第八章 不等式及其應用
8-1 二元一次不等式的圖形與線性規劃
二元一次不等式的圖形
1. 二元一次不等式的定義:
設a、b、c為實數,且a、b不同時為 0,則ax by+ + > 、c 0 ax by+ + ≥ 、c 0 ax by+ + < 、c 0 0
ax by+ + ≤ 等形式,均稱為二元一次不等式。 c 2. 二元一次不等式的圖形:(左、右側半平面)
設直線 L :ax by+ + = ,且c 0 a>0,則
不等式 ax by+ + > c 0 ax by+ + ≥ c 0 ax by+ + < c 0 ax by+ + ≤ c 0
圖形
備註 大於 ⇒ 右側 小於 ⇒ 左側
(1)若二元一次不等式中x 的係數a< 時,務必移項整理,使得 x 的係數為正。 0 (2)若圖形包含直線 L ,則直線 L 以實線畫出;若圖形不包含直線 L ,則直線 L 以虛線
畫出。
3. 二元一次不等式的圖形:(上、下側半平面)
設直線 L : y k= ,(即直線 L :ax by+ + = 中,當c 0 a=0時),則
不等式 y> k y≥ k y< k y≤ k
圖形
備註 大於 ⇒ 上方 小於 ⇒ 下方
4. 二元一次聯立不等式的圖形:
(1)兩個或兩個以上的二元一次不等式並列,稱為二元一次聯立不等式。
(2)二元一次聯立不等式的圖形為各二元一次不等式圖解的交集。
二元一次不等式的圖形 圖示下列二元一次不等式的解:
(1) 3− x− + < (2)y 6 0 y≤ 。 3 (1)原式 ⇒ 3x+ − >y 6 0
令3x+y=6 x 0 2 y 6 0
(2)令y=3 x 0 3 y 3 3
圖示下列二元一次不等式的解:
(1) 4x+3y− ≤4 2x+4y (2)x> −3。 (1)原式 ⇒ 2x− ≤y 4
令2x− =y 4 x 0 2 y −4 0
(2)令x= −3 x −3 −3 y 0 −3
參考 NO.1
聯立不等式的圖形
圖解二元一次聯立不等式 3 6 0
2 6 0 x y
x y
− − <
+ − ≥
。
令3x− − =y 6 0 x 0 2 y −6 0 令x+2y− =6 0 x 0 6 y 3 0
圖解二元一次聯立不等式 3
2 3 6 x y
x y
− ≥
+ <
。
令x− =y 3 x 0 3 y −3 0 令2x+3y=6 x 0 3 y 2 0
參考 NO.2
聯立不等式區域面積 試求不等式組:x≥0,y≥ ,0 x+3y≤30,
2x+ ≤y 20所圍成的區域面積。
令x+3y=30 x 0 30 y 10 0 令2x+y=20 x 0 10
y 20 0 3 30
2 20
x y
x y
+ =
+ =
⇒ 交點(6,8)
∴ 所圍區域面積=2個三角形面積之和 1 1
10 8 10 6
2 2
= × × + × ×
=70
試求聯立不等式 0
3 6
2 3 6 0
y x x y
≥
≤ ≤
− + ≥
所圍成的區
域面積。
令2x−3y+ =6 0 x 0 −3 y 2 0
3 x= x=6
∴ 所圍區域面積 (4 6) 3 2 15 + ×
= =
參考 NO.3、NO.4
不等式區域面積 試求不等式| | | | 6x + y ≤ 所圍成的區域面積。
令| |x +|y|=6 當x=0,y= ±6 當y=0,x= ±6
∴ 所圍區域面積 1
4 4 6 6 72
= ∆ = × × × =2
求聯立不等式 | | 6
| | 6 x y x y
+ ≤
− ≤
圖形的區域面積。
原式 ⇒
6 6
6 6
x y x y
− ≤ + ≤
− ≤ − ≤
⇒
6 6 6
6 x y x y x y x y
+ ≤
+ ≥ −
− ≤
− ≥ −
∴ 所圍區域面積 1
4 4 6 6 72
= ∆ = × × × =2
參考 NO.5、NO.6
線性規劃
