 與 w，由於元素很 小，因此可以將 6.19 式中的體積分部分表示為
為了要求出流體流經元素表面的質量流率，我們可以將每一個沿座標方向的流 動分開來表示，例如流體在 x 方向上的流動就描述在圖 6.5 b 中。如果以 u 來 表示在元素中心，每單位面積質量流率在 x 方向上的分量，則在元素的右側表 面上
在元素的左側表面上
接著我們把 u 利用泰勒級數來展開，並且忽略掉高階的項，如 x2、x3… 等等，把 6.21 式與 6.22 式中等號的右側乘以面積y z，如圖 6.5 b 中所示，即 可以得到流經元素左右兩側表面的質量流率。再將這兩個表示式加以合併，便 可以把流經元素兩側表面的淨質量流率表示如下
為了簡化問題的複雜性，在圖 6.5 b 中只有考慮 x 方向上的流動，但是在一
圖 6.5 推導質量 守恆方程式所用的 微分元素。
（6.20）
（6.21）
（6.22）
x 方向的 質量淨流出率
（6.23）
般狀況下，流體亦會在在 y 與 z 方向上流動，如同在分析 x 方向上的流動一 樣，可以得到
以及
最後可以得到
因此由 6.19式、6.20 式與 6.26 式，我們可以將質量守恆的微分方程式表示如下
在前面我們曾經提過，上式也可以稱為連續方程式。
在流體力學中，連續方程式是一個非常基本的方程式，而且可以表示為 6.27 式，無論是穩態流與非穩態流、可壓縮流或不可壓縮流均可以適用。我們 也可將 6.27 式以向量形式來表示，可得
有兩種特殊情形我們比較特別有興趣，一是可壓縮流體的穩態流動，可以得到
或
在穩態流動下，流體的密度 將不是時間的函數，但是可能會是位置的函數。
至於在不可壓縮（incompressible）流體流動下， 在整個流場中將會保持不 變，因此 6.28 式可以改寫為
或
在不可壓縮流體流動中，6.31 式均可適用在穩態與非穩態流動。在 6.9 式中，
y 方向的質量淨出率 （6.24）
z 方向的質量淨出率 （6.25）
質量淨流出率 （6.26）
（6.27）
（6.28）
（6.29）
（6.30）
（6.31）
6.2 質量守恆 205
如果我們設定體積膨脹率為零，則所得結果將會與 6.31 式相同，這樣的結果並 不需要驚訝，因為這兩個數學關係式，均是以不可壓縮流壓的質量守恆為基礎 所得到。
6.2.2 圓柱座標系粢
在某些問題的探討中，有時對於關係式的描述，使用圓柱座標將會比卡氏 座標來得方便。如圖 6.6 所表示，點在圓柱座標中的位置，可以經由 r、 與 z 這三個座標標示，其中，r 表示為與 z 軸的徑向距離 表示為與 x 軸的夾角（取 逆時針方向為正值），z 則是在 z 軸上的座標。圖 6.6 中的速度分量分別為， r 表示徑向速度、 表示切向速度與 z則代是在 z 軸的軸向速度。因此，對於在 任一點 P 的速度可以表示如下
如圖 6.6 中所示，上式中 r、 與 z分別表示是在 r、 與 z 方向上的單位向 量。當我們所要探討的流動系統邊界形狀為圓柱時，這時使用圓柱座標系統將 是極為方便的，在接下來的章節中，我們將以一些範例來說明如何使用圓柱座 標系統。
在圓柱座標系統下，連續方程式的微分形式可以表示為
這個方程式可以利用在之前同樣的推導過程加以推導，在可壓縮流體穩態流動 時為
在不可壓縮流體（穩態或非穩態流動）時為
（6.32）
圖 6.6 在圓柱極座標中速度分量的表示法。
（6.33）
（6.34）
6.2.3 流粢函數
在流體流動型態中，不可壓縮、平面、二維穩態流動是一個簡單但是實際 上很重要的流動形式。流體在二維平面的流動時，只會有兩個速度分量，因此 當考慮流體在 x y 平面的流動時，只會有兩個速度分量 u 與 。所以此類型流 動的連續方程式可以由 6.31 式簡化成 6.36 式
