2015 全國技專校院學生實務專題製作競賽 研究成果報告書
跨河橋梁可靠度分析
River Bridge Safety Evaluation via a Probabilistic Approach
參賽類群：英文代碼 F 土木與建築群 編號：
中華民國 104 年 3 月 12 日
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跨河橋梁可靠度分析
摘要
台灣跨河橋梁數目眾多(約兩萬多座)，
當颱風與暴雨發生時，經常有災情傳出，
跨河橋梁的耐洪能力因此備受各方專家學 者的重視。跨河橋梁之耐洪能力具有諸多 不確定性的物理量，如河床斷面、沖刷深 度、水流速、水位高、土壤性質及 SPT-N 公式的準確性等。藉由資料的收集、本文 利用統計的方法以機率的形式量化上述各 參數的不確定性，例如我們利用政府公佈 之河床斷面資料建立 HEC-RAS 水理模型，
並結合整體治理規劃報告之一維水理分析 結果輔以貝氏定理取得一百年回歸期之水 流速與水位、利用文獻建議之公式計算沖 刷深度。各隨機變數之分佈型態則以卡方 檢定決定。
本文針對具有樁基礎之橋墩進行系統 可靠度分析，考慮的破壞模式有土壤支承 力、基樁抗拉拔力、基樁正向應力、基樁 剪應力及樁頂位移量，而各性能方程式一 般皆具有非線性輸入輸出的特性，故以蒙 地卡羅分析解決非線性之系統可靠度問題。
橋梁可靠度受到不同流域特性有所影響，
本文並未考慮流域差異性，僅針對大甲溪 流域上的東勢大橋進行分析。
關鍵詞：不確定因素、可靠度分析、樁基 礎、東勢大橋
壹、前言
影響橋梁耐洪能力的因子眾多，在工 程設計方面，直接相關的因子有橋梁基礎 形式、橋墩形狀、護床工與護岸工等；與 河川環境相關的因子有河床材料、主河道 位置、跌水效應與上游是否有攔河堰等。
近年來台灣的專家學者，分別根據研究成 果提出各自的「初步評估表」[8]；在各評 估表中，其評估項目與所對應的配分權重 或有不同，然而，基礎裸露程度對橋梁耐
洪能力影響通常均配有最高的權重，因此，
在眾多影響因素中，本文僅針對單一橋梁 受沖刷時的穩定度進行分析。目前國內學 者已嘗試多種方式進行橋梁基礎的穩定性 分析，以分析過程中所需的參數沖刷深度 為例，此數值包含了高度的不確定性，故 可靠度分析有其必要性。可靠度分析的方 法中，一般可分為樣本法(sampling method) 與非樣本法(non-sampling method)，樣本法 中 最 簡 單 的 方 法 為 蒙 地 卡 羅 法 (Monte Carlo Simulation, MCS)分析，此法使用不 同 的 輸 入 參 數 進 行 定 然 式 分 析 (deterministic analysis)，其中，輸入參數的 數值內容須符合所觀察到的不確定現象。
樣本法主要的優點為可解決系統性與非線 性的可靠度問題，因此，本文採用 MCS 作 為分析的工具。
雖然本文將研究的範圍暫時縮小到單 一橋梁單一橋墩的分析，但分析過程中仍 有許多不確定因素需要考量。例如橋址處 的河床斷面並非處於一個穩定的狀態，歷 年來進行許多調查，其結果顯示河床斷面 隨時間不斷地變化，為了將此現象納入分 析中，本文針對歷年所有的河床斷面進行 水理分析，以大甲溪整體治理規劃報告作 為專家建議，歷年分析結果視為實驗結果，
利用貝氏定理結合以上兩者資訊，獲取橋 址處水文相關統計資訊。另、一座橋梁通 常具有許多跨徑，在不同河床斷面條件下，
橋梁最易損毀的橋墩並非固定，針對此點，
本文採取保守分析：臨界橋墩的失效即視 為整座橋梁的失效。
