普高數學

從寫作中看到數學素養

講師：賴以威教授/臺灣師範大學

普高數學

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第一屆數感盃青少年數學寫作競賽 國中組專題報導類

第１名 聞緯峰、潘楷翔／福和國中

李白遇特赦急返鄉，千里江陵真能一日還？是誇大還是真的可行

一、研究動機：

想要了解李白當時造船的工藝技術是否真的能夠在一天之內從白帝城到達 江陵。

二、故事背景：

詩仙李白在文學領域上非常有成就，然而命運捉弄人，在參與政治後，未 能發揮所長，有志難伸，甚至招至窂禍之災。李白在被派至流放地的路途中，

意外獲得特赦，才走到四川白帝城的李白，隨即調頭回程，想著不必與沙塵為 伍的日子，開心地踏上返鄉的旅程，一路向江陵衝衝衝。雖然可以理解李白想 表達其獲得特赦，得以返回江陵的愉快心情，但現實上，是否真能達到在一日 之間，自四川的白帝城到達江陵，即現今湖北荊州呢？是李白過於開心，忘了 日月星辰轉換，十日當一日用，還是連長江三峽都在幫忙送李白回家呢？我們 將先從歷史背景上，做基礎的推論，再透過各項假設，來推斷是否能夠達到一 日的時間內，可以達到目的地。

三、探討過程

首先，我們從距離開始探討，也就是此趟的航程距離。起點：白帝城，位 於現今的四川省，而終點是江陵地區，即現今的湖北荊州。在唐代的地圖標示 中，大約是 860 里。而唐代以唐太宗的雙步為尺寸標準，叫作“步”，並規定 三百步為一里。一“步”的五分之—為一尺。唐代—尺換算為現在 0.303 米，

一里合 454.2 米。由此可推算出：860 里=390,612 米，而 390,612 米

=390.612 公里。

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而 390.612 公里大約是基隆到屏東的距離（註 1），若比照相同交通工 具，則為現今的客用郵輪，其船速一節為 1.852 公里/小時，客用郵輪為 25 節 左右，即 46.3 公里/小時，換算後則需要約 8.44 小時就可以到達。而唐代當時 最快的應是戰船，但想必也無法達到此時速。而李白所能搭乘的，更不可能是 戰船，老百姓只能坐坐沙船。所以李白還是要慢慢在長江上搖晃，才能到得了 江陵。此外，古人所云的「一日」，並非現今所指的 24 小時，古代將時間劃 分為十二個時辰，用地支計數，為子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥（註 2）。

李白自「朝辭白帝」，假設以古名時辰的「日出」至「日入」計算航程的 起迄時間，合計為十四個小時。以航程 390.612 公里計算的話，並且要再 14 小時抵達，則這一艘船的行駛時速，就必須要達到約 27.9 公里/小時，此時速 相當於現今貨櫃油輪約 15 節的時速，想必也是不可能達到的。若是再加上水 流時速，白帝城到江陵區間，長江行走流域，主要為長江三峽。四川到江陵為 順流方向。長江三峽未蓋工程之前，平均水流速平均為 2.3 米/秒（150~180 米/分）故推算：水速＝9000-10800(米/時)=9-10.8(公里/時)。況且，李白是 在白帝城到江陵這段長江，順流而下，此時正值暮春三月，中國 40°N 以南大 部地區年平均風速較小，多在 2m/s 以下。 四川盆地和雲南南部地區風速最 小，全年靜風日超過 40%，局部地區達 70%。由於是從四川地區往湖北地區前 進，故考量風速（表 1），以中國地區春夏二季平均風速為 2.55(公尺/秒)，即 9180(公尺/小時)= 9.18(公里/時)。

表 1 中國四季和年平均風速（1971〜2004 年）

如果能夠滿足上述的理想條件，包含順風、順水、漲春水、輕舟、船隻駕 駛技術卓越、當時的水文條件優於今天，那麼才是有可能達成的。但是因為當 時的季節適逢春夏二季交替，所以合理判斷為逆風，故並非能加快航程，反而 阻礙航行速度。

季節 春 夏 秋 冬 年 平均風速/(m/s) 2.8 2.3 2.2 2.3 2.4

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若將水速和風速同時考慮進入，則李白的船速大約是 27.18 公里/小時。距 離：390.612 公里「除以」時間 14 小時，約為 27.9 公里/小時。27.9 公里/小 時「扣除」水速 9.9 公里/小時，再加上風速的阻力 9.18 公里/小時，則為 27.18 公里/小時。