以二元一次聯立不等式來表示問題中的限制條件,再以線性函數 ( , )f x y 表示問題中想要達成
的目標(稱為目標函數)。利用二元一次聯立不等式的圖形所圍成的區域(稱為可行解區域),
求出目標函數 ( , )f x y 的最大值與最小值(稱為最佳解),此類問題稱為線性規劃。
目標函數 f x y( , )的最佳解,必發生在可行解區域的各頂點坐標上。
線性規劃
在 不 等 式
0
0 5
4 0 2 0 y
x x y x y
≥
≤ ≤
+ − ≥
− + ≥
的 條 件 下 , 求 函 數
( , )
f x y =5x+2y− 的最大值和最小值。 3 令x+ − =y 4 0 x 0 4
y 4 0 令x− + =y 2 0 x 0 −2 y 2 0 4 0
2 0 x y
x y + − =
− + =
⇒ 交點(1, 3)
( , )x y (4, 0) (5, 0) (5, 7) (1, 3) ( , )
f x y 17 22 36 8
∴ 最大值 36,最小值 8
在 不 等 式 0 0
5 0
2 2 0
x y x y
x y
≥
≥
+ − ≤
− + ≥
的 條 件 下 , 求 函 數
( , ) 2 5
f x y = x− y的最大值和最小值。
令x+ − =y 5 0 x 0 5 y 5 0 令2x− + =y 2 0 x 0 −1 y 2 0 5 0
2 2 0
x y x y
+ − =
− + =
⇒ 交點(1, 4)
( , )x y (0, 0) (5, 0) (1, 4) (0, 2) ( , )
f x y 0 10 −18 −10
∴ 最大值 10,最小值−18
參考 NO.7、NO.8、NO.9、NO.10、NO.11、NO.12
( B ) 1. 在直角坐標平面上,設點 (1, )b 滿足不等式ax+3y− ≥ ,則數對 ( , )6 0 a b 可為下列何 者? (A) (1,1) (B) ( 5,5)− (C) ( 1, 1)− − (D) (5, 5)− 。 【100 統測】
( D ) 2. 已知點 Q 為二元一次聯立不等式 2 3 6 0 5 4 20 0
x y x y
+ + ≥
− + <
圖形上的一點,則 Q 之坐標可能為
下列何者? (A) ( 5,0)− (B) ( 2,0)− (C) (0,5) (D) (0,6) 。 【101 統測】
( D ) 3. 在坐標平面上,滿足不等式方程組
≥
≥ +
−
≤
− +
0
0 3 3
0 6 2
y y x
y x
的區域,其面積為何?
(A)22 (B)5
32 (C)5
42 (D)5
48 。 5 【98 統測】
( A ) 4. 在坐標平面上,滿足聯立不等式
9 3 5
0 0 x y x y x y
+ ≤
− ≤
≥
≥
區域的面積為何? (A)77
2 (B)79 2
(C)81
2 (D)83
2 。 【104 統測】
( D ) 5. 聯立不等式 | | 8
| | 8 x y x y
+ ≤
− ≤
之圖形區域面積為何? (A) 64 (B) 86 (C) 100 (D) 128。
【96 統測】
( B ) 6. 在坐標平面上,求二元一次聯立不等式 | 2 | 2
| 2 | 2 x y x y
− ≤
+ ≤
的解所成的區域面積為 (A) 2
(B) 4 (C) 6 (D) 8。 【102 統測】
( C ) 7. 在x≥0,y≥ ,1 x+y≤ 的條件下, 2x2 − 的最大值為何?y (A) 2− (B) 1− (C) 1
(D) 2。 【101 統測】
( A ) 8. 已知x≥0,y≥ 且 20 x+y≥20,求x+ + 之最小值為何? (A) 16 (B) 17 (C) 18 y 6
(D) 19。 【99 統測】
( D ) 9. 坐標平面上,已知x≥0,y≥ ,且0 x+2y≤ , 37 x+ ≤ ,則y 6 x+y之最大值為何?