本文在進行橋梁基礎受沖刷時的穩定 性分析時考慮的因子有：樁體承載力(垂直 方向之支承力、拉拔力)、基樁軀體強度 (pile capacity)與橋梁使用性檢核(基樁頂 部位移量)；其中，基樁軀體強度包含了基 樁剪應力與軸向應力強度之檢核。各個因 子 即 形 成 一 個 性 能 方 程 式 (performance function)，故共有 5 個性能方程式。因此，
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本文將基礎受沖刷視為一個系統可靠度分 析問題。一般而言，以 MPP(most probable point)為基礎的可靠度分析法(FORM, first order reliability method)並不適用於系統可 靠度的分析，且上述 5 個性能方程式通常 具有非線性的輸入與輸出關係，因此本文 採用 MCS 進行分析。
以下將分節詳細說明所考慮的 5 個性 能方程式、所考慮的隨機變數與其計算方 式、可靠度分析流程與分析結果。
本文曾入選 103 年度農業工程研討會，
並參與農業工程研討會之學生論文競賽。
在眾多參賽作品中入圍決選，並在研討會 當天進行口頭報告，接受學者專家的提問，
與碩、博士生角逐，最終榮獲「佳作獎」。 貳、載重與破壞方程式
MCS 基本上可視為重複執行定然式 分析的結果，因此，MCS 分析結果的優劣 仰賴準確的定然式分析模式、準確的輸入 參數分佈形式、與重複執行的次數(樣本 數)。本節的重點即在於介紹本文所採用的 定然式分析模式，輸入參數(隨機變數)則 於第三節中介紹。因為 MCS 的樣本數通 常不會太小，定然式分析的時間長短對可 靠度分析的效率有直接的影響，在參考相 關文獻與規範後，基於準確性與效率的考 量，本文採用相對簡單但為規範允許的計 算方式作為定然式分析的模式。
一、載重之種類、分布與計算方式 本研究所考慮之載重種類為：垂直載 重、風力載重與動水壓所造成之水流力載 重(橋墩水流力𝐹𝑝、樁帽水流力𝐹ℎ、單樁 身水流力𝐹𝑡)，各載重作用於橋梁基礎的 位置如圖 2-1 所示，其中：
h ：風力重心至墩柱頂部之距離 w
hp：墩柱高度
hpw：墩柱水面下長度 h ：樁帽高度 h
h ：基樁高度 t
hIeft：基樁於河床面下之深度，單位為公
尺(m)
Y：最外側基樁至群樁中心之距離；各項 作用力之單位為公噸(tf)
圖 2-1 樁基礎構造與外力分配圖
圖 2-2 樁基礎水流壓力分佈圖 根據 98 年「公路橋梁設計規範」[4]
所述，動水壓所造成之水流力載重可再細 分為：墩柱水流力𝐹𝑝，樁帽水流力𝐹ℎ、單 樁身水流力𝐹𝑡，各水流力之計算方式詳如 式(1)、(2)與(3)所示：
𝐹𝑝=[𝑃𝑚𝑎𝑥+ ( 𝑃𝑚𝑎𝑥
(ℎ𝑡+ ℎ𝑝𝑤) − ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡) …
× (ℎ𝑡+ ℎℎ− ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡)] ×ℎ𝑝𝑤2 × 𝑑𝑝× 𝑘𝑝
─(1)
𝐹ℎ=[((ℎ 𝑃𝑚𝑎𝑥
𝑡+ℎ𝑝𝑤)−ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡) × (ℎ𝑡 + ℎℎ− ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡) …
3
+ ( 𝑃𝑚𝑎𝑥
(ℎ𝑡+ ℎ𝑝𝑤) − ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡) × (ℎ𝑡− ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡)] …