在上式中仍有兩個變數 u 與 要處理，但是藉由 6.36 式應該還有其他特殊方法 可以找出它們的關係。所以我們定義出一個流輛函數（stream function），而此 流線函數x, y 與速度間的關係式如下
並且可以同時滿足連續方程式。
因此，如果利用流線函數來表示速度分量，也將可以滿足質量守恆。不 過，對於某些特定問題我們仍然不知道x, y 函數的形式，但至少可以將兩個 速度未知數函數 ux, y 與 x, y，簡化成為只有一個未知數函數的流線函數
x, y。
使用流線函數的另一個特殊的優點就是，沿著流線流動時流線函數 將保 持為定值，回想在 4.1.4 節中所指出的，流場中流線會與速度向量保持相切（如 圖 6.7 中所示），因此，由此流線的定義可以知道，任意一點沿流線的斜率應為
所以由某一點（x, y）移動至鄰近點（x dx, y dy）時，流線函數 的變化關
（6.35）
（6.36）
（6.37）
y
x u
y
x V
圖 6.7 沿流線的速度和速度分量。
6.2 質量守恆 207
係式可以表示如下
當 d 0 時，亦即流動是沿著一條 為常數的線運動時，可以得到
因此流動是沿著一條 為常數的線運動時
上式即為定義流線的方程式。因此，我們如果已經知道流場的流線函數 x, y
，再以 為常數將流線圖描繪出來，將有助於把流場流動形式變成可視化，由 於給定一個 值便可以繪製出一條流線，因此在一個流場中將可描繪出無限多 條的流線。
對於某一特定流線，它的 值並不具有特別的意義，但是 值的變化量則 會與體積流率有關。在圖 6.8 a 中，流場內有兩條緊靠的流線，在下方的流線我 們定義為 ，在上方的流線則定義為 d。由於速度向量會相切於流線，因 此流動將無法跨越流線，且假設 dq 為流動流經兩流線間的體積流率（垂直 x y 平面方向上取單位厚度），因此由質量守恆定律可以知道，流入兩流線間任意表 面 AC（如圖 6.8 a 所表示）之流量，應該要與流出面 AB 與面 BC 的淨流量相 等，所以
如果以流線函數來表示，則可以得到
在 6.38 式中，等號右邊的兩項和與 d 相等，所以
圖 6.8 介於兩流線間 的流動。
（6.38）
（6.39）
因此，在圖 6.8 b 中，兩條流線1與2間的體積流率 q，可以利用積分 6.39 式 求得
如果上方流線的2 值比下方流線的1 值來的大，也就是 q 將會為正值，這代 表著流動方向是由左至右，但是當12，則是表示流動方向將由右至左。
在圓柱座標中，不可壓縮二維平面流動的連續方程式（6.35 式），可以簡化 為
而其中的速度分量 r與 與流線函數r, 間的關係式為
將上式取代 6.41 式中的速度分量，可以盹現連續方程式仍然會被滿足。而此流 線函數的觀念，將可以延伸應用在軸對稱的流動中（例如，在管內的流動或是 繞旋轉物體的流動），以及二維可壓縮流中，但是，這種概念並不能應用在一般 的三維流動中。
（6.40）
（6.41）
（6.42）
E
XAMPLE 例題 6.2在一個二維不可壓縮穩態流場中，其速度分量為
試求出相對應的流線函數，然後在草圖上描繪出一些流線，並且在這些流線上標示出 流動的方向。
解答
由 6.37 式的流線函數定義，可以得到
與
將第一個式子加以積分，可以得到
其中 f1x 為一個任意的 x 函數，相同的，由第二個式子
其中 f2y 為一個任意的 y 函數。為了滿足上述二式必須相等，因此可以得知流線函數 應該為
上式中的 C 為一個任意常數。
因為速度是相關於流線函數的導函數，因此，我們可以將任意一個常數加到流線 函數中，也不會對流線函數有所影響。通常為了簡化問題，我們會假設 C 0，因此 在這個範例中的流線函數可以表示為
以上的兩個答案均可以被接受。
現在，我們可以利用設定 常數，來描繪出代表流線的曲線。由上式（即 C 0）