(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4。 【98 統測】
( B ) 10. 若在聯立不等式
2 0
3 7
4 0
x y x y x y
− ≥
+ ≤
− ≤
的條件下,目標函數 ( , ) 2f x y = x−3y− 的最大值為 M ,2
最小值為m,則M+m=? (A)−5 (B)−3 (C) 3 (D) 5。 【104 統測】
( D ) 11. 在| |x +|y| 1≤ 的條件下,求函數 ( , )f x y =2x−3y的最大值為何? (A)−3 (B) 2−
(C) 2 (D) 3。 【103 統測】
( D ) 12. 在坐標平面上,在|x−1|+|y−3 |≤ 的平面區域中,2 x+2y的最大值為何? (A) 3
(B) 5 (C) 9 (D) 11。 【97 統測】
8-2 一元二次不等式與絕對不等式
一元一次不等式 1. 不等式之基本性質:設a、b、c為實數
(1)若a>b且b>c,則a>c。 (2)若a>b,則a+ > +c b c。 (3)若a>b且c>0,則ac>bc。 (4)若a>b且c<0,則ac<bc。 2. 一元一次不等式:
設a、b∈R且a≠0,則ax+ ≥b 0、ax+ >b 0、ax+ ≤b 0、ax+ <b 0稱為一元一次不等式。
不等式 解 圖示
a>0
0
ax+ ≥b b
x≥ − a
ax b+ >0 b
x> − a
0 a<
0
ax+ ≥b b
x≤ − a
0
ax b+ > b
x< − a
空心圓圈「」表示圖形不包含此點;實心圓圈「•」表示圖形包含此點。
一元一次不等式
解不等式4x− <5 2x+6,並圖示其解。
原式 ⇒ 4x−2x< +6 5 ⇒ 2x<11
⇒ 11 x< 2
解不等式 1
2 3 3 x x
− + ≤ − ,並圖示其解。
不等式兩邊同乘 6
原式 ⇒ −6x+ ≤3 2x−18 ⇒ −8x≤ −21 ⇒ 21
x≥ 8
一元二次不等式
1. 一元二次不等式的定義:
設a、b 、c為 實 數 , 且a≠0, 則ax2+bx+ > 、c 0 ax2 +bx+ ≥ 、c 0 ax2+bx+ <c 0、
2 0
ax +bx+ ≤ 等形式,均稱為c 一元二次不等式。
解一元二次不等式可先限制a> ,若0 a< 可將不等式兩邊同乘以 10 − ,使二次項 係數為正。以下討論均限制a> 。0
2. 一元二次不等式的解法與圖示:
設一元二次方程式ax2+bx+ = 有兩相異實根c 0 α 、
β
(其中α
<β
)不等式 解 圖示
(x−
α
)(x−β
)< 0α
< <xβ
(x−α
)(x−β
)≤ 0α
≤ ≤xβ
(x−α
)(x−β
)> 0 x>β
或x<α(x−
α
)(x−β
)≥ 0 x≥β
或 x≤α
一元二次不等式
試求不等式3x2+2x+ <1 4x2− 之解。 2 原式 ⇒ x2 −2x− >3 0
⇒ (x−3)(x+1)>0 ⇒ x>3或x< −1
試求不等式−x2+3x+ ≥ 之解。 4 0 原式 ⇒ x2−3x− ≤4 0
⇒ (x−4)(x+1)≤0 ⇒ − ≤ ≤1 x 4 參考 NO.1、NO.2
反求一元二次不等式 若 不 等 式 −x2+ax b+ <0 的 解 為 x>2 或
x< −3,試求a+b之值。
∵ x>2或x< −3
∴ (x+3)(x−2)>0
⇒ x2+ − >x 6 0
⇒ −x2− + <x 6 0
∴ a= −1,b=6
⇒ a+ =b 5
若不等式ax2+bx− < 的解為6 0 − < <1 x 3,試 求a+b之值。
