习题课

二、 导数应用

习题课

一、 微分中值定理及其应用

中值定理及导数的应用

第三章

拉格朗日中值定理 )

( )

(a f b

f 

一、 微分中值定理及其应用

1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理

0 )

( 

  f

x y

o a _b

) (x f y 



) (

) ( )

( )

(

) ( )

(



 F

f a

F b

F

a f b

f



 





a b

a f b

f f



 

 ( ) ( )

) ( )

( )

(

) (

b f a

f

x x

F  

0 1 )

1 (

! ) 1

( _1 ^ ( )(  ) ^

 _n f ⁿ  x x ⁿ

柯西中值定理

x x

F( ) 



y

o a b

) (x f y 

泰勒中值定理 ) )(

( )

( )

(x f x₀ f x₀ x x₀

f    

n n

n¹_! f ^{( )}(x₀)(x  x₀)



 0 n

2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式

(3) 证明有关中值问题的结论

3. 有关中值问题的解题方法

利用逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法 : (1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,

(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,

(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,

可用原函数法找辅助函数 .

多用罗尔定理 ,

可考虑用 柯西中值定理 .

必须多次应用 中值定理 .

(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公 式 ,

(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技 巧 .

有时也可考虑对导数用中值定理 .

例 1. 设函数 f (x) 在 ( ba, ) _{内可导 , 且} f (x)  M , 证明 f (x)在 ( ba, ) _{内有界 .}

证 : 取点x₀ (a,b), _再取异于 x_{0 的点} x ( ba, ), _对 x

x x

f ( )在以 ₀ , 为端点的区间上用拉氏中值定理 , 得 )

)(

( )

( )

(x f x₀ f x x₀

f   





) )(

( )

( )

(x f x₀ f x x₀

f    





0

0) ( )

(x f x x

f   





) (

)

(x₀ M b a

f  

  K ⁽ 定

可见对任意 x ( ba, ), f (x)  K , _{即得所证 .}数 )

例 2. 设

f (x )

0 )

1 ( 

f _{证明至少存在一点}



 )(



, ) 1 , 0

(



上连续 , 在(0,1)

( ) 2 f

证 : 问题转化为证









显然



故至 ,

) 1 , 0

(



0 )

( )

( 2

)

(   ²  



    



即有 f  )(



例 3. 设 f (x)在[a,b]上连续，在(a，b)内可导, 且 ,

0  a  b 试证存在 ( ).

) 2

(







f    

使 ,

) , (

,





证 : 欲证 ,

2 ) ( )

(





 f

b a

f 

 



因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条

件 ,

故有 )

, ( ,

) )(

( )

( )

(b f a f b a a b

f   





, ]

, [ )

( 及 ² 在 上满足柯西定理条件

又因 f x x a b

) , ( 2 ,

) ( )

( )

(

2

2 f a b

a b

a f b

f  

 

 



 将①代入② , 化简得

故有

①

② ),

2 ( )

(







f    





即要证 .

2 ) ( )

)(

(

2

2 



 f

a b

a b

f 

 

 

例 4. 设实数a₀ , a₁ ,,a_n 满足下述等式 1 0

2

0 1 

 



 n

a a

a  ⁿ

证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有

个实根 . 一

1 0

0  a x   a_nxⁿ 

a 

证 : 令F(x)  a₀  a₁x  a_nxⁿ, ^则可设

1 1 2

0 2 1

)

( ^

 





 ⁿ xⁿ

n x a

x a a x

F 

, ]

1 , 0 [ )

(

, 上 上 上 上

上 上 F x 且 F(0) 

由罗尔定理知存在一点







, )

1 , 0

( 内可导

在 ,

0 )

1 (  F

例 5.设函数 f (x) 在 [0, 3] 上连续 , 在 (0, 3) 内可导 , 且 ,

1 )

3 ( ,

3 )

2 ( )

1 ( )

0

(  f  f  f 

f



. 0 )

( 





分析 : 所给条件可写为 ^{f (0) f} ₃^{(1) f (2)}  1, f (3)  1 试证必存在

想到找一点 c , 使 f (c)  ^{f (0) f} ₃^{(1) f (2)}

证 : 因 f (x) 在 [0, 3] 上连续 , 所以在 [0, 2] 上连续 , 且在 [0, 2] 上有最大值 M 与最小值 m, 故

M f

f f

m  (0), (1), (2)  m  ^{f (0) f} ₃^{(1) f (2)}  M 由介值定理 , 至少存在一点 c [0, 2] , 使

3

) 2 ( )

1 ( )

0

) (

(c ^{f f f}

f  ^{ }  1

, 1 )

3 ( )

(c  f 

 f 上 f (x)上 [c,3] 上 上 上 , 上 (c, 3)上 上 上 , 由罗尔定理知 , 必存在





, 2 )

( 

 x f

例 6. 设函数 f (x) 在 [0,1] _{上二阶可导 ,} f (0)  f (1), 且 证明 f  x( ) 1.