×ℎ2ℎ× 𝑑ℎ× 𝑘ℎ─────────(2) 𝐹𝑡=[((ℎ 𝑃𝑚𝑎𝑥
𝑡+ℎ𝑝𝑤)−ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡) × (ℎ𝑡− ℎ𝑙𝑒𝑓𝑡)] …
×ℎ𝑡−ℎ2𝑙𝑒𝑓𝑡 × 𝑑1× 𝑘𝑡───────(3) 其中：
𝑑𝑝：墩柱寬度(水流衝擊面) 𝑑ℎ：樁帽寬度(水流衝擊面)
𝑑1：為樁身有效直徑(水流衝擊面) 𝑘𝑝：墩柱-水流作用力常數
𝑘ℎ：為樁帽-水流作用力常數 𝑘𝑡：樁身-水流作用力常數
(因本研究所分析的墩柱與樁身為圓頭 墩，樁帽為平頭墩，故𝑘𝑝及𝑘𝑡皆為 0.7；
𝑘ℎ則為 1.4。)
𝑃𝑚𝑎𝑥為最大水流壓力，以式(4)計算：
2 × 𝑃𝑎𝑣𝑔 (𝑚𝑡𝑓2) ───(4) 𝑃𝑎𝑣𝑔為平均水流壓力，以式(5)計算：
52.5×𝑉𝑎𝑣𝑔2
1000 (𝑚𝑡𝑓2) ───(5) 𝑉𝑎𝑣𝑔：平均水流速 (𝑚𝑠)
水流壓力從水位面頂部為𝑃𝑚𝑎𝑥至河 床面為零是以三角形的方式分佈(如圖 2-2 所示)。水流作用力可由水流壓力與水流 衝擊橋墩面積相乘計算而得。如圖 2-2 所 示，墩柱與樁帽水流壓力均為梯型分布，
而群樁的水流壓力則呈倒三角形分布。
二、破壞方程式
本研究將橋梁視為串聯系統，以下將 根據 98 年「公路橋梁設計規範」[4]相關 規定，說明各破壞方程式之計算方式。
(一) 基樁極限支承力與拉拔力
本研究考慮之基樁極限支承力破壞方 程式如式(6)：
𝑎𝑏𝑠(𝑇𝑐) ≤ 𝑎𝑏𝑠(𝑄𝑑)
𝑎𝑏𝑠(𝑄𝑐) ≤ 𝑎𝑏𝑠(𝑄𝑑) ───(6) 其中，𝑄𝑑：單樁支承力(需求)，可由結構 外加載重所求得
𝑇𝑐：單樁容許拉拔力，使用短期之單樁拉 拔力推估法，如式(7)所示
𝑄𝑐：單樁容許極限支承力，如式(8)所示 𝑇𝑐=𝑊𝑝+𝑄𝑠
3 ───(7) 𝑄𝑐=𝑄𝑏+ 𝑄𝑠───(8) 其中：
𝑄𝑠：樁表面之摩擦阻力 𝑊𝑝：有效樁重
𝑄𝑏：樁端點極限支承壓力，如式(9)所示 𝑄𝑏=𝐴𝑝× 𝜎𝑣𝑝 × 𝑁𝑞𝑠 ──(9) 其中：
𝐴𝑝：樁端點面積(𝑚2)
𝜎𝑣𝑝：樁端點之有效覆土壓力 𝑁𝑞𝑠：樁基礎之承載力因數
(二) 樁體承載力與橋梁使用性檢核 基樁最大需求剪應力、最大需求軸向 應力與樁頂需求位移係根據「張氏簡易側 樁分析法」[7]計算所得；基樁剪應力與軸 向應力之容量則由材料強度推估，樁頂位 移依據規範之規定(1.5 公分)。當容量小於 需求時，即視為失效。基樁剪應力與軸向 應力之破壞方程式如式(10)與(11)所示。
𝜏𝑐 ≤ 𝜏𝑑──(10) 𝜎𝑐 ≤ 𝜎𝑑──(11) 其中：
𝜏𝑐：材料容許剪應力 𝜎𝑐：材料容許軸向應力
𝜏𝑑：結構體承受之最大剪應力，如式(12) 所示
𝜎𝑑：結構體承受最大軸向應力，如式(13) 所示
𝜏𝑑=𝑉𝑡𝑒−𝛽𝑥[cos(𝛽𝑥) − (1 + 2𝛽ℎ0)sin (𝛽𝑥)]
──(12)
4
𝜎𝑑=𝑉𝛼𝑡𝑒−𝛽𝑥[βℎ0cos(βx) +…
(1 + βℎ0)sin (βx)] ────(13) 其中𝑉𝑡為作用於樁頂之剪力
β：√𝑘𝑑4 2⁄4𝐸𝑝𝐼𝑝
k：水平地盤反力係數(𝑡𝑓 𝑚⁄ 3) 𝐸𝑝：基樁材料彈性模數 ℎ0：𝑀𝑡⁄ 𝑉𝑡
𝑀𝑡：作用於樁頂的彎矩
根據式(10)~(13)，樁體承載力的破壞 方程式如式(14)與(15)所示。
𝐴𝜏𝑦− 𝑉𝑡𝑒−𝛽𝑥[cos(𝛽𝑥) −…
(1 + 2𝛽ℎ0)sin (𝛽𝑥)] ≤ 0 ──(14)
𝐼𝜎𝑐
𝑦 −𝑉𝛼𝑡𝑒−𝛽𝑥[βℎ0cos(βx) +…
(1 + βℎ0)sin (βx)] ≤ 0 ───(15) 其中：
𝐴𝜏𝑦：基樁材料容許剪力強度
𝐼𝜎𝑐
𝑦：基樁材料容許軸應力強度 A：樁斷面積
y：外側基樁距群樁中心之距離 I：為群樁之慣性矩
最後一個破壞方式為樁頂位移之破壞。
