习题课 级数的收敛、求和与展开

习题课

级数的收敛、求和与展开

三、幂级数和函数的求法

四、函数的幂级数和付式级数 展开法

一、数项级数的审敛法

二、求幂级数收敛域的方法

) (

0

x u

n





求和

展开 ( 在收敛域内进行 )

) (

0

x u

n





基本问题：判别敛散； 求收敛域；

求和函数； 级数展开 .

为傅立叶级数 .

n b

x n a

x

u_n( )  _n cos  _n sin 当

为傅氏系数 ) 时 ,

时为数项级数 ;

x  当

n n

n x a x

u ( ) 

当

_{时为幂级数 ;}

n n b a , (

一、数项级数的审敛法

1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法

必要条件



 n

n u _不满足

_{发 散}

满足

比值审敛法

n

1

un

un 



根值审敛法







n n nlim u

1



收 敛 发 散

 1

 不定 比较审敛法

用它法判别

积分判别法 部分和极限

1



3. 任意项级数审敛法 为收敛级数



1 n un









Leibniz

判别法 : 若

_且



 n

n u

则交错级数

n

nu







1

) 1

(

_{收敛 ,} 概念 :

且余项



1

n un

若 收敛 , 

1 n un

称 绝对收敛



1

n un

若 发散 , 

1 n un

称 条件收敛

例 1. 若级数  





1 n 1 n

n an 与 b

^{均收敛 , 且}

, ) ,

2 , 1

(n  

_证明级数 

1

n cn

_{收敛 .}

证 :

_则由题设

(

1 n

n





收敛

1 n

n





收敛



1

n c n [( ) ]

1 n n

n c n  a  a







) (

1 n

n c n  a













1

n a n

_收敛

练习题 : P322 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5

解答提示 :

P322 题 2 . 判别下列级数的敛散性 :

) 1 (





n nn n ;

2 )

! ) (

2 (

1 2





n n

n ;

2 ) cos

3 (

1

3





n n

n n^

ln ; ) 1

4 (

2 10





n n (5) ( 0, 0).

1







s n a

a

n s

n

提示 : (1)



 n

n n



据比较判别法 , 原级数发散 .

因调和级数发散 ,

利用比值判别法 , 可知原级数发散 .

用比值法 , 可判断级数 

12

n n

n

因 n 充分大时

1 1

10 n n 

∴ 原级数发散 .

)

! ) (

2 (

1 2





n n

n

2 : ) cos

3 (

1

3



n n

n n^

ln : ) 1

4 (

2 10





n n

: ) 0 ,

0 (

) 5 (

1







s n a

a

n s

n

用比值判别法可知 :

时收敛 ;

时 , 与 p 级数比较可 知

时收敛 ;

1 s

时发散 . 再由比较法可知原级数收敛 .

 1 s

1

a

时发散

.

1 a

1 a



2

1

n n

发散 ,

收敛 ,

P323 题 3. 设正项级

数 

1

n un

_和 

1 n vn







1

)2

(

n un vn

_{也收敛 .}

提示 : 因







 n

n n

n u v

 存在 N > 0,

n n

n

n u v v

u²  , ² 

又因

) (

2 u_n²  v_n²

  2(u_n  v_n ) (n  N)

利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 .

都收敛 , 证明级 数

当 n >N 时

)2

(u_n  v_n

P323 题 4. 设级数 

1

n un

_{收敛 , 且}



 n

n

n u

v



1

n vn

是否也收敛？说明理由 .

但对任意项级数却不一定收敛 .

1 ( u n

n n

 

问级数

提示 : 对正项级数 , 由比较判别法可

知 

1 n vn

级数 

1

n un

_{收敛 ,} 

1 n vn n

n

n u

v



lim

收敛 ,

级数 发散 .

n n

) 1 lim (

1 

   1

例如 , 取

n v n

n n

1 )

1

( 



1 ; ln

) 1 ( )

3 (





 

n

n

n n

P323 题 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛 性 :

1 ; )

1 ( )

1 (







n p

n

n sin ;

) 1 ( )

2 (

1 1 11



   

n n nn





!. ) 1 ) (

1 ( )

4 (

1 1



 

 

n n

n

n n

提示 : (1)

时 , 绝对收

敛 ; 0 < p ≤1 时 , 条件收敛

;

时 , 发散 .

(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛

.

,

故

1 1 收敛



 

n







 

1

ln 1 )

1 ( )

3 (

n

n

n n

1) 1

( 1 ln

ln n n

u_n  n   

因 单调递减 , 且

但

n

n

ln 1

1





 





  

 ⁿ

n k k k

1

ln )

1 ln(

lim

) 1 ln(

lim 

  n

n  

所以原级数仅条件收敛 .

k

n k

k

ln 1

1



 

 

nlim

由 Leibniz 判别法知级数收敛 ;

0 lim 



 n

n u



 

 

1 1

! ) 1 ) (

1 ( )

4 (

n n

n

n n

因

n n

u

u ₁ ( 2) ²

! ) 2 (

 

 n n

n

) 1

1 1 1

1 (

2 _

 



  ⁿ

n n

n

1

! ) 1 (



 nn

n





n e^1  1

所以原级数绝对收敛 .