四、結論

綜合上述推論，李白想要「一日還」的可能性極低，依照當時的造船技 術，並不能達到現今貨櫃油輪的速度，故無法準時抵達目的地。

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第一屆數感盃青少年數學寫作競賽 國中組專題報導類

第２名 李艾登、莊景喻、黃秉宥／嘉義縣立永慶高中國中部 唐僧為何不搭觔斗雲取經？

話說，悟空從五指山中逃脫，就對唐三藏表示：

「我小學老師靈台方寸山，斜月三星洞的神仙，須菩提祖師教我日遊四海 的騰雲駕霧之法——觔斗雲，只要一個觔斗便能飛行十萬八千里。你不是要去 西天取經嗎？上來吧，我背你翻騰幾下就能直接到西天取經。」

「不行，觔斗雲太快了，師父受不了，更何況這是修行，我必須用走的，

你得跟我一起去，所以你也得用走的。」唐三藏搖一搖頭。

悟空一副大惑不解的樣子看著唐三藏。

唐三藏拿出紙、筆、圓規、尺、計算機、筆電，在山中步道旁，隨便找個 有桌椅的涼亭坐下，語重心長說：「悟空你是從女媧補天遺留下的石頭中蹦出 來的，是石身；師傅是肉做的，是肉身。肉身應該是不能搭筋斗雲的。」悟空 仍一副丈二金剛摸不著頭緒樣。

唐三藏要悟空坐下，開始滔滔不絕說：

「來，我用數學算給你看——秦漢時期一里是 415.8 公尺，師父跑到未來 發現清朝一里是 576 公尺，現在是明朝，國土廣大，單位混亂，我們大約以一 里以 500 公尺計算好了。你搭觔斗雲翻一圈的距離約 108000×0.5=54000 公 里，但是地球的周長約 40030.14 公里，所以你要是隨著地表飛，往東翻一個 筋斗，剛好繞地球一又三分之一圈，恰好落在南極陪皇帝企鵝孵蛋；往西翻一 個筋斗也是繞地球一又三分之一圈，結果降落在加勒比海上的黑鬍子海盜船 上。這兩個地方離天竺很遠，且又是化外之地，這個想法行不通啊！」

「如果你是先往上飛，然後繞地球一圈之後在天竺的上空降落，而這裡到 天竺的距離大約是 4200 公里，因此你繞地球一圈還需要飛行 54000－

4200=49800 公里。設往上飛的高度為 x 公里，因此 2x +2π(x+6371)

=49800，可得往上飛的高度(x)為 1179.482 公里，這高度已經超過 100 公里 的卡門線、甚至超過 500~1000 公里的外逸層，早就已經到外太空了。」

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「師父這種沒有任何保護的身體如果曝露在外太空很快就會死，而且死亡 後體溫會很緩慢下降（因為沒有對流、傳導，只有熱輻射）；如果此時體液或 血液流出體外，不但不會立刻凍結，反而會因為低壓而沸騰。這個問題在 NASA 的網頁內有說明，只是目前還沒有做過生物實驗，正確結果誰都不敢確 定。」

「師父，這件事簡單。」悟空站了起來，用手拍了拍胸膛說：

「等一下天黑，師父讓我下課十分鐘，月亮離這裡也不過 30 萬公里，徒 弟我搭觔斗雲翻個六、七圈就到了。我幫 NASA 去月宮找嫦娥姊姊問一下，她 當初飛到月球時有沒有覺得很冷﹖還是呼吸困難﹖或是有噴鼻血？問完後再找 月兔借個廁所，順便帶一盒月球名產『麻糬』回來孝敬師父您。」

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唐三藏接下來說：「我們得考慮速度問題。悟空啊！你翻個觔斗需要多久 時間啊？」

悟空用跩到不行的動作，伸出他的右手，比出中指（啊！更正，我看錯 了，是食指。)說：「師父，只要一秒！」

「一秒！」唐三藏拿出計算機開始飛快的按著鍵盤，嘴裡還嘟嚷著……

「假設你是等速飛在地球表面，在不考慮其他阻力與限制下，你的速度是 5400 公里除以 1 秒，就是 5400 公里每秒」

唐三藏恍然大悟說：

「悟空，你知道嗎？ 眾所周知的哈雷彗星平均速度大概 10 公里每秒，就 已經燒得人屁股紅透半邊天了，你的觔斗雲速度是哈雷彗星的 540 倍，師父即 使身上有這件皇上御賜的百分百純蠶絲袈裟，鐵定是擋不住的！一下子就灰飛 煙滅，就算我躲在建造於美國科羅拉多州，為防止核武攻擊而深埋於地表下 400 多公尺的『夏延山空軍基地』末日碉堡中，再讓你載過去，也是會被摩擦 力造成的高溫燒的屍骨無存。」