本研究所設定之條件為樁頂束制狀態，故 外力產生之總位移量必須小於或等於樁頂 容許位移，換言之，即外力產生之總位移 量若大於樁頂容許位移量，則此橋墩破壞。
此樁頂位移之破壞方程式如式(16)所示：
𝛿𝑐 ≤ 𝛿𝑑 ───(16) 其中：
𝛿𝑐：樁頂容許位移
𝛿𝑑：外力導致之樁頂位移
參、隨機變數及其計算方式 本文評估橋梁耐洪能力時所考慮的載 重計有垂直載重、風力載重與動水壓所造 成之水流力載重；其中，動水壓所形成之
水流力載重受到水位高度與流速影響；此 外，水流經常造成基礎沖刷，而沖刷深度 對上述各個性能方程式之計算亦有重大的 影響。因此，本文考慮的隨機變數計有:
平均水流速、計畫洪水位(蹲前水位高)與 沖刷深度等。以下將分別說明各隨機參數 的計算方式。
一、平均水流速與計畫洪水位之計算 本文主要係利用美國工兵署所建立的 HEC-RAS 軟體進行水理分析，且藉由輸 入資料的機率化，建立平均水流速與計畫 洪水位之隨機特性，詳細內容如下所述。
(一) 模型建立所需資料之蒐集
建立水理模型須先取得各斷面資料。
除了水利署《地理資訊倉儲中心》網站提 供的斷面形狀外，配合《大甲溪流域整體 治理規劃檢討》[10]提供之各斷面河心距 並參考《大甲溪石岡壩下游河段河床穩定 方案之研究》[9]之各斷面曼寧係數 n 值，
且為使模型更接近實際的情況，模式中之 曼寧係數為介於 0.02 到 0.045 間的均勻隨 機變數。此外，本文使用 99 年(《大甲溪 石岡壩下游河段河床穩定方案之研究》[7]) 平均河床高程作為主河道之位置，建立斷 面 68 至出海口的大甲溪流域地形風貌。水 理模型所需之入流量主要為使用最接近東 勢大橋上游之水壩─馬鞍壩(斷面 67.01) 的測站點─「橫流溪匯流前」(斷面 68)之 100 年重現期距的尖峰流量(7630cms)。
水理模型的驗證主要係根據 100 年重 現期距之計畫洪水位與水流速。一般而 言，水理模型所推估的數值應與過去文獻 相近，然而過去文獻本身亦存有差異性，
因此，我們利用貝氏定理整合文獻與本文 的結果，詳如後述(3.1.5 節)。
(二) 水理模型建立之步驟
首先我們藉由插入的大甲溪流域地 圖(如圖 3-1)，描繪出斷面 68 至出海口之
5
溪流形狀。再從 2012 年(地理資訊倉儲中 心網站)各斷面測量圖中視情況取 10 至 20 個點以勾勒出斷面 0 至斷面 68 之間 97 個 斷面形狀。斷面形狀建立好後，尚需輸入 各斷面與前一斷面之河心距、曼寧係數 n 值及主河道深度，我們以 99 年(《大甲溪 石岡壩下游河段河床穩定方案之研究》[7]) 平均高程作為主河道深度，再由我們繪出 的斷面形狀圖中，另外插入左右河道相對 應深度位置，取此兩點之水平距離作為主 河道之判斷依據，並於斷面 68(橫流溪匯 流前)輸入尖峰流量作為入流量。因參考文 獻並未說明大甲溪屬於何種臨界流，故我 們分別以混合流、亞臨界流、超臨界流三 種情況建立水理模型，分析不同臨界流之 影響情形，如圖 3-2~圖 3-4 所示。表 3-1 為東勢大橋(斷面 47.1)水理分析後之結果 (邊界條件：上下游皆為 critical Depth)：
(三) HEC-RAS 模型之改善
文獻[10]中指出，東勢大橋 100 年重現 期距之計畫洪水位為 327.21(m)，而平均流 速為 4.71(m/s)，與表 3-1 中的結果比較，