中 的表示式可以盹現， 在原點的 值應為零，所以通過原點的流線（即當 0 的流線）為
或
其它的流線可以藉由給定 不同的常數而得到，由第一個式子可以得到，當 0 時 的流線表示式為
我們可以看出上式為一個雙曲線型方程式，因此，所描繪出的流線將是一群雙曲線，
6.2 質量守恆 209
（Ans）
（1） （Ans）
圖 E 6.2
我們可以經由線動量方程式，來推導出線動量方程式的微分形式
方程式中，F 為作用在流體質量上的合力，P 則為線動量，而其定義如下
運算因子 D Dt 則是一實質導函數（見 4.2.1 節），經由上一章中的推導示 範，我們可以將 6.43 式表示為
上式將可以應用在不同類型流動問題的有限控制容積上。接著將 6.43 式應用在 組成質量 m 的微分系統，或是將 6.44 式應用在一個無限小的控制容積 V 中
（此控制容積初始時內部的質量為 m），便可以得到線動量方程式的微分形式。
將 6.43 式應用在微分質量m 上，可以得到
方程式中，F 為作用在 m 上的合力，因為是使用系統近似的方法，m 將可被 視為一個定值，接下來的推導將會變的比較簡單，所以使用系統近似的方法，
上式可以簡化為
方程式中，DVDt 即是元素的加速度 a，因此
而 0 的流線則是漸近線，我們將一些流線描繪在圖 E 6.2 中。由於我們可以計算 出在任何一點上的速度，所以，在沿著一條給定流線上的流動方向，將可以簡單的推 斷出來。例如 x 4x，因此當 x 0 時則 0，或著 x 0 時則 0，
所以可以將所找出的流動方向標示在圖 E 6.2 中。
6.3 線動量守恆
Conservation of Linear Momentum
（6.43）
（6.44）
控制 容積內涵
（6.45）
6.3 線動量守恆 211
上式很明顯的就是應用在質量 m 上的牛頓第二定律，當把 6.44 式應用在無限 小的控制容積上，也可以得到相同的結果（見參考文獻 1）。在繼續進行探討 前，我們有必須要檢視如何才可以使得力F 能以更方便的方式來表示。
6.3.1 對於作用在微分元粢上的力之描述
一般而言，有兩種形式的力需要考量：一是表面力（surface force）：作用 在微分元素表面上的力；二是物體力（body force）：散佈在整個元素上的力。
依我們的目的，我們唯一有興趣的物體力 Fb 即是元素的重量，因此可以表示 為
方程式中，g 為重力加速度的向量式，如果以分量來表示
方程式中，gx、gy與 gz分別代表在 x 、 y 與 z 方向上重力加速度的分量。
作用於在元素上的表面力，是由於元素與週遭的相互作用的結果。如圖 6.9 中所表示，在任意位置的流體質量上，力作用在具有微小面積 A 的任意表面 上，我們稱這種力為表面力 Fs。就一般而言，Fs 與表面之間是傾斜的， 力
Fs 可以分解為三個分量 Fn、F1 與 F2，其中 Fn 會與面 A 相互垂直，而
F1 與 F2 則是均與面 A 平行，且兩者之間相互正交，所以，正向應力（nor- mal stress；n）可以定義為
剪應力（shearing stress）可以定義為
（6.46）
（6.47a）
（6.47b）
（6.47c）
圖 6.9 作用在任意微分面積的力的分量。
Fn
Fs
F1
F2
任意表面
A
與
我們將使用 來代表正向應力、 則代表為剪應力，因此，物體中某一點 所受到的單位面積作用力，在面的方向已被指定下，便可以用一個正向應力與 兩個剪應力來表示這個力的特性，為了分析方便的目的，我們通常會把作用面 與座標系統相對應。例如，在圖 6.10 的直角座標系統中，我們選擇應力的作用 平面會與座標軸平面平行，因此，在圖 6.10 a 的面 ABCD 會與 y z 平面平 行，所以，正向應力可以標示為 xx，剪應力則標示為 xy 與xz。為了簡化應力 分量的標示，前述中我們使用兩個下標來標示應力，第一個下標代表應力所作 用平面的法向方向，第二個下標則代表應力的方向，因此，正向應力的兩個下 標一定會重複，而剪應力的兩個下標必定不會相同。
