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“C45N3” — 2021/9/2 — 18:39 — page 1 — #1
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1947 年印度獨立建國, 其後的二十年間, 印度出現了一批世界頂尖的數學家 與統計學家。 在 Mahalanobis 和 C. R. Rao 的主導下, ISI (Indian Statistical Institute) 培養出 S. R. S. Varadhan、 V. S. Varadarajan 等。 在 Bhabha、 K.
Chandrasekharan 及 K. G. Ramanathan 的主導下, TIFR (Tata Institute of Fundamental Research) 培養出 M. S. Narasimhan、 C. S. Seshadri、 C. P.
Ramanujam 及 V. K. Patodi 等。
天才為何成群結伴而來? 是歷史形勢、 社會環境所促成, 抑或只是因緣巧合?
是歷史的必然, 抑或是無數的偶然事件所致?
在 TIFR, 高瞻遠矚的師長, 有著大無畏的雄心、 遠大的眼光, 且數學涵養深 厚廣泛, 格局宏偉。 他們慧眼識才, 敏銳深入地洞察學生器識, 薪火相傳, 也教學相 長。 師生、 同儕、 國際頂尖訪問學者間切磋琢磨, 活絡了研究氛圍。 傑出的心智相互 激盪, 時不時迸出燦爛火花。
歷史脈絡、 時空背景下, 關鍵人物在關鍵時刻的抉擇, 決定了生命與歷史的走 向、 層次與光輝。 有偶然性, 也有必然性。 康明昌教授介紹、 評析重要人物及歷史轉 折。
「有限單群」 是有限群的建構組元。 二十世紀的諸多數學家致力於有限單群的 分類, 歸結為 18 個家族及 26 個零星單群。 Monster (怪物群) 是這些零星單群中 最大的一個。 1973 年, Griess 及 Fischer 獨立地預測了 Monster 存在。 而若其存 在, 最小不可約表現的維數是 196,883。 McKay 注意到 196,883+1=196,884; 等 式左邊是 Monster 的 trivial 表現及最低維表現的維度總和, 右邊是 j-函數的一 個係數。 j-函數是個模函數, 坐落在與 Monster 相隔甚遠的數學領域, 但 McKay 和 Thompson 據此猜測 j-函數與 Monster 的關聯。 其後 Conway 及 Norton 整理證據來支撐箇中架構, 名之為 moonshine。 1992 年, Borcherds 以弦論聯繫 兩者; 在 24 維弦論場景, j-函數的係數描述弦如何振盪, 而 Monster 刻畫潛在的 對稱性。 林正洪教授闡述歷史, 也讓讀者一窺諸多領域之間出人意表的關聯。
古人觀星, 以觀察者為球心, 北極星為北極, 建立天球上的赤經、 赤緯坐標。 另 以地球為球心, 太陽軌道 (黃道) 為赤道, 建立黃經、 黃緯系統。 克卜勒 (1571∼1630) 認同日心說, 試圖從日心來觀察行星繞日的軌道, 但這對身居地球的觀察者是否可 能? 張海潮教授介紹克卜勒如何藉由經緯度定位來捕獲火星, 從而發現火星繞日的 軌道為橢圓。
基於極限性質 sin x/x → 1 (x → 0), 阿基米德以圓內接正 n 邊形逼近單位 圓求面積。 爾後函數 sinc x = sin x/x (x 6= 0) 位居 Fourier 積分公式的推導樞 紐。 林琦焜教授探討其 Riemann 可積性、 Lebesgue 不可積性。 他繼而介紹積分 理論中極其重要的兩個函數 : Dirichlet 函數 (在有理數上取值為 1、 無理數上取 值為 0), 以及 Cantor 函數。
梁惠禎 2021 年 9 月
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