二、求幂级数收敛域的方法

• 标准形式幂级数 : 先求收敛半径

再讨论

• 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 .

P323 题 7 . 求下列级数的敛散区间

:

1 ( )

2 (

1







n

n n x

n .

) 2 4

( ²

1

n n nn x





练习

:

1



解 :

n

n n

n a n1)

1 ( lim

lim  







 

当

因此级数在端点发散 ,

n e

n 

 1) ^1 1

n (

n e

u 



 ^{(1 1}_n^{) n}

n

n) 1 1

(   1  0 (n  ) e

. 1 ) 1 ,

( e e

 e

时 ,







1

) 2

1 1 ( )

2 (

n

n n x n

1 , R  e

 x e

e

1 1  

即 

_{时原级数收敛 .}

故收敛区间为

n n nn x₂

12 )

4

(





) (

) lim ¹(

x u

x u

n n n





解 : 因

) 1 ( 2

2 1

1 



 n

n x

n

2 x2 n 

n x

n 2

2 ,

2 1

2 

当 x 时  2  x  2 时 时

, 2时 当x  

故收敛区间为

级数收敛 ; 一般项

_{不趋于 0,}



 

nlim

级数发散 ;

• 求部分和式极限

三、幂级数和函数的求法

求和 逐项求导或求积分

n n

n x





 0

)

*(x

对和式积分或求导 S )

(x S

难

直接求和 : 直接变换

,间接求和 : 转化成幂级数求和 , 再代 值

求部分和等

• 数项级 数 求和

n n



0

练习 :

2 ;

1 ) 2

1

( ^{2( 1)}

1

 



n n n x

解 : (1)

) 2 (

1 _{2 1}

1

 ^{ } 



n n x

原式

) 2 1

0 (

2 

 x

 





1

2 2 ) 1 (

n

x n

x

 

 



2 2 2

2

1 1

x x

x

 

  ₂

2 x x

2 2

2

) 2

( 2

x x



 

显然

时上式也正确 ,

. ) 2 ,

( 2



故和函数为

而在 x   2

x≠0

) , 2

( ) 2

( _{2 2}

2

x x x

S 

 

P323 题 8 . 求下列幂级数的和函数：

级数发散 ,

四、函数的幂级数和付式级数展开法

• 直接展开法

• 间接展开法 练习 :

1.

将函数

 x

^展开成

^{的幂级数 .}

— 利用已知展式的函数及幂级数性质

— 利用泰勒公式

解 :  

 

 x 2 x

1 )

2 (

1

2

 

 



1 2

1 2

1

x





 









0 2 2

1

n n

xn

2 , 2

1

1





 

n n

xn

n x (2 , 2)

1. 函数的幂级数展开法

2.

设

x x x

0 ,

1 x 

^, 将 f (x) 展开 成

x

的幂级数 ,

解 :

1 1

 x

 ( 1) ,

0









n

n

n x x (1,1)

x arctan

 ^



0 2 d

1

1 ,

1 2

) 1 (

0

1









 

n

n n

n x x [1,1]

) (x

f



 

 



1

2

1 2

) 1 1 (

n

n n

n x









 

0

2 2

1 2

) 1 (

n

n n

n x

于是

2. 函数的付式级数展开法

系数公式及计算技巧 ; 收敛定理 ; 延拓方法 练习 :

x y

o







) ,

[

 

上的表达式为









 

) ,

0 [ ,

) 0 , [

, ) 0

(





e x x

f _x

将其展为傅氏级数 .

n 

a 

1 e^x cos nxd x



^

^

) cos

sin (

1

n

nx nx

n e^x



 

 ⁰

 )

, 2 , 1 , 0 1 (

1 )

1 ( 1

2  





  n

n e^{ n}



P323 题 11 . 设

是周期为 2 的函数 , 它在

解答提示

x nx

e

b_n 1 ^x sin d



 ^

 



1

) cos

(sin 1

n

nx n

nx e^x



 

 ⁰

 )

, 2 , 1 1 (

) 1 ( 1

2  





  n

n e

n ^{ n}







2 ) 1

(  

 e

x

f







1

1



1 )

1 (

n

e ⁿ





 

) ,

2 ,

1 ,

0 ,

( x  k



思考 : 如何利用本题结果求级数

1 )

1 (

0 2 的和



 





n

n

n e^

根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时 , 有





2

1

e







1

1

 n ₁ ²

1 )

1 (

n

e ⁿ





 

2

) 0 ( )

0

( ^  ^

 f f

2

 1

提示 :