應力的正、負號的建立也是非常有必要的，如果作用表面對外的法向是在 正的座標軸方向，則應力的方向是在表面上正的座標軸方向時，將定義此應力 為正。如圖 6.10 a 中所表示，面 ABCD 朝外的法向是在正 x 軸方向上，因此，
圖 6.10 a 中的 xx、xy 與 xz 的方向均為正，反之，如圖 6.10 b 中所表示，面 ABCD 朝外的法向是在負 x 軸方向上，則應力的方向是在負的座標軸方向 時，應力將會為正，因此，圖 6.10 b 中xx、xy與xz的方向均為正。要特別說 明的是，這些方向為正的正向應力，就是所謂的拉伸應力，這種應力會對材料 有拉伸的作用。
要特別強調的是，應力在物質上某一點的狀態，並不能以「應力向量」簡 化成三個分量來定義，這是因為應力向量是由應力通過點所在的平面方向來決 定。無論如何，作用在任何平面上某一點的應力，可以被分成為正向應力與剪 應力，並且可以利用經過此作用點的三個正交平面的來表示這些應力（參考文 獻 2 ）。
圖 6.10 應 力 的 雙 下 標 符
6.3 線動量守恆 213
現在，我們可以將作用在一個小立方體流體元素上的表面力，以作用在此 元素表面上的應力來表示（如圖 6.11 中所表示），一般而言，在流場中的這些 應力由某一點移至另一點時，應力將會隨之改變。因此，為了表示出作用在各 個不同表面的應力，我們會以相對於座標軸方向，作用在元素中心的應力以及 其梯度來表示。為了要能清楚表示，僅在圖 6.11 中標示出 x 方向的應力。由於 應力乘以作用面的面積可以得到作用在平面的力，因此將所有 x 方向的力相加 取其合力，可以得到
上式所得即為表面力在 x 方向上的合力，利用相同的方法，也可以推導出表面 力在 y 與 z 方向上的合力，可以表示為
以及
因此，表面力的合力將可以表示為
再將此表面力與物體力 Fb 合併，便可以得到作用在微分質量 m 上的合力
F，也就是 F FsFb
圖 6.11 作用在流體元素 x 方向的表面力。
（6.48a）
（6.48b）
（6.48c）
（6.49）
6.3.2 粢動方粢式
上一節中物體力與表面力的表示式，現在可以與 6.45 式結合在一起，以便 推導出我們所要的運動方程式。將 6.45 式的以分量型式來表示，可以得到
其中m x y z，由 6.3 式可以得到加速度的分量，而作用在元素上的力則 可以由 6.47 式與 6.48 式得到，接著可以整理成
其中元素的體積x y z 已被消去。
6.50 式即為流體通用的運動微分方程式。事實上，這些方程式可以應用在 任何連體（固體或流體）的運動中或其他情形下。無論如何，在我們使用這些 方程式去求解特定問題前，必須要獲得有關於應力的附加資料，否則，我們的 未知數（所有的應力、速度及密度）的個數將會多於方程式的個數。所以對於 流體運動在微分分析的複雜性，並不需要太過驚訝，我們將試著詳細描述複雜 的流體運動。
（6.50b）
（6.50c）
（6.50a）
6.4 非黏性流
Inviscid Flow
如同在 1.6 節中討論，在流動的流體中之所以會盹展出的剪應力，主要是 因為流體本身的黏滯性。由於對於一些我們常見的流體（例如空氣和水）來 說，它們黏滯性並不大，因此，在某些狀況下，我們假設黏滯性的影響或是剪 應力是可以被忽略的，這種假設似乎是合理的，所以，在剪應力可以被忽略的 流場，也稱之為無黏性（inviscid 或 nonviscous）或無摩擦（frictionless）流 動，這些名詞是可以互相交換使用的。如同在 2.1 節中的討論，流體內如果沒 有剪應力的存在，則在任意一點的正向應力會與方向無關，也就是 xx yy