∵ − < <1 x 3
∴ (x+1)(x−3)<0
⇒ x2−2x− <3 0
⇒ 2x2−4x− <6 0
∴ a=2,b= −4
⇒ a+ = −b 2
參考 NO.3、NO.4、NO.5
絕對值不等式 設a>0、b>0,則
1. | f x( ) |< ⇔ a − <a f x( )< 。 a
2. | f x( ) |≥ ⇔ a f x( )≥ 或 ( )a f x ≤ − 。 a 3. | f x( ) |>| ( ) |g x ⇔ [ ( )]f x 2 >[ ( )]g x 2。
4. a≤| f x( ) |< ⇔ b a≤ f x( )< 或b − <b f x( )≤ − 。 a 絕對值不等式 試求下列不等式之解:
(1)| 2x−3 |> (2)1 |9 < x+2 |≤ 。 7 (1)原式 ⇒ 2x− >3 9或2x− < −3 9
⇒ x>6或x< −3
(2)原式 ⇒ 1< + ≤x 2 7或− ≤ + < −7 x 2 1 ⇒ − < ≤1 x 5或− ≤ < −9 x 3
試求下列不等式之解:
(1)| 3 2 |− x < (2) 2 |7 ≤ x−5 |< 。 6 (1)原式 ⇒ − < −7 3 2x<7
⇒ −10< −2x<4 ⇒ − < <2 x 5
(2)原式 ⇒ 2≤ − <x 5 6或− < − ≤ −6 x 5 2 ⇒ 7≤ <x 11或− < ≤1 x 3
參考 NO.6、NO.7、NO.8
絕對值不等式 試求不等式|x+5 |≤| 3−x|之解。
兩邊平方得(x+5)2 ≤(3−x)2
⇒ x2+10x+25≤x2 −6x+9
⇒ 16x≤ −16
⇒ x≤ −1
試求不等式| 2x+1|>|x−1|之解。
兩邊平方得(2x+1)2 >(x−1)2
⇒ 4x2+4x+ >1 x2 −2x+1
⇒ 3x2+6x>0
⇒ 3 (x x+2)>0
⇒ x>0或x< −2
參考 NO.9
絕對不等式
1. 算幾不等式:(算術平均數≥幾何平均數)
設a、b、c為正數,則 2
a b+ ab
≥ 。
2. 柯西不等式:
設a 、1 a 、2 b 、1 b 為任意實數,則2 (a b1 1+a b2 2)2 ≤(a12+a22)(b12 +b22)。 3.三角不等式:
設a、b為任意實數,則| | | | |a + b ≥ a b+ |。
算幾不等式 設a、b為二正數,且a b2 =27,試求2a b+ 的
最小值。
∵ a、b為二正數
⇒ 3 2
3 a a b
+ + a b
≥
⇒ 2 3
27 3 3
a b+
≥ =
⇒ 2a+ ≥b 9
∴ 2a b+ 的最小值為 9
若x>0,y> ,且 30 x+2y=12,試求 xy 的 最大值。
∵ x>0,y>0
⇒ 3 2
3 2 2
x y
x y
+ ≥ ×
⇒ 12
2 ≥ 6xy
⇒ 6xy≤36
⇒ xy≤6
∴ xy的最大值為 6
參考 NO.10、NO.11、NO.12、NO.13
柯西不等式 若x、 y 為實數,且x2+y2 =20,試求 2x y+
的最大值與最小值。
2 2 2 2 2
(2x+y) ≤(2 +1 )(x +y )
⇒ (2x+y)2≤ ×5 20
⇒ −10≤2x+ ≤y 10
∴ 最大值為 10,最小值為−10
若x、 y 為實數,且 3x+4y=15,則x2+y2的 最小值。
2 2 2 2 2
(3x+4 )y ≤(3 +4 )(x +y )
⇒ 152 ≤25 (× x2+y2)
⇒ x2+y2 ≥9
∴ 最小值為 9
參考 NO.14
三角不等式 若 ( ) | 2f x = x+5 |+| 2x−3 |,試求 ( )f x 的最小