「觔斗雲快的不合理，悟空呀！師父再問一次觔斗雲的實際操作性能。」

孫悟空搔一搔頭髮，非常熟練地抓起身上跳蚤，順手放進嘴巴嚼了起來。

「師父，吳承恩在《西遊記》寫得很清楚，觔斗雲翻一個筋斗，可以前進 十萬八千里。千真萬確，吳承恩白紙黑字寫的。」悟空意猶未盡低頭在翻找肚 臍旁的跳蚤，一邊回答。

「這樣啊！若沿著地球表面等速度飛行，先不考慮其他阻力與限制的話，

以剛剛的飛行軌道來看，離地球表面最遠時的向心加速度為 5400×5400÷

(1179.482+6371)≒3862.005km/s²=3862005m/s²。」唐三藏邊用計算機邊 說。

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「天啊！」唐三藏搖搖頭說。「人體最大承受限度是 9G，搭乘觔斗雲需承 受 394082.143 G，人類無法啊！」

「悟空，經過師父這麼詳細的解說，你可以理解我們應該只能走路去 吧。」

悟空想了想，說：「師父，與其想要如何將您打包帶走，這可是連 NASA 的科學家都會想到抓狂的問題，沒研究個三、五十年是沒有結果的，不如我們 一起散步去天竺，還比較快呢！

唐三藏點頭笑了笑，肚子卻不爭氣的咕嚕咕嚕叫。

「悟空，師父肚子餓了，我們去找吃的好不好？」

「師父，我知道前面有一間店，他賣的麻糬比月兔做的好吃多了。」悟空 興奮的拉起唐三藏的手開始飛奔。

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第一屆數感盃青少年數學寫作競賽 高中組新詩類

第１名《每個孩子都是一樣》林沛婕／北一女中 每個孩子都是一樣

每個孩子都是一樣 拿著名為教育的鞭子 鞭笞孩子走上最好的道路

最好的學校、最好的工作、最好的家庭 最好的人生

孩子 疼嗎？

請你忍一下 這是為了你好。

每個孩子都是一樣 套進萬用的餘弦公式 求出孩子最合適的角度

最合適的學校、最合適的工作、最合適的家庭 最合適的人生

孩子 不是三角形嗎？

請你拋棄夢想的稜角 這是為了你好

每個孩子都是一樣 放入算幾不等式

求出孩子最完美的大小

最完美的學校、最完美的工作、最完美的家庭 最完美的人生

孩子 不大於零嗎？

請你用功充實自己 這是為了你好

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蓋上一元二次方程式公式解 求出孩子最理想的答案

最理想的學校、最理想的工作、最理想的家庭 最理想的人生

孩子 無解嗎？

請你扭曲自己的性格觸碰到 X 軸 這是為了你好

每個孩子都是一樣

將每個孩子放入樂透的彩球箱裡 在那之前

拿著名為教育的砂紙磨掉上面獨特的數字 轉啊轉

轉啊轉 直到

取出一個彩球的可能

▲第一屆數感盃青少年數學寫作競賽得獎作品

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讓大考題不只是考古題

講師：王聖淵老師/台北市立陽明高中

普高數學

課程講義

2018/10/25

讓 大考題 不只 是

考古題

王聖淵

( S. Y. Wang )

經歷

• 臺北市立陽明高級中學研發處主任

• 臺北市立陽明高級中學資訊組⾧

• 106學年度台北市優良教師獎勵計畫榮獲優良教師(2017)

• 105學年度台北市優良教師(2016)

• 105學年度台北市教學卓越獎 (2016)

• 104學年度台北市教學卓越獎 (2015)

• 103學年度臺北市教學輔導教師(2014)

• 臺北市校務評鑑訪視教師(103、104、105學年)

現職

• 臺北市立陽明高級中學秘書

• 教育部高中數學學科中心種子教師(2009~迄今)

• 臺北市教育局中小學特聘教師(2016~迄今)

• 性平資源中心核心種子教師

• 108課綱數學領綱宣導講師

• 國立臺灣科技大學企業管理系兼任講師(2015.08~迄今)

研究領域

• 資訊科技融入教學活動設計

• 行動與無所不在的數學學習環境設計

• 桌遊融入數學課堂的課程設計

• 數學課堂的探究與實作

• 悅趣化數學課堂設計

• 結合系統思考的課程設計

• 數學專題、科學建模

• 電話(02)2831-6675 #101

• 手機：0952-129425

• LINE ID：jameswang93

• E-Mail : wjames0717@gmail.com 聯絡資訊

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何謂素養？

核心素養

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為什麼需要引入素養？

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素養評量的意涵

2018/10/25

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讓大考題不只是大考題！！

2018/10/25

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㇐例㇐休

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2018/10/25

何謂密鋪？

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• 【高學歷低薪 失落的世代】華視新聞雜誌 2018.05.13