6.4 非黏性流 215
zz，在這種情形下，我們定義壓力 p 與負方向的正向應力相等，可以得到
壓力 p 之所以要加負號，是因為在壓縮正向應力下壓力應為正值。
在第 3 章中，我們利用到無黏性流的觀念，來推導出柏努利方程式，並且 討論過這個重要的方程在不同情形下的應用。在本節中，我們將再次討論柏努 利方程式，並展示柏努利方程式如何由無黏性流的運動方程式推導出來。
6.4.1 歐拉粢動方粢式
在無黏性流動中，所有的剪應力為均為零，並且正向應力可以被 p 所取 代，因此，6.50 式的運動方程式可以被簡化為
上述的方程式就是我們通稱的歐拉邯動方程式（Euler,
s equations of motion）， 方程式是以瑞士數學家 Leonhard Euler 的名字命名，主要是紀念 Leonhard Euler 在開創壓力與流動之間關係的研究。如果以向量形式來表示歐拉方程式，可以 得到
雖然 6.51 式較一般通用的運動方程式來的簡單，但是在計算無黏性流場所 有點的壓力與速度時，依舊無法獲得歐拉方程式的通用解析解，主要的困難是 由在對流加速度中出現的非線性速度項（如 u u x、 u y）所引起，由於歐 拉方程式本身亦存在這些項，因此歐拉方程式為一非線性偏微分方程式，所以 我們並沒有辦法以通用的方法來求解。但是在某些條件下，我們還是可以應用 這些方程式，得到無黏性流場中的有用資訊，例如，我們在下一節的討論中，
就會對 6.52 式取積分，而得到高度、壓力與速度沿著一條流線的關係式（柏努 利方程式）。
（6.51b）
（6.51c）
（6.51a）
（6.52）
6.4.2 柏努利方粢式
在 3.2 節推導出柏努利方程式的過程中，我們是將牛頓第二運動定律應用 在沿著一條流線移動的流體質點上而得，但是在本節中，我們則是由歐拉方程 式開始，再一次推導出這個重要的柏努利方程式。因為歐拉方程式是牛頓第二 運動定律的通用表示式，所以，最後也必定會獲得相同的推導結果。由於我們 把問題限制為穩態流動，因此，歐拉方程式的向量形式可以表示為
我們希望將上述的微分方程式沿著某些任意流線（圖 6.12）做積分，並且選擇 使用 z 軸垂直向上的座標系統（以 z 軸向上為正），所以重力加速度的向量可表 示為
其中 g 是重力加速度向量的大小，然後我們使用下式中對向量的定義
6.53 式可以改寫成下式的形式
重新整理這個方程式，可以得到
接著我們沿著一條流線（圖 6.12）取一個微小長度 ds，並令上式與 ds 作點積，
因此
由於 ds 的方向是沿著流線的方向，ds 與 V 必定相互平行，因此向量 V V
（6.53）
ds
y z
x
‹y‰u
圖 6.12 沿一流線的微分長度表示法。
（6.54）
6.4 非黏性流 217
將會垂直於 V（為什麼？），所以可以得到
讓我們回憶一下，如果把一個純量的梯度與微分長度作點積，將會得到此純量 在微分長度方向上的變化量，也就是說如果 ds dx dy dz ，我們可以推 導出p．ds p xdx p ydy p zdz dp。因此，6.54 式可以表示 為
上式即是沿著流線時 p、V 與 z 的變化關係。現在我們將 6.55 式取積分，可以 得到
上式說明了一件事，當沿著一條流線時，在方程式等號左邊三個項的總和必定 會保持固定。6.56 式可以適用於壓縮或不可壓縮的無黏性流體，但是應用在可 壓縮流體時，流體的密度 會隨著壓力 p 而改變，因此必須先加以指定，否則 將無法求得 6.56 式中第一項的值。
對於無黏性、不可壓縮流體，也就是我們一般通稱的理想流銦（ideal fluid）
6.56 式可以表示為