值。
| 2x+5 |+| 2x−3 |=| 2x+5 |+| 3 2 |− x
| (2x 5) (3 2 ) |x 8
≥ + + − =
∴ 最小值為 8
若 ( ) | 3f x = x+1|+| 4 3 |− x ,試求 ( )f x 的最小 值。
| 3x+1|+| 4 3 |− x ≥| (3x+1)+(4 3 ) |− x =5
∴ 最小值為 5
參考 NO.15、NO.16
( C ) 1. 下列何者為不等式3x2−3x≤ 之解?6 (A)x≤ −2或x≥1 (B)− ≤ ≤2 x 1
(C)− ≤ ≤1 x 2 (D)x≤ −1或x≥2。 【101 統測】
( C ) 2. 下列何者與不等式x2−6x−16< 有完全相同的解?0 (A) (x−2)(x+8)<0
(B)− < − <3 x 5 3 (C)(x−3)2 <25 (D)−x2+6x+16< 。 0 【104 統測】
( C ) 3. 已知ax2 +2x+c>0的解為−1<x<3,則a+ 之值為何?c (A) 4− (B) 2− (C) 2
(D) 4。 【105 統測】
( A ) 4. 設a和b均為實數,若不等式ax2+bx− < 的解為5 0 3 5 2 x 3
− < < ,則a+ =b ? (A)5 3 (B)7
3 (C) 5 (D) 7。 【102 統測】
( B ) 5. 若不等式ax2+bx+ < 之解為c 0 1< <x 2,則不等式bx2+cx+ ≥ 的整數解有幾個?a 0
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【94 統測】
( C ) 6. 下列何者與不等式|x−4|<8的解相同? (A)(x+4)(x−12)>0
(B)(x−4)(x+12)>0 (C)(x+4)(x−12)<0 (D)(x−4)(x+12)<0。 【95 統測】
( D ) 7. 不等式| 3x−5 |< 的解為整數者共有多少個? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。 9
【93 統測】
( D ) 8. 已 知4<(2x−3)2 <25, 試 求x的 範 圍 為 何 ? (A) 5 1 x 2
− < < (B) 3 2 x 1
− < < − 或
5 4
2< < (C)x − < <1 x 4 (D) 1 1 x 2
− < < 或5
2< < 。 x 4 【91 統測】
( B ) 9. 下列何者為不等式 x+5 ≥ 2−x 的解? (A) 3 2 x 2
− ≤ ≤ (B) 3
x≥ −2 (C)− ≤ ≤5 x 0
(D)x≥ −5。 【96 統測】
( C ) 10. 若想要利用一條繩子圍出一個面積至少為 25 平方公尺的矩形花園,則所需要的繩子 總長度至少須為多少公尺? (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D) 24。 【104 統測】
( D ) 11. 設x>0、y> 、0 x+y= ,則6 xy 之最大值為何?2 (A) 16 (B) 18 (C) 25 (D) 32。
【103 統測】
( C ) 12. 設x、 y 、 z 皆為正實數,且xy+yz+zx=27,則 xyz 之最大值為何? (A)12 23
(B)18 (C)27 (D)27 23 。 【103 統測】
( D ) 13. 已知x、 y 、 z 均為正實數。若x、 y 、 z 滿足 2x+3y+ =z 12,則下列何者為真?