三種模式均與文獻[10]有明顯的差異。然 而，《大甲溪石岡壩下游河段河床穩定方案 之研究》[9]總報告中之 100 年重現期距流 速為 5.74(m/s)，此數值相對而言比較接近 本文分析的結果，但其 HEC-RAS 的流量 輸入位置位於天輪壩附近，與本文並不相 同。亦即，因為建立水理模型的時間點並 不同，各模型間存有本質上的差異性，因 此本文嘗試改善(修改)HEC-RAS 模型的 輸入參數(如斷面與尖峰流量)，使模型更 具代表性，然而，在經過上述嘗試後，仍 無法獲得與文獻接近的結果，因為考量各 模型的影響因子(如斷面形狀)雖然存有差 異但仍具有前後的因果關係，因此，文獻 與本文所分析的結果都具有參考價值，因 此，本文利用貝氏定理加以整合，如 3.1.5 節所述。
A. 斷面修改
第一個修正為將簡略的斷面細緻化，重新 使用更細緻的斷面分析後發現斷面 47- 1(東勢大橋)下游斷面的精準化並不會對 結果造成影響，但藉由精準化斷面 47-1、
上游五個斷面及上游十個斷面，其結果與 文獻結果較為接近，最終我們將上游 35 個 斷面依斷面形狀複雜度各取 50 至 100 不 等的點，詳盡描述出斷面形狀，但結果證 明和只更改上游 10 個斷面並無差別，詳細 的分析結果如表 3-2 所示(邊界條件：上下 圖 3-1 大甲溪流域圖
馬鞍壩，斷面 68 東勢大橋，斷面 出海口，斷面
圖 3-2 混合臨界流之斷面分析結果
圖 3-3 亞臨界流之斷面分析結果
圖 3-4 超臨界流之斷面分析結果
6
游皆 critical Depth；臨界流：Mixed)。
B. 修正尖峰流量
本文進一步嘗試將尖峰流量修正使 之與參考文獻[2]相同，其中東勢大橋下 游邊界條件設定為常水深，其水位為 0.01(m)；上游邊界條件用斷面 68 以前之 100 年尖峰流量輸入，如表 3-3 所示。
C.建立東勢大橋橋梁模型
為能更加符合實際情況，我們決定於 HEC-RAS 模型中加入東勢大橋模型(如圖 3-5)，所建立的橋梁斷面落於斷面 47.01 及斷面 47.1 之間，並訂名為斷面 47.02。
D.使用不同年份之斷面
河床斷面隨著河流沖刷，每年的形狀 皆不固定，為了將此因素納入考慮，基於 2012、2011、2010 年[3]及 2008、2005、
2000 年[9] 的斷面資料，建立六個不同的 表 3-3 各斷面 100 年之水文資料
斷面 水位高程 尖峰流量
0(河口) 5.16 10300
36(石岡壩) 276.06 8800
61(天冷) 468.1 8000
68(橫流溪匯流前) 570 7630
表 3-2 精準化斷面後之分析結果
模型 QTotal
Min
Ch El
W.S.
Elev
Crit
W.S.
E.G.
Elev
E.G Slope Vel
Chnl
Flow Area Top Width Froude# Chl
(m3/s) (m) (m) (m) (m) (m/m) (m/s) (m2) (m)
(1) 7630 320.01 324.53 324.8 326.75 0.01172 6.64 1178.91 346.37 1.08
(2) 7630 319.79 324.57 324.79 326.74 0.011773 6.6 1194.39 355.71 1.08
(3) 7630 319.79 324.82 324.85 326.71 0.009474 6.17 1282.02 361.43 0.98
(4) 7630 319.79 324.82 324.85 326.71 0.009474 6.17 1282.02 361.43 0.98 (1)精準化斷面 47-1 下游五個斷面。
(2)只精準化 47-1 斷面。
(3)精準化 47-1 斷面與其上游至斷面 53-1 止(10 個斷面)。
(4)精準化 47-1 斷面與其上游至斷面 67-1 止(35 個斷面)。
表 3-1 東勢大橋水理分析結果
QTotal
Min Ch El
W.S.
Elev Crit W.S.
E.G.