上式就是在第 3 章中廣泛使用的柏努利方程式（Bernoulli equation），為了使用 上的方便，我們通常將 6.57 式應用在沿流線上的任意兩點1 與 2 之間，並且 為了方程式能以「頭損」形式表示，所以將式中各項均除以 g，因此可以得到
要再次強調的是，柏努利方程式（表示成 6.57 式與 6.58 式）在應用上仍須有以 下的限制：
■ 無黏性流 ■ 不可壓縮流
■ 穩態流 ■ 沿著流線流動
在第 3 章的範例中，已有舉例說明柏努利方程式的應用，你可以再回到前面章
（6.55）
（6.56）
常數
（6.57）
常數
（6.58）
節加以複習。
6.4.3 無旋粢流
如果我們再加入一個假設—流動是無旋轉（irrotational）—無黏性流問題的 分析將可以再簡化。在 6.1.3 節中曾提到，流體元素的旋轉值等於 ， 如果是在無旋轉流場中則
轉流場中的渦度也將會為零。流場為無旋轉流的觀念似乎有些奇怪，但是為何 流場會是無旋轉呢？為了回答這個問題，我們必須要注意的是如果 0
，則包含此向量中每一分量的方程式（6.12 式、6.13 式與 6.14 式）均必定為 零。由於這些分量包括了在流場中不同的速度梯度，因此無旋轉的條件必定與 這些速度梯度存在有某種關係。例如，流場對 z 軸的旋轉為零，則 6.12 式將可 以表示為
因此可以得到
同樣的，由 6.13 式與 6.14 式也可以分別得到
及
一般的流場將不可能滿足這三個方程式，但是，在圖 6.13 中的均勻流動則可以 滿足，這是因為流場中 u U（常數）、 0 及 w 0，所以同時可以滿足 6.59 式、6.60 式與 6.61 式。因此，均勻流場（即流場中沒有速度梯度）當然可以視 為無旋轉流的一個例子。
在無黏性流體內並不會有剪應力，因此，只有元素本身重量及壓力作用在 流體元素上。由於重量是作用在元素的重心，而壓力則是垂直作用在元素的表 面，所以這兩種力均不會造成元素旋轉。因此，如果無黏性流體在流場中的某 些區域是無旋轉的，則由此區域流出的流體元素在流經流場時亦不會盹生旋 轉。
（6.59）
（6.60）
（6.61）
x y
z
0 w 0 u U ¡]–‘…˘¡
圖 6.13 x 方向的均勻流。
6.4 非黏性流 219
6.4.4 無旋粢流的柏努利方粢式
在 6.4.2 節中所推導出的柏努利方程式，是利用 6.54 式沿著一條流線取積 分而得的，而這個限制會使得方程式中等號右側的項為零，也就是
（因為 ds 與 V 相互平行）。但是，由於無旋轉流中 V 0，6.54 式等號右側 的項也會為零，而且與 ds 的方向無關。所以，我們可以用相同的程序推導出 6.55 式，但是其中的微分變化量 dp、dV2 與 dz 可以為任何方向，再對 6.55 式 取積分，可以得到
但是上式中的常數在整個流場中均會相同。因此，在不可壓縮、無旋轉流中，
流場內任意兩點間的柏努利方程式可以表示為
6.63 式的形式與 6.58 式完全相同，但是卻可以不必限制於使用在同一流線上。
6.4.5 粢度勢
在無旋轉流動中，流場的速度梯度關係式為 6.59 式、6.60 式與 6.61 式，因 此，可以用一個純量函數（x, y, z, t）來表示速度分量，表示如下
其中的 稱為踰度勢（velocity potential）。直接以上述的表示式替換 6.59 式、
6.60 式及 6.61 式中的速度分量，則可以得知，由 6.64 式所定義出的流場確定為 無旋轉。將 6.64 式以向量的形式表示，可以得到
因此，可以用一個純量函數 的梯度來表示無旋轉流的速度。
在無旋轉流場中，速度勢的應用是一項重要的成果，如同流線函數在質量 守恆中也是一項重要的成果。但是要注意的是，速度勢可以在一般三維流場中
（6.62）
常數
（6.63）
（6.64）
（6.65）