证 :  x [0,1] , 由泰勒公式得

) 0 ( f

) 1 ( f

两式相减得 0  f (x)  ₂¹ f (





2 12

2

12 ( )(1 ) ( ) )

(x f x f x

f   







2 21

2

12 f (







2

)2

1

(  x  x

 1 2 x(1 x) 1, x [0,1] )

(x

 f  f (x) x  ₂¹ f ^(





( )

1 )(

( )

1 )(

( )

(     ₂¹   ²  

 f x f x x f





二、 导数应用

1. 研究函数的性态 :

增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题

• 目标函数的建立与简化

• 最值的判别问题

3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;

相关变化率 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等 .

的连续性及导函数 例 7. 填空题

(1) 设函数f

(

) 在 (  ,  ) 上连续，

的 则

(x )

, 单调减区间为 ;

极小值点为 ; 极大值点为 .

) (x ) f 

, 0 ( ), ,

( x₁ x₂ ) ,

( ), 0 ,

(x₁ x₂  

2 1, x x

 0 x 提示 :

根据

(x )

的正负作 f (x) 的示意图 .

单调增区间为 ;

o x₂ x1

y

x

o x

) (x f

x1 x₂

o

) (x f

x .

在区间 上是凸弧 ; 拐点为

) ,

0 ( ), ,

( x₁ x₂

)) 0 ( ,

0 ( , )) (

, (

, )) (

,

(x₁ f x₁ x₂ f x₂ f

提示 :

根据

(

) 的可导性及

 (

)

形在区间 上是凹弧 ;

则函数 f (x) 的图

(2)

(

) 在 (  ,  ) 上可导，

的图形如图所示 , ) ,

( ), 0 ,

(x₁ x₂  

) (x f 

o x2

x1

y

x

x2

) (x

x1

] ln )

1 ln(

[ )

) ( (

1 f x x x

x

f    

例 8. 证明f (x)  (1 ¹_x)^x 在 (0, )_{上单调增加 .} 证 : ln f (x)  xln(1 ¹_x)

] ln )

1 ln(

[ x x

x  



1 ] ln 1

) 1

ln(

[ 1 )

1 ( )

( x x x

x x

f ^x

 







 



令F(t)  ln t , 在 [ x , x +1 ] 上利用拉氏中值定理 ,

1 ] 1

[ 1

x

x x 

 

) 1 0

1 ( ln

) 1

ln(  x  x   x 





1

故当 x > 0 时 ,f  x( )  0, 从而 f (x) _在 (0, ) _{上单调增 .} 得

例 9. 设f (x)在 (, )_{上可导 , 且} 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .

证 : 设



则



, 0 )

( )

(x  f  x  f

故



又因 e^x  0, _因此 f (x) 也至多只有一个零点 .

思考 : 若题中f (x)  f (x)  0 _改为 f (x)  f (x)  0, 其它不变时 , 如何设辅助函数 ?



例 10. 求数列





证 : 设f (x)  x^1x (x 1), 用对数求导法得 )

ln 1

( )

(x x^{1 2} x f   ^x 

令 f  x( )  0, 得 x  e, x ) (x f 

) (x f

) e ,

1

[ e ( e ,  ) 0

e¹e

 

因为 f (x)_在 [1,  ) 只有唯一的极大点 x  e , 因此在 e

x  _处 f (x) _{也取最大值 .}

又因 2  e  3, 且 2  ⁴ 4  ³ 3, 故³ 3为数列





中的最大项 .

极大值

列表判别 :

例 11. 证明 ( 0). 1

arctan )

1

ln( 

 

 x

x x x

证 : 设





) 1 1

ln(

1 )

(x x x

 





 



故 x  0_{时 ,}







即 ( 0)

1

arctan )

1

ln( 

 

 x

x x x

思考 : 证明 (0 1)

arcsin ) 1

ln(

1

1    



 x

x x x

x 时 , 如何设辅

函数更好 ? 助

x x

x x

x) (1 )ln(1 ) 1 arcsin

(      ²

提示 :



例 12. 设f (0)  0,_且在 [0,  ) 上 f (x) _{存在 , 且单} 递减 , 证明对一切a  0, b  0 ^有 调

) ( )

( )

(a b f a f b

f   

证 : 设





( )

( )

(x  f  a  x  f  x



所以当 x  0时，





0 )

( )

( )

( )

(b  f a  b  f a  f b 



即所证不等式成立 .