Elev
E.G Slope
Vel Chnl
Flow Area
Top Width Froude# Chl
(m3/s) (m) (m) (m) (m) (m/m) (m/s) (m2) (m)
Mixed 7630 320.01 324.53 324.8 326.75 0.01172 6.64 1178.91 346.37 1.08 Subcritical 7630 320.01 324.82 324.82 326.71 0.009099 6.14 1280.94 354.71 0.96 Supercritical 7630 320.01 324.53 324.8 326.75 0.01172 6.64 1178.91 346.37 1.08
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水理模型，並加以分析。因 HEC-RAS 模 型中共有 98 個斷面，目前僅斷面 47-1 使 用六種不同斷面分析，其餘斷面皆僅使用 2012 年之斷面資料進行分析。
(四)流速與洪水位分佈形式之確定 經由前述內容建立 HEC-RAS 模型 後，為了可以實際地估算流速與水位的變 異性，藉由位於東勢大橋上游的馬鞍壩 96 筆放流資料[7]，可以產生 96 筆位於東 勢大橋的流速及水位，並先以機率分佈圖 (probability paper)觀察適合的分佈形式 (probability distribution function, pdf)，如 圖 3-6 所示(由上至下分別為常態分布、
指數常態分布、Rayleigh 分布、對數常態 分布、極值分布及 Weibull 分布)。
圖 3-5 東勢大橋模型
圖 3-6 Probability Paper
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由於機率分佈圖並無法提供數字化 的判讀結果，因此，本文進一步利用卡方 檢定判斷HAC-RAS輸出資料的pdf。其中，
在進行卡方檢定時，異常(outlier)的輸出值 不列入計算。如前述，本文共考慮六個年 份的斷面，可預期地，每個年份最合適的 pdf並不相同，取而代之地，本文先設定一 個pdf，然後檢查各年份的p-value是否均大 於判定值(一般等於0.05)，若符合上述條件 表示此選定的pdf雖然不是某些年份的最 佳選擇，整體而言，是足以描述東勢大橋 的水位與流速，算出之p-value如表3-4所示 (因篇幅有限，故以2012年斷面為例)。滿足 以上條件的pdf可以預期地，可能不只一個，
如本文發現常態(normal)與對數常態(log- normal)均滿足以上說明。由於稍後本文將 利用貝氏定理更新水位與流速，為簡化計 算，在兩者(常態與對數常態)皆滿足的情 形下，本文選擇以常態分佈來描述水位與 流速。因為常態分佈具有很長的尾端(tail)，
此現象可能導致進行MCS時會有負數產 生，然而實際上並不可能有負的流速與水 位，若發生此現象，本文以零取代所產生
的負值。因為，流速與水位的平均值均遠 大於零，上述產生負值的現象並不常發生。
另、六個年份中的三個年份(2008、2005及 2000年)所產生之流速並無任何合適的pdf，
鑑於多數資料均可順利找到適合的pdf(六 年的水位與三年的流速)，本文目前仍假設 其為常態分佈，詳細的原因在後續研究中 將持續追蹤。另、流速與水位的標準差可 由HEC-RAS的輸出經簡單的計算後求得。
(五)利用貝氏定理更新流速與洪水位之平 均值
根據前述，流速與水位的 pdf 與標準 差均已求得，由於本文所得之流速與水位 的平均值與文獻有段差距，為求文獻與本 文分析結果並重，本文假設文獻中的數值 如同專家所提供的意見，且若有新的觀察 值(或試驗值)時，必須加以修正，上述過程 可藉由貝氏定理達成，說明如下。
首先，假設東勢大橋 100 年的計畫洪 水位的平均值遵循~N( , )，其中 , 分別為文獻中之平均值與標準差，其中，
表 3-4 2012 年 水位及流速各分佈 P 值
水位 流速
常態分佈 原 P 值 0.1947 0.1517 修正 outlier 後 P 值 0.447 0.7968 對數常態分佈 原 P 值 0.7932 0.2987 修正 outlier 後 P 值 0.5658 0.2491 極值分布 原 P 值 8.58×10−5 1.52×10−5
修正 outlier 後 P 值 0.0752 0.6537 指數常態分布 原 P 值 3.77×10−24 3.04×10−35