被定義，反之，流線函數則是被限制應用在二維流動中。
對一個不可壓縮流體而言，我們知道它的質量守恆方程式為
因此，在不可壓縮無旋轉流中（由於無旋轉流中 V ），則可以得到
其中2 ． 即為拉普拉斯運算子（Laplacian operator），在直角座標系 統下可以表示為
上式的微分方程式經常出現在工程或是物理中的不同領域上，也就是我們常稱 的拉普拉斯方程式（Laplace equation），因此，在無黏性、不可壓縮、無旋轉的 流場中，統御方程式即為拉普拉斯方程式，這種形式的流動我們通稱為勢流
（potential flow）。如果要完整描述一個已知問題的數學模式，它的邊界條件就必 須要加以指定，通常在我們關心的流場中，都會以速度作為流場的邊界條件，
因此，當勢流函數可以被求得，則流場中任意一點的速度就可以由 6.64 式求 得，至於所有位置上的壓力，也可以經由 6.63 式的柏努利方程式求得。雖然速 度勢的觀念可以同時應用在穩態與非穩態流動中，但是我們將專注於應用在穩 態流動中。
在探討某些問題中，使用圓柱座標系統（r、 與 z）將會比較方便，而在 圓柱座標系統中的梯度運算子為
因此
其中 = r, , z，由於
則在無旋轉流中（因 V ）
所以，在圓柱座標中的拉普拉斯方程式可以表示為
（6.66）
（6.67）
（6.68）
（6.69）
（6.70）
（6.71）
6.4 非黏性流 221
E
XAMPLE 例題 6.3有一個無黏性、不可壓縮流體的二維流動，在圖 E 6.3 a 中鄰近 90 角附近的流線 函數為
當 r 的單位為公尺時，上式中 的單位為 m2s。a 如果可能的話，試求出相對應的 速度勢；b 如果在壁面上點 1 的壓力為 30 kpa，則在點 2 的壓力為何？假設此流 體的密度為 103kgm3， 並且 x y 平面為水平面—亦即點 1 與點 2 之間並沒有高 度差。
解答
a 由流線函數可以得到徑向與切線方向的速度分量為（見 6.42 式）
及
因為
則可以得到
將上式取積分，可以得到
（1）
圖 E 6.3 a
其中 f1 為 的任意函數，同樣的
經積分可以得到
其中 f2r 為 r 的任意函數，因為要同時滿足 1 式與 2 式，所以速度勢的形式必須 要為
其中 C 為一任意常數，由於在本題中是要求流線函數，而且 C 的特定值並不是 很重要，所以通常令 C 0，因此流動在角隃附近的速度勢為
在這個問題的敘述中有提到「如果可能」的字眼，表示我們有可能找不到相 對應的速度勢，主要的原因是在於，我們可以在二維流動中定義出流線函數，但 是要找得出相對應的速度勢，則流動必須是無旋轉的，因此，如果可以求出流場 的速度勢，事實上這個流場的流動一定會是無旋轉的。在圖 E 6.3b 中，我們繪出 數條流線及等勢線，而且可以盹現流線與等勢線是相互正交的，流線與等勢線為 什麼永遠會保持正交的原因，我們將於 6.5 節中加以解釋。
b 由於我們的無旋轉流動，是盹生在無黏性、不可壓縮的流體中，所以柏努利方程
圖 6.3 b、c
（2）
（Ans）
（Ans）
6.4 非黏性流 223
式將可以應用在任意兩點之間，因此，在點 1 及 2 之間沒有高度的變化下，
可以得到
或
因此
所以，在流場中的任意一點
從這個結果盹現了，任意一點的速度平方只與到這個點的半徑距離 r 有關，並且 在式中的常數也就是 16，它的單位為 s2，因此
以及
將這些速度代入 3 式中，可以得到
在本題中所給定的流線函數為
因為 x r cos 且 y r sin ，如果以直角座標系統來表示此流線函數，則為無 論如何，在圓柱座標系統的形式中，本題所得的結果，如果應用在鄰近角隃且角 度為 的（見圖 E 6.3 c），則方程式可以表示為
與
其中 A 是一個常數
（3）
（Ans）