(A) xyz 的最大值為 12 (B)x y z 的最大值為 322 3 (C)xyz 的最大值為 482 (D)xy z 的2
最大值為 18。 【102 統測】
( A ) 14. 已知x、 y 為實數且x+3y= ,則1 x2 +y2的最小值為何? (A) 1
10 (B) 1 10
(C) 10 (D) 10。 【101 統測】
( C ) 15. 求函數f x( )=|x+4 |+|x−3 |的最小值為何? (A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 12。
【97 統測】
( C ) 16. 若f(x)=4|x+1|+3|2x−1|,則 f(x)的最小值為何? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 9。
【96 統測】
( C ) 1. 求聯立不等式
1 2 1 x y x y
+ ≤
≥ −
≥ −
所圍成的區域面積為 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10。 【8-1】
( B ) 2. 求聯立不等式 0 0
10 2 12 x
y x y x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
所圍成的區域面積為 (A) 32 (B) 34 (C) 36 (D) 38。
【8-1】
( C ) 3. 不等式3x+2y> 的圖形不通過第幾象限?6 (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 【8-1】
( A ) 4. 不等式 6x−7y− + ≥ 之圖解不包含原點,則a 3 0 a的範圍為 (A)a>3 (B)a<3
(C)a≥3 (D)a≤3。 【8-1】
( B ) 5. 已知 (5, )k 為聯立不等式 2 3 0
3 8 0
x y x y
− + ≥
+ − >
的解,則k的範圍為 (A)7<k≤13
(B)− <7 k≤13 (C)7<k≤9 (D)− <7 k≤9。 【8-1】
( C ) 6. 在不等式組 0 0 2 3 12
2 4
x y
x y x y
≥
≥
+ ≤
− ≤
的條件限制下,目標函數 ( , ) 5f x y = x− + 的最大值為 M ,y 1
最小值為m,則M+m= (A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14。 【8-1】
( D ) 7. 在
0 0
2
3 6
x y
x y x y
≥ ≥
− ≥ −
+ ≤
,
的條件下, ( , )f x y = +x 3y的最大值為 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10。
【8-1】
( B ) 8. 坐標平面上,不等式方程組y≤ + ,x 2 x≤0,y≥ 的區域面積為何? (A) 1 (B) 2 0
(C) 3 (D) 4。 【8-1】
( C ) 9. 坐標平面上, | |x +|y|≤ 所圍成的區域面積為 (A) 9 (B) 12 (C) 18 (D) 36。 3
【8-1】
( D ) 10. 聯立不等式 | | 8
| | 8 x y x y
+ ≤
− ≤
之圖形區域面積為何? (A) 64 (B) 86 (C) 100 (D) 128。
【8-1】
CHAPTER 8 不等式及其應用
( C ) 11. 在 3 | | 2 |x + y|≤ 的條件下, ( , )6 f x y =2x−3y的最大值為 (A) 4 (B) 6 (C) 9
(D) 12。 【8-1】
( D ) 12. 在坐標平面上,在|x−1|+|y−3 |≤ 的平面區域中,2 x+2y的最大值為何? (A) 3
(B) 5 (C) 9 (D) 11。 【8-1】
( B ) 13. 滿足不等式2 1 3
3x+ ≤ −1 2x+4的最大整數為 (A) 2− (B) 1− (C) 0 (D) 1。 【8-2】
( B ) 14. 設不等式ax+ >2 4(x−1)之解為x<3,則a之值為 (A) 2− (B) 2 (C)−6 (D) 6。
【8-2】
( C ) 15. 求不等式3 5− x−2x2 > 的解為 (A)0 x>2或 1
x< − (B)2 1
x>2或x< −3
(C) 1
3 x 2
− < < (D)1
2< < 。 x 3 【8-2】
( A ) 16. 設a、b為實數,若不等式ax2+4x b+ < 之解為0 5 1 2 x 2
− < < ,則a+ =b (A) 1
−2 (B) 3
−2 (C)1
2 (D)3
2。 【8-2】
( B ) 17. 若不等式ax2+bx+ < 之解為c 0 1< <x 2,則不等式bx2+cx+ ≥ 的整數解有幾個? a 0
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【8-2】
( D ) 18. 滿足不等式| 2x−3 |< 的整數解共多少個? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【8-2】 5 ( C ) 19. 設x為整數,則1 |≤ x+1|< 之解共有 (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 個。 5 【8-2】
( A ) 20. 設x為實數,不等式|x−2 |≤| 2x+1|之解為 (A) 1
x≥3或x≤ −3 (B)x≥1或x≤ −1
(C) 1
3 x 3
− ≤ ≤ (D)− ≤ ≤1 x 1。 【8-2】
( D ) 21. 設x、y 均為正實數,若 2x+5y=10,則 xy 的最大值為 (A) 10 (B) 5 (C) 2 (D)5 2。
【8-2】
( B ) 22. 設x、 y 均為正實數,若xy=100,則x+y的最小值為 (A) 10 (B) 20 (C) 100
(D) 200。 【8-2】
( A ) 23. 設x+y= ,則1 x2+y2之最小值為 (A)1
2 (B)1
3 (C)1
4 (D)1
5。 【8-2】
( D ) 24. 求函數f x( )=|x−2 |+|x+5 |的最小值為何? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。 【8-2】