修正 outlier 後 P 值 8.83×10−14 4.08×10−14 Rayleigh 分布 原 P 值 3.98×10−5 5.19×10−10 修正 outlier 後 P 值 6.29×10−6 1.31×10−14 Weibull 分布 原 P 值 0.1552 0.0254
修正 outlier 後 P 值 0.4207 0.8217
9
( , )
N 又 稱 為 事 前 機 率 (prior probability)。目前已知水位與流速將遵循 常態，雖然已有事前機率的資訊，但我們 同時也了解到此資訊( , )並非最終值，
隨時需要更新，在如此的條件下，觀察到 本文分析的結果的機率值可以下式計算。
2
1 1
1 1
exp[ ( ) ] ( , ) 2 2
n n
i
i
i i
x N x
(17)
其中：
n：觀察的個數
(本文採用 30 筆 HAC-RAS 的輸出) xi：每次所觀察到的數值
：未知數(100 年計畫洪水位的平均值)
：假設為已知並等於樣本標準差(節 分析的結果)
上式基本上為 n 個常態分佈函式的連乘，
連乘的結果如下式所示。
( , )
N x
n ───(18) 其中，x 為樣本平均值。根據貝氏定理，
100 年計畫洪水位的平均值之事後機率 ( f( ) )為
( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )
f kL f kN x N
n
(19) 上式為兩個常態函式的乘積，因此，事後 機率之平均值可以計算如下
𝜇′′=𝑥̅(𝜎
′)2+𝑢′(𝜎2⁄ )𝑛
(𝜎′)2+(𝜎2⁄ )𝑛 ───(20) 取得 100 年計畫洪水位與流速的平均 值後，就將上述二值置入可靠度分析中的 平均流速及平均洪水位。亦即，本研究計 算所得為橋梁每 100 年失敗機率的期望值。
二、沖刷深度與 N 值
沖刷深度受到許多因素的影響，主要 受到流速與水位的影響(其他因素如河床 材料，D50粒徑)，文獻《大甲溪石岡壩下游 河段河床穩定方案之研究》1/4與《跨河橋
梁之封橋水位機制探討》[5]提供必要的輸 入參數。目前並未有學者提出專門適用於 大甲溪的沖刷深度公式，因此，本文根據
《河道水位與橋墩沖刷推估模式之建立研 究》[6]所歸納的下列七種適合台灣的沖刷 公式計算東勢大橋之沖刷深度。因為本文 的流速與水位為隨機變數，將上述二值帶 入七個公式所得之沖刷深度亦為隨機變數，
其pdf的決定方法同3.1.4節所述。本文計算 沖刷深度之pdf時使用96筆資料。沖刷深度 之平均值與標準差可由該96筆資料求得。
肆、可靠度分析
本研究在進行耐洪能力評估時考慮多 個破壞方式，所以系統可靠度分析為必要 的分析步驟，且各方程式因具高度非線性 的性質；在此情形下，樣本法為較適合的 可靠度分析工具。因此，在此次研究當中，
我們利用樣本法中的「蒙地卡羅法」作為 我們的可靠度分析工具。
MCS 基本上將可靠度分析視為一個 積分問題，如下所示：
... ( )
f D
P J
fX x dx ───(21) 其中，Pf為破壞機率，D 為所有的破壞區 間，fX(x)為隨機變數的機率分佈函式。因 無法事前得知破壞區間，上式可以改為對 隨機變數全部的區間進行積分，如下... [ ] ( )
f all x
P J
I fX x dx──(22) 其中，I[ ]=1 當g(X)0；I[ ]=0 當g(X)0。 以上積分可藉由下式估算1
1 [ ( ) 0]
N f
j
P J I g
N
X ───(23) (23)式說明執行蒙地卡羅時基本上，就是一個重複使用不同的樣本值(X)，此值 係根據先前計算的結果(如分佈狀態、平均 值、標準差等的資訊)模擬而得，代入破壞 方程式(g(X))判斷是否失效(即求得 I 值)後，
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經由簡單的計數即可求得所需的失效機率。
在本研究中，雖然各隨機變數互相獨立，
但這並表示每一種破壞模式亦為互相獨立，
事實上，各破壞模式存有一定關聯性，在 這樣的情形下，使用非樣本法如 FORM 將 造成計算上的不便且無法提升結果的準確 性。
伍、結果與討論 一、隨機變數分析結果
本研究考量的隨機變數計有水流速、
計畫洪水位(蹲前水位高)、沖刷深度、N 值 與曼寧係數，經過前述計算各隨機變數的 計算結果如下表所示：
表 5-1 本研究所考慮的隨機變數 變數名稱 cov pdf
水流速 6.5 (m/s) 0.273 常態 洪水位 4.91 m 0.319 常態 沖刷深度 7.62 m 0.732 常態 曼寧係數 0.0325 0.222 均勻 如預期地，沖刷深度因為使用許多公 式而具有最大的變異性。當然，沖刷深度 本身的確存有可觀的不確定性，但若未來 可以建立適合大甲溪沖刷深度的預測公式，
相信可以減少如此高的變異係數值。
二、可靠度分析結果
表 5-2 所示為本研究可靠度分析的結 果，由表中可以清楚地看到系統可靠度主 要係由樁頂位移所控制。系統可靠度為 1- 0.095=0.905。此值表示當回歸期 100 年的 洪水發生時，該橋仍可維持正常功能的機 率為 0.905。此值亦表示此橋的年失效機率 約為 9.977x10-4，此值小於國際標準組織 (the International Organization for Standardization, ISO[1]) 所 建 議 的 臨 界 值 (1x10-3)。以上數字說明東勢大橋在洪水來 襲時，其發生破壞的機率並不高。若根據 實際的維修紀錄，東勢大橋近年(2002)剛 完成擴建工程，理應不會有安全性的問題。
本文分析的結果與實際觀察的推論一致。
三、靈敏度分析結果
根據實務的工程經驗得知，樁直徑 與沖刷深度對於橋梁耐洪能力具有相當的 影響力，為檢驗本文所建立的分析模式，
表六試圖對上述兩個參數進行虛擬的修改，
並進行可靠度分析以觀察本文的分析模式 是否可以將輸入值的變化正確地反應到所 計算的可靠度值。由表七可清楚看出，當 樁徑減少時，系統的失效機率將快速地提 供，符合預期；另由該表亦發現，當樁徑 減少到一定程度時(60%)，系統將不只有一 種模式有可能發生失效，因此，系統可靠 度分析有其必要性。另、由系統的失效機 率可推知，樁頂位移仍主宰系統的性能表 現，且基樁拉拔力、基樁剪應力與樁頂位 移的相關性很低，因為整體的破壞機率僅 由樁頂的 0.9846 提升至 0.9847，並不顯著。
另、由表 5-3 中可知，當沖刷深度增加 40%
時，失效機率提升了 5.5 倍，顯示沖刷深 度對於系統可靠度的影響呈現高度非線性 的影響，此點亦與實務觀察相符。
四、結論
本研究主要目標在發展一個橋梁耐洪能力 的評估方法，其中，參數的不確定性為評 估的重點，上述不確定性係藉由可靠度分 析加以考量。橋梁耐洪能力為一個跨領域 的問題，其牽涉的知識甚廣，本研究目前 的分析僅為一個初步的成果，未來仍有改 善的空間。雖然如此，相較於目前的評估 過程；如穩定度分析、側推分析或評估表 等，本研究將參數的不確定性納入考量，
提供更精確的分析結果。本研究方法相較 於之前的評估過程，除了考慮洪水位、流 速及沖刷深度等參數的不確性外，同時亦 將其他參數的不確定性(如不同年代的河 床斷面等)納入考量，建立更精確的分析模 式以提供更準確的結果，在分析過程中得
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式到以下幾點重要的結論：
1.跨河橋梁之耐洪能力評估過程無論從 外力或結構本身狀況而言，均具有高度 隨機性，導入可靠度分析可提供更精確 的結果做為決策者重要的參考資料。
2.跨河橋梁之耐洪能力評估需考慮多個 破壞方程式，系統可靠度分析為必要之 分析步驟，且各方程式可能為非線性；
在此情形下，樣本法(MCS)為較適合的 可靠度分析工具。
3.本文假設橋梁為串聯系統，所得之破壞 機率是以單座橋墩破壞即判定橋梁失 效的原則下所計算出，因此本研究所得 到的結果偏保守。
4.進行可靠度分析時，不確定之參數增加 了不同年代之斷面，因此所建立的橋梁 系統破壞機率分析流程更貼近實際，分 析結果將河床斷面對於橋梁耐洪能力 的影響納入考量。
參考文獻
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溪石岡壩下游河段河床穩定方案之研 究，2011
10.經濟部水利署水利規劃試驗所，大甲 溪流域整體治理規劃檢討，2011 表 5-3 東勢大橋可靠度之靈敏度分析結果
樁徑減少 20% (從 1.5m 減少到 1.2m)
破壞模式 土壤乘載力 基樁拉拔力 基樁剪應力 基樁軸向應力 樁頂頂位移 系統
失效機率 ~0 ~0 ~0 ~0 0.3806 0.3806
樁徑減少 60% (從 1.5m 減少到 0.6m)
破壞模式 土壤乘載力 基樁拉拔力 基樁剪應力 基樁軸向應力 樁頂頂位移 破壞模式
失效機率 ~0 0.2534 0.3178 ~0 0.9846 0.9847
沖刷深度增加 40% (從 7.62m 增加到 10.668m)
破壞模式 土壤乘載力 基樁拉拔力 基樁剪應力 基樁軸向應力 樁頂頂位移 破壞模式
失效機率 ~0 ~0 ~0 ~0 0.5252 0.5252
表 5-2 東勢大橋可靠度分析結果
破壞模式 土壤乘載力 基樁拉拔力 基樁剪應力 基樁軸向應力 樁頂頂位移 系統
失效機率 0 0 0 0 0.095